Variationsrechnung

Zusammenfassung

Die Frage nach dem optimalen Verhalten eines Wirtschaftssubjektes im Zeitablauf führte uns im vorangegangenen Kapitel in einigen Fällen auf das mathematische Problem, eine Funktion x zu bestimmen, die das Integral einer vorgegebenen, von x abhängigen Zielfunktion über dem jeweils betrachteten Zeitintervall maximiert oder minimiert (vgl. insbesondere die Abschnitte 5.1 und 5.2). Mit der bereits im 18. Jahrhundert in ihren Grundzügen entwickelten Variationsrechnung soll im folgenden das klassische Instrument zur Lösung derartiger Problemtypen bereitgestellt werden. Diese Technik ist als Vorläufer der in Kapitel 7 behandelten Kontrolltheorie anzusehen und könnte als Spezialfall unmittelbar aus dieser abgeleitet werden. Zum besseren Verständnis der allgemeineren Theorie und aufgrund ihrer Relevanz in vielen ökonomischen Problemstellungen empfiehlt es sich dennoch, die Betrachtung der Variationsrechnung voranzustellen. Wir wollen uns dabei in den ersten Abschnitten dieses Kapitels mit dem Problem der Variationsrechnung in seiner einfachsten Form¹ beschäftigen und später Modifikationen dieses fundamentalen Problems hinsichtlich der Dimensionalität sowie der Gestalt der Randbedingungen, die an die zulässigen Funktionen gestellt werden, untersuchen. Im Mittelpunkt steht wie üblich die Angabe notwendiger und hinreichender Bedingungen zur Charakterisierung von Lösungen der jeweils betrachteten Optimierungsprobleme.