Störungstheorie und Anwendungen

Zusammenfassung

Wie in anderen Gebieten der Physik, lassen sich auch in der QM nur wenige Probleme exakt lösen. Für die Anwendungen der Theorie sind deshalb Näherungsverfahren sehr wichtig. Im folgenden entwickeln wir zunächst die stationäre Störungstheorie. Wir gehen dabei — wie in den allermeisten Büchern über QM — formal vor. Die Genauigkeit der darauf beruhenden Näherungen bleibt deshalb ungewiss und die entstehenden Störungsreihen sind in physikalisch interessanten Situationen in der Regel nicht konvergent, sondern bestenfalls asymptotisch. Als Warnung weise ich darauf hin, dass sich im Unendlichdimensionalen die Spektren von Operatoren unter ganz „braven“ Störungen schlagartig ändern können. Dies gilt insbesondere für das kontinuierliche Spektrum. Ein auf Weyl und von Neumann zurückgehender Satz besagt, dass zu einem selbstadjungierten Operator H in einem separablen Hilbertraum für jedes ∈ > 0 ein selbstadjungierter Hilbert-Schmidt-Operator H′ mit Hilbert-Schmidt-Norm < ∈ existiert, derart, dass H + H′ ein reines Punktspektrum hat. Glücklicherweise verhalten sich isolierte Eigenwerte endlicher Multiplizität unter Störungen weniger empfindlich. Falls die Störung relativ beschränkt ist, ändern sich diese sogar in analytischer Weise.¹

„In the thirties, under the demoralizing influence of quantum-theoretic perturbation theory, the mathematics required of a theoretical physicist was reduced to a rudimentary knowledge of the Latin and Greek alphabets.“ R. Jost

Das Standardwerk für, die strenge Störungstheorie ist [34]. Fine, Abriss do, Theorie, findet man in der Autographic von R. Jost [7], Rd. 1, Kip. V. Siehe auch 1131, §3,5,