Abstract
Der in der Primarstufe sowie den Klassen 5 und 6 erteilte sogenannte propädeutische Geometrieunterricht soll möglichst anschaulich sein, und beinhaltet daher eine spezifische Verwendung und Betonung unterschiedlicher Arten von bildhaften, geometrisch‐zeichnerischen Darstellungen (im Folgenden kurz: GZDs) etwa zur Begriffsbildung und als Illustration, Entdeckungs- und Begründungsbasis geometrischer Eigenschaften und Beziehungen. Rekonstruktive Untersuchungen von Burscheid und Struve zu empirischen Schülertheorien von Geometrie sowie Analysen des Problemlöseverhaltens von SchülerInnen durch Schoenfeld im Sinne eines „pure empiricism“ legen – unter einer semiotischen Perspektive betrachtet – in besonderem Maße nahe, dass diese Art der Verwendung von GZDs im Geometrieunterricht einen wichtigen Faktor bei der Ausbildung von empirischen Theorien der Geometrie bei den SchülerInnen darstellt. Gleichzeitig entstehen dadurch auch spezifische Hürden und Probleme für die SchülerInnen beim Übergang vom propädeutischen zum fortgeschrittenen Geometrieunterricht am Ende der Unterstufe. In diesem Beitrag argumentiere ich für die These, dass einige der spezifischen Hürden durch eine abrupte Veränderung des zeichentheoretischen Status von GZDs beim Übergang vom propädeutischen zum fortgeschrittenen Geometrieunterricht entstehen: vom ikonischen Abbild hin zum regelhaft verwendeten Diagramm. Ausgehend von konkreten Untersuchungen von Struve und Schoenfeld analysiere ich den zeichentheoretischen Status von GZDs in der propädeutischen Unterstufen- wie auch in der Mittelstufengeometrie mit Hilfe der semiotischen Theorie von Charles Saunders Peirce. Aufbauend auf diese Analyse deute ich in einem kurzen Ausblick an, welche Fragen sich bei der Suche nach Möglichkeiten zur Überwindung dieser „semiotischen Hürde“ ergeben.
Eine erste, weniger ausführliche und ausgearbeitete Version dieses Artikels ist unter dem Titel „Empirische Auffassungen von Geometrie im Mathematikunterricht unter dem Blickwinkel der Semiotik“ in (Meyer et al. 2013) erschienen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsNotes
- 1.
Quelle: http://lehrerfortbildung-bw.de/faecher/mathematik/gym/fb1/modul2/eroerter/propaed/. Gesehen 10. März 2014.
- 2.
Der Begriff der geometrisch‐zeichnerischen Darstellung wird hier zunächst als eine ad‐hoc‐Bezeichnung für alle möglichen bildhaften Zeichen (Skizzen, Zeichnungen, Diagramme, Piktogramme, Faltblattfiguren, Arbeitsmittel wie Tangram etc., Fotos, etc.) verwendet, die im Geometrieunterricht verwendet werden, um geometrische Begriffe, Referenzgegenstände, Eigenschaften, Relationen etc. anschaulich zum Ausdruck zu bringen. Er wird an dieser Stelle nicht genauer spezifiziert oder gar explizit definiert. Eine Differenzierung des Begriffs erfolgt dann gerade unter Rückgriff auf semiotische Theorien in Abschn. 2.
- 3.
Damit ist allerdings keine Positionierung hinsichtlich der Frage, inwieweit eine empirische Auffassung von Geometrie etwa im Sinne von Struve et al. nicht auch für die Mittelstufen- oder gar die gesamte Schulmathematik sinnvoll ist, angestrebt.
- 4.
Anders sieht es z. B. Brunner in (Brunner 2013). U. a. unter Berufung auf Dörfler stellt er die Geometrie als eine Theorie von Diagrammtypen dar, die wir erlernen, indem wir die Konstruktions- und Verwendungsregeln für die Diagrammtypen als Ergebnisse von kontinuierlichen Regelpräzisierungen bei der Verwendung von einzelnen Diagrammtoken konstituieren (statt auf der Grundlage von Beschreibungen möglichst zeichengenauer GZDs als Teil einer empirischen Realität). Vgl. (Brunner 2013), insbesondere S. 59.
- 5.
Inwieweit sie logisch oder begrifflich notwendig für das nachfolgend dargestellte Konzept empirischer Theorien und darüber hinaus auch prinzipiell gerechtfertigt ist, wird in diesem Beitrag, der in erster Linie auf eine semiotische Rekonstruktion bestehender didaktischer Positionen zielt, nicht weiter beleuchtet.
- 6.
Prototypen im Sinne der sogenannten Prototypensemantik nach (Rosch u. Mervis 1975) sind Vertreter einer Kategorie oder Instanzen eines Begriffes, die man als „beste Beispiele“ bezeichnen kann. Prototypische Vertreter sind durch eine besondere Auswahl und Häufung von charakterisierenden Merkmalen der Kategorie bzw. des Begriffes ausgezeichnet. Unter Rückgriff auf den von Wittgenstein eingeführten Terminus der „Familienähnlichkeit“ lässt sich formulieren: Prototypische Vertreter maximieren die Familienähnlichkeit zu den übrigen Vertretern der eigenen und minimieren ihn zu den Vertretern anderer Kategorien bzw. Begriffe. Die Prototypensemantik ist zunächst eine Bedeutungstheorie, wird aber auch als alternative Theorie des Aufbaus begrifflichen Wissens und der Fähigkeit zur Kategorisierung verhandelt und von einer stärker analytischen „Merkmalssemantik“ abgegrenzt. Gemäß letzterer entscheiden wir, ob ein Objekt zu einer bestimmten Kategorie gehört oder unter einen bestimmten Begriff fällt, indem wir abgleichen, ob das Objekt bestimmte notwendige und zusammen hinreichende Merkmale erfüllt, die diese Kategorie bzw. diesen Begriff definieren. Gemäß der Prototypensemantik überprüfen wir in einem solchen Fall hingegenen, wie groß die Ähnlichkeit des Objektes zu prototypischen Vertretern ist. Hier geht es zunächst um Prototypen bestimmter Zeichen- und Faltblattfiguren im Sinne einer empirischen Theorie von Geometrie, (noch) nicht um Prototypen in Bezug auf allgemeine geometrische Begriffe wie „Dreieck“. Daher steht als wesentlicher Aspekt der Prototypenbeziehung die Zeichengenauigkeit im Blickpunkt. Wenn nichts weiter gesagt wird, ist „prototypisch“ im Folgenden in diesem Sinne zu lesen. Diese Ähnlichkeitsbeziehung ist graduell angelegt und muss auch nicht in allen den Prototyp auszeichnenden Merkmalen bestehen. Für den Hinweis auf Prototypen an dieser und folgenden Stellen danke ich Martin Brunner.
- 7.
Bei einer zu ungenauen Dreieckszeichnung etwa schneiden sich z. B. die Höhen augenscheinlich nicht in einem Punkt; hier liegt dann ggf. nur eine Inskription einer potentiellen Figur vor.
- 8.
- 9.
Über die philosophische Frage, ob eine Gerade darüber hinaus im Rahmen formaler mathematischer Theorien, aus Sicht von Fachmathematikern oder in Bezug auf eine umfassende Ontologie mathematischer Objekte tatsächlich ein irgendwie geartetes „abstraktes Objekt“ entspricht, oder ob es sich vielmehr um eine allein durch Sprachverwendungs- und Darstellungsregeln und -konventionen konstruierte Entität handelt, wird hier keine Aussage gemacht.
- 10.
Als Kreisbogen im Sinne einer empirischen Geometrie des Tastraumes mit euklidischer Metrik.
- 11.
Hierbei wird ein Dreieck auf ein Stück Papier gezeichnet und ausgeschnitten. Anschließend wird das Dreieck so zerissen, dass drei Stücke mit jeweils einer der Dreiecksecken entstehen. Diese Stücke werden dann so aneinandergelegt, dass alle drei ursprünglichen Dreiecksecken an einem Punkt und jeweils zwei der ursprünglichen Dreiecksseiten zusammenstoßen.
- 12.
Beide Charakteristika werden auch durch den Einsatz von DGS im propädeutischen Geometrieunterricht betont. Im Falle der Akkuratheit von GZDs geschieht dies aus Schülersicht sozusagen implizit, denn einerseits sind die am Bildschirm erzeugten GZDs in gewissem Sinne maximal zeichengenau, also stets prototypisch, was die Ausbildung entsprechender Vorstellungen von Inskriptionen als Referenzgegenständen der Geometrie nahelegt, andererseits wird gerade die Herstellung von Zeichengenauigkeit nicht problematisiert, da sie ja „automatisch“ vom Rechner geliefert wird. Struve diskutiert den Aspekt der Verwendung von DGS nicht, weshalb ich hier nicht weiter darauf eingehe. Ich komme jedoch im Ausblick kurz darauf zurück.
- 13.
Ich gebe hier teilweise die deutsche Übersetzung der Protokolle von Burscheid und Struve wieder und übernehme auch die Abbildungen, die sich in (Burscheid u. Struve 2010), S. 22 ff.), finden.
- 14.
Der Einsatz von DGS bietet hier mittels des Zugmodus Möglichkeiten, umgekehrt eine rein „oberflächlich“ zeichengenaue, aber nicht korrekt konstruierte Darstellung einer Lösung zu entlarven. Schoenfeld diskutiert diesen Punkt nicht, sodass ich hier nicht weiter darauf eingehe. Ich komme im Ausblick kurz darauf zurück.
- 15.
vgl. auch (Burscheid u. Struve 2010, S. 27 ff.)
- 16.
- 17.
Es geht an dieser Stelle nicht allein um sprachpragmatische Verwendungsregeln im Sinne eines weiten Regelbegriffes, wie ihn z. B. Wittgenstein im Rahmen seiner Sprachspieltheorie verwendet. In diesem Sinne ist jede Art der Zeichenverwendung bereits wesentlich regelgeleitet. Gemeint sind vielmehr logisch konsistente zulässige Konstruktions- und Manipulationsregeln für Diagramme im Rahmen eines spezifischen Darstellungssystems.
- 18.
Peirce sieht hierin ein wichtiges Charakteristikum mathematischen Arbeitens selbst:
It has long been a puzzle how it could be that, on the one hand, mathematics is purely deductive in its nature […] while on the other hand, it presents as rich and apparently unending a series of surprising discoveries as any observational science. […] The truth, however, appears to be that all deductive reasoning, even simple syllogism, involves an element of observation; namely, deduction consists in constructing an icon or diagram the relations of whose parts shall present a complete analogy with those of the parts of the object of reasoning, of experimenting upon this image in the imagination, and of observing the result so as to discover unnoticed and hidden relations among the parts. (Peirce CP, 3.363, zitiert nach (Otte 2006).)
- 19.
Hierbei differenziere ich zwischen den manchmal fast synonym verwendeten Ausdrücken „explorativ“ und „experimentell“ – ein experimentelles Vorgehen weist im Unterschied zu einem explorativen nämlich stark regelgeleitete und systematische Komponenten auf.
- 20.
Ein von Struve benanntes spezifisches Problem in diesem Rahmen, welches durch die spezifische strukturalistische Rekonstruktion solcher Theorien deutlich wird, stellen Vermittlung und Erwerb der stets enthaltenen theoretischen Begriffe dar. Mit dieser Problematik setze ich mich im Folgenden nicht auseinander; es sei hier nur angedeutet, dass GZDs theoretische Begriffe innerhalb einer empirischen Geometrie weder im Sinne von Abbildern noch im Sinne von Diagrammen sinnvoll bezeichnen können, sondern allenfalls im Sinne von Metaphern.
- 21.
Er beurteilt in nachfolgendem Zitat allerdings das Verständnis von Lernenden in Bezug auf die diagrammatische Rolle von GZDs in der Geometrie gerade anders als im Sinne der hier diskutierten Untersuchungen von Schoenfeld und Struve, und scheint außerdem als Objekt von diagrammatisch verwendeten GZDs eine abstraktere Entität als konkrete, akkurat inskribierte Zeichenblattfiguren anzunehmen. Wie bereits in Abschn. 1ausgeführt ist dies im Rahmen einer empirischen Geometrie nicht der Fall; ob eine solche Annahme darüberhinaus sinnvoll und haltbar ist, wird in diesem Beitrag nicht verhandelt.
- 22.
Nach Peirce ist dies notwendigerweise mit einem Abstraktionsprozess verbunden, da gewisse, für die Bildung der jeweiligen Klasse nicht relevante Merkmale außen vorgelassen werden, also von diesen abstrahiert wird.
- 23.
Vgl. hierzu auch (Vollrath u. Roth 2012).
- 24.
Hier bieten sich z. B. die Visualisierungs- und systematischen Variationsmöglichkeiten mittels DGS an, um diesen Aspekt im Geometrieunterricht zu thematisieren. Vgl. etwa Roth, 2005.
- 25.
Wie weiter oben bereits angemerkt, eignet sich DGS aber nicht zur Thematisierung von prototypischen GZDs im Sinne von möglichst zeichengenauen konkreten Inskriptionen von Figuren vs. ungenauerer GZDs, die dann als Zeichen für stärker prototypische GZDs stehen können.
Literatur
Balzer, W., Moulines, C.U., Sneed, J.D.: An architectonic for science. Reidel, Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokyo (1987)
Brunner, M.: Didaktikrelevante Aspekte im Umfeld der Konzepte token und type. Journal für Mathematik‐Didaktik 34(1), 53–72 (2013)
Burscheid, H.J., Struve, H.: Die Differentialrechnung nach Leibniz – eine Rekonstruktion. Studia Leibnitiana XXXIII/2, 163–193 (2001)
Burscheid, H.J., Struve, H.: Die Integralrechnung von Leibniz – eine Rekonstruktion. Studia Leibnitiana XXXIV/2, 127–160 (2002)
Burscheid, H.J., Struve, H.: Mathematikdidaktik in Rekonstruktionen. Hildesheim, Berlin, Franzbecker (2010)
Graumann, G.: Konzeptionen und Ziele des Geomtrieunterrichts im 19. und 20. Jhd. In: Der Wandel im Lehren und Lernen von Mathematik und Naturwissenschaften Schriftenreihe der Pädagogischen Hochschule Heidelberg, Bd. 1, S. 130–137. Dt. Studien‐Verlag, Weinheim (1994)
Hefendehl-Hebeker, L.: Die semiotische Perspektive in der fachdidaktischen Lehramtsausbildung. In: Kadunz, G. (Hrsg.) Sprache und Zeichen, S. 109–121. Franzbecker, Hildesheim, Berlin (2010)
Hoffmann, M.H.G.: Peirces Zeichenbegriff: seine Funktionen, seine phänomenologische Grundlegung und seine Differenzierung (2001). http://www.uni-bielefeld.de/idm/semiotik/Peirces_Zeichen.html, Zugegriffen: 10. März 2014
Hoffmann, M.H.G.: Erkenntnisentwicklung. Klostermann, Frankfurt a. M. (2005)
Meyer, M., Müller-Hill, E., Witzke, I.: Wissenschaftlichkeit und Theorieentwicklung in der Mathematikdidaktik - Festschrift zum sechzigsten Geburtstag von Horst Struve. Franzbecker, Hildesheim, Berlin (2013)
Meyer-Krahmer, B., Halawa, M., et al.: Pragmatismus auf Papier – Über den Zusammenhang von Peirces graphischer Praxis und pragmatistischem Denken. In: Krois, J.M. (Hrsg.) Das Bildnerische Denken von Charles S. Peirce, S. 12. Akademie Verlag, Berlin (2011)
Otte, M.: Mathematical epistemology from a Peircean semiotic point of view. Educational Studies in Mathematics 61, 11–38 (2006)
Peirce, Ch.S.: Hrsg. von. In: Hartshorne, Ch., Weiss, P. (Hrsg.) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, S. 1–6. Harvard University Press, Cambridge (1966)
Peirce, Ch.S.: Phänomen und Logik der Zeichen. Hrsg. u. übersetzt von Helmut Pape. Suhrkamp, Frankfurt a. M. (1983)
Peirce, Ch.S.: Peirce edition Project The Essential Peirce, Bd. 2. Indiana University Press, Bloomington I. N. (1998)
Rosch, E.H., Mervis, C.: Family Resemblances: Studies in the Internal Structure of Categories. Cognitive Psychology 7, 573–605 (1975)
Roth, J.: Bewegliches Denken im Mathematikunterricht. Dissertation. Bayerische Julius‐Maximilians‐Universität Würzburg (2005)
Roth, J., Wittmann, G., et al.: Ebene Figuren und Körper. In: Weigand, H.-G. (Hrsg.) Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I, S. 123–151. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2009)
Schoenfeld, A.: Mathematical Problem Solving. Academic Press, New York (1985)
Stjernfelt, F.: Diagrammatology: An Investigation on the Borderlines of Phenomenology, Ontology and Semiotics. Springer, New York (2007)
Struve, H.: Empirische Geometrie. Zeitschrift für allgemeine Wissenschaftstheorie 20, 325–339 (1989)
Struve, H.: Grundlagen einer Geometriedidaktik. BI-Verlag, Mannheim (1990)
Struve, H., Witzke, I.: Eine wissenschaftstheoretische Analyse des Leibnizschen calculus – das Beispiel des Krümmungsradius. Studia Leibnitiana XL, 29–47 (2008)
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2015 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Müller-Hill, E. (2015). Semiotische Rekonstruktion empirischer Schülerauffassungen von Geometrie und spezielle Hürden für den Übergang vom propädeutischen zum weiterführenden Geometrieunterricht. In: Kadunz, G. (eds) Semiotische Perspektiven auf das Lernen von Mathematik. Springer-Lehrbuch Masterclass. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-55177-2_6
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-55177-2_6
Published:
Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-642-55176-5
Online ISBN: 978-3-642-55177-2
eBook Packages: Humanities, Social Science (German Language)