Körper und Körpererweiterungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel behandeln wir die Theorie der Körper und der Körpererweiterungen. Insbesondere geht es um algebraische Konstruktionen (im Gegensatz zu den analytischen Konstruktionen der Körper der reellen und der komplexen Zahlen) für Erweiterungskörper eines Grundkörpers K, in denen eine vorgelegte Polynomgleichung f(X) = 0 mit Koeffzienten im Körper K eine Nullstelle besitzt oder gar vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Diese Konstruktionen funktionieren dann auch über anderen Grundkörpern als dem Körper ℚ der rationalen Zahlen, insbesondere über den endlichen Körpern 𝔽p = ℤ/pℤ für eine Primzahl p. Sie ermöglichen zudem exakte Rechnungen für Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffzienten oder mit Koeffzienten in einem endlichen Körper, etwa dem Körper 𝔽p. In einem ergänzenden Abschnitt behandeln wir die Anwendung der Körpertheorie auf das klassische Problem der Konstruktion mit Zirkel und Lineal (Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels, Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks).