Zusammenfassung
Nachdem wir im letzten Kapitel die Hydrostatik, also die Lehre vom mechanischen Gleichgewicht von Fluiden behandelt haben, wenden wir uns in diesem Kapitel einigen Teilfragen der Hydrodynamik zu. Dabei werden wir uns nach einer anfänglichen Einführung in die kinematischen Grundbegriffe den eigentlichen dynamischen Prinzipien zuwenden, nämlich der Massen-und Impulsbilanz sowie der Bilanz der mechanischen Energie, aus der eine der wichtigsten Gleichungen der Hydrodynamik hervorgegangen ist. Es ist dies die Bernoullische Gleichung, welche Johann Bernoulli in seinem berühmten Werk „Hydrodynamica“bereits im Jahre 1738 veröffentlicht hat, und die heute zu den unentbehrlichen Hilfsmitteln des Physikers und noch mehr des Ingenieurs gehört.
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Literature
Siehe Anhang A.
Gewöhnlich wird dieses Gesetz schlagwortartig als Masse × Beschleunigung = Summe aller Kräfte formuliert.
Die Gleichung (3.84) kann man als einen Spezialfall des sogenannten Reynoldsschen Transporttheorems aufflassen, wonach für ein stetig differenzierbares skalares, vektorielles oder tensorielles Feld a die Identität \( \frac{d}{{dt}}\int\limits_{{V(t)}} {adV = } \int\limits_{{V(t)}} {\frac{{\partial a}}{{\partial t}}dV + \oint\limits_{{\partial V}} {a(v \cdot n)dA} } \) gilt. In (3.84) ist a=ρv.
Unter der Variablen v⊗v, dem sogennannten Tensorprodukt des Vektors v mit sich selbst, versteht man eine Größe, die in Komponentendarstellung als Matrix \( v \otimes v \overset{\wedge}{=}\left( \begin{gathered} {v_1}{v_{{1 }}} {v_1}{v_2} {v_1}{v_3} \hfill \\ {v_2}{v_1} {v_2}{v_2} {v_2}{v_3} \hfill \\ {v_3}{v_1} {v_3}{v_2} {v_3}{v_3} \hfill \\ \end{gathered} \right) \) geschrieben werden kann und deren Divergenz durch \( div(v \otimes v) = \left( \begin{gathered} \frac{{\partial {v_1}{v_1}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v_1}{v_2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {v_1}{v_3}}}{{\partial z}} \hfill \\ \frac{{\partial {v_2}{v_1}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v_2}{v_2}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {v_2}v3}}{{\partial z}} \hfill \\ \frac{{\partial {v_3}{v_1}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v_3}{v_2}}}{{\partial y}}\frac{{\partial {v_3}{v_3}}}{{\partial z}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \) gegeben ist. Mit diesen Definitionen ist das Resultat (3.86) leicht durch Aufteilung in Komponentenschreibweise einsichtig.
Wir schreiben jetzt und im folgenden vereinfachend v2 für |v|2.
Siehe Anhang A.
Die Berechnung erfolgte durch Kirchhoff um 1860.
Zur Berechnung von Ausflußzahlen siehe R. von Mises: Berechnung von Ausfluß- und Überfallzahlen, Zeitschr. Verein deutscher Ingenieure, Bd. 61, 1917, und B. W. Hunt: Numerical solution of an integral equation for flow from a circular orifice, J. Fluid Mech., Vol 31, 1968.
Siehe Anhang A.
Wir haben hier die Normalspannungen als Zugspannungen positiv definiert und für die Schubspannungen folgende Konvention verwendet: Der erste Index gibt die Richtung der Koordinatenachse an, in welcher der Schubspannungsvektor wirkt, der zweite Index gibt die Richtung des Normaleneinheitsvektors des Flächenelementes an. Ein Schubspannungsvektor gilt dann als positiv, wenn er zusammen mit dem Normalenvektor in eine positive, bzw. negative Koordinatenrichtung weist. Schließlich sind die Gleichungen (3.269) Ausdruck der Impulsbilanz; weil man sich jedoch auf Größen beschränkt, die klein sind (von der Ordnung h2, wobei h eine typische Kantenlänge des infinitesimalen Tetraeders bezeichnet), reduziert sich in diesem Fall die Impuls- auf eine Kräftebilanz.
Johann Andreas Segner (1704–1777), Professor der Physik in Göttingen.
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Hutter, K. (2003). Hydrodynamik idealer Fluide. In: Fluid- und Thermodynamik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-55804-7_3
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