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Störungstheorie und Virialsatz

  • Matthias Bartelmann
  • Dieter Lüst
  • Andreas Wipf
  • Anton Rebhan
  • Björn Feuerbacher
  • Timm Krüger
Chapter

Kapitelvorwort

Wie kann man Systeme, die nur leicht von exakt lösbaren Systemen abweichen, näherungsweise behandeln?

Was kann man allgemein über Erwartungswerte von Ableitungen des Hamilton-Operators bzw. der kinetischen und potenziellen Energie aussagen?

Wie geht man bei zeitabhängigen Einwirkungen auf ein exakt lösbares System vor?

Bisher wurden fast nur exakt lösbare Systeme besprochen; allerdings wurde auch schon mehrfach darauf hingewiesen, dass viele Probleme nur näherungsweise lösbar sind. In der Quantenmechanik werden daher diverse Näherungsverfahren verwendet; das wichtigste, die Störungstheorie, soll in diesem Kapitel besprochen werden. Weitere Verfahren werden in Kap. 31 diskutiert.

Die Störungstheorie geht davon aus, dass das betrachtete System weitgehend mit einem exakt lösbaren System übereinstimmt und sich nur durch eine kleine „Störung“ davon unterscheidet. Was genau darunter zu verstehen ist, wird im Folgenden noch zu präzisieren sein.

Zu unterscheiden ist dabei einerseits zwischen zeitabhängigen und ‑unabhängigen Störungen, andererseits zwischen Systemen mit entarteten bzw. nichtentarteten Zuständen. Als ein wichtiges Beispiel für eine zeitunabhängige Störung, bei der die Entartung nicht wesentlich ist, werden wir die schon früher erwähnte Spin‐Bahn‐Kopplung studieren. Bei der Wirkung eines homogenen elektrischen Feldes auf Atome (Stark‐Effekt) ist dann die Entartung zu berücksichtigen (Abschn. 30.1).

Sowohl für die Störungstheorie als auch für andere Methoden (die wir in Kap. 31 besprechen werden) ist es oft nötig, Erwartungswerte des Hamilton‐Operators oder ähnlicher Operatoren zu berechnen. Deshalb werden in Abschn. 30.2 allgemeine Aussagen über solche Erwartungswerte vorgestellt.

Die Hellmann‐Feynman‐Formel macht eine Aussage über den Erwartungswert von Ableitungen des Hamilton‐Operators; als konkrete Anwendung kann damit die Energieverschiebung durch die Spin‐Bahn‐Kopplung in der ersten Ordnung der Störungstheorie endgültig berechnet werden. Der Virialsatz verknüpft dagegen, analog zur klassischen Mechanik, die Erwartungswerte der kinetischen und der potenziellen Energie. Als Anwendung werden hier relativistische Korrekturen zum Wasserstoffspektrum und darauf aufbauend die Feinstruktur von Spektren wasserstoffartiger Atome diskutiert.

Manche zeitabhängigen Störungen wie beispielsweise radioaktiver Zerfall verlaufen verglichen mit der Dynamik des ungestörten Systems sehr schnell; diese können im Rahmen der sogenannten sudden approximation behandelt werden. Wir werden in Abschn. 30.3 aber auch den allgemeinen Fall zeitabhängiger Störungen besprechen und die wichtige Goldene Regel dafür herleiten. Schließlich werden wir beispielhaft den Einfluss einer periodischen äußeren Störung auf Atome untersuchen – was unter anderem für die stimulierte Emission von Licht verantwortlich ist, also die Grundlage für den Laser bildet.

Supplementary material

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014

Authors and Affiliations

  • Matthias Bartelmann
    • 1
  • Dieter Lüst
    • 2
  • Andreas Wipf
    • 3
  • Anton Rebhan
    • 4
  • Björn Feuerbacher
    • 5
  • Timm Krüger
    • 6
  1. 1.Institut für Theoretische AstrophysikUniversität HeidelbergHeidelbergDeutschland
  2. 2.Department für PhysikLudwig-Maximilians Universität MünchenMünchenDeutschland
  3. 3.Theoretisch-Physikalisches-InstitutFriedrich-Schiller-Universität JenaJenaDeutschland
  4. 4.Institut für Theoretische PhysikTechnische Universität WienWienÖsterreich
  5. 5.HeidenheimDeutschland
  6. 6.School of EngineeringUniversity of EdinburghEdinburghGroßbritannien

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