Zusammenfassung
Reaktions-Diffusionsgleichungen tauchen als mathematische Modelle einer Reihe wichtiger Anwendungsgebiete auf. So modellieren sie z.B. supraleitende Flüssigkeiten, Flammenausbreitungen, chemische Kinetiken, biochemische Reaktionen, Räuber-Beute-Modelle der Ökologie und so weiter. Sowohl numerische als auch analytische Untersuchungen von Reaktions-Diffusionsgleichungen sind heute Gegenstand aktiver Forschung. Selbstverständlich können wir im Rahmen diese Buches keine tiefgehende Analyse dieser Probleme vornehmen. Wir können aber versuchen ein allgemeines Gefühl für das Wesen dieser Gleichungen zu vermitteln. Dazu stellen wir einfache Modelle dar und untersuchen einige ihrer Eigenschaften mit Hilfe finiter Differenzenverfahren bzw. Energieabschätzungen. Weitere Beispiele findet man in den Übungsaufgaben1.
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Literatur
Das Buch von Smoller [23] ist eine hervorragende Quelle für die weitere Untersuchung dieser Gleichungen. Dieses Buch ist das Standardwerk auf dem Gebiet der Reaktions-Diffusionsgleichungen. Einen weiteren vorzüglichen, jedoch weniger anspruchsvollen Wegweiser für die Behandlung dieser Gleichungen findet man in dem Buch von Logan [19]. Das Buch von Murray [20] stellt eine Vielzahl interessanter Modelle aus dem Bereich der Biologie dar.
Die Lösungsformel (11.2) wird in den meisten Kursen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen hergeleitet. Denjenigen Lesern, denen diese Formel nicht bekannt ist, empfehlen wir die Bearbeitung der Übungsaufgabe 11.1.
Anwendungen dieses Models werden in Braun [5] beschrieben; siehe auch Murray [20].
Menschen folgen nicht immer diesem gesunden Prinzip.
Man beachte, dass ein Problem, dessen Anfangspopulation die Tragfähigkeit der Umwelt übersteigt, durchaus realistisch sein kann, während Probleme mit negativen Anfangsdaten keinen Sinn ergeben.
Das Konzept invarianter Bereiche spielt eine fundamentale Rolle in der mathematischen Theorie der Reaktions-Diffusionsgleichungen. Eine detaillierte Diskussion dieses Themas findet man im Kapitel 14 des Buches von Smoller [23].
Die Frage der Existenz solcher Lösungen wird im Kapitel 14 von Smoller [23] behandelt. Solche Untersuchungen würden den Rahmen dieses Buches sprengen.
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Tveito, A., Winther, R. (2002). Reaktions-Diffusionsgleichungen. In: Einführung in partielle Differentialgleichungen. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56227-3_11
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Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-540-42404-8
Online ISBN: 978-3-642-56227-3
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