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Analysis pp 308-353 | Cite as

Das Lebesgue-Integral

  • Wolfgang Walter
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Um 1870 kam Bewegung in die reelle Analysis, verursacht u.a. durch den 1872 endlich wohlfundierten Begriff der reellen Zahl und genährt durch die sich ausbreitende Mengenlehre. Die Darstellung willkürlicher Funktionen durch trigonometrische Reihen war ein zentrales, stimulierendes Problem. Da die Fourierkoeffizienten einer Funktion durch Integrale bestimmt sind, tritt die Integration ganz natürlich ins Rampenlicht. Schon Dirichlet hatte 1829 in einer berühmten Arbeit über die Konvergenz trigonometrischer Reihen (Crelles J. 4, 157–169) versucht, die Cauchysche Integraldefinition (vgl. die Einleitung zu § 1.9) auf Funktionen zu erweitern, deren Unstetigkeitsstellen eine nirgends dichte Menge bilden (eine Menge heißt nirgends dicht, wenn es in jedem Intervall ein Teilintervall gibt, das frei von Punkten dieser Menge ist). Riemanns Integraldefinition aus seiner Habilitationsschrift von 1854 über trigonometrische Reihen wurde erst um 1870 allgemein bekannt (die Habilitationsschrift erschien erst 1867 im Druck). Riemann gab dort ein Beispiel einer integrierbaren Funktion, deren Unstetigkeitsstellen überall dicht liegen, wodurch die Allgemeinheit seines Integralbegriffs überzeugend demonstriert wurde. Um so dringender war es, die unstetigen Funktionen zu klassifizieren und Kriterien für die Integrierbarkeit zu finden. Riemanns Schüler Hermann Hankel (1839–1873, Professor in Tübingen) schrieb 1870 einen Essay Untersuchungen über die unendlich oft oszillierenden und unstetigen Funktionen (OK 153 = Math. Ann. 20, 63–112).

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Walter
    • 1
  1. 1.Mathematisches Institut IUniversität KarlsruheKarlsruheDeutschland

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