Observablen, Zustände und Unbestimmtheit

Kapitelvorwort

Die Quantenmechanik ist eine empirisch äuÿerst erfolgreiche physikalische Theorie. Gleichzeitig wirft sie tiefgründige konzeptionelle Probleme auf. Die Frage, wie sie zu interpretieren sei, wird seit Beginn kontrovers diskutiert. Was ist die Rolle des Beobachters beim Messprozess? Können makroskopisch unterscheidbare Zustände überlagert werden? Ist die Theorie nichtlokal oder nicht deterministisch? Im vorliegenden Kapitel steht der quantenmechanische Messprozess im Vordergrund.

Viele Physiker bevorzugen die in Abschnitt 24.1 vorgestellte Kopenhagener Interpretation - trotz des darin auftretenden schwierigen Komplementaritätsprinzips. Daneben entstanden im Laufe der Zeit alternative Interpretationen oder sogar alternative Theorien für die mikroskopischen Erscheinungen. Einige dieser Alternativen werden kurz vorgestellt. In Abschnitt 24.2 werden allgemeine Unbestimmtheitsrelationen für Paare von nicht-verträglichen Observablen besprochen. Diese Relationen bedingen prinzipielle Grenzen für die Kenntnis über ein Quantensystem. Ausgehend vom EPR-Paradoxon wird in Abschnitt 24.3 der Frage nachgegangen, ob die Quantenmechanik vollständig ist oder ob sie verborgene Variablen haben kann.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

24.1 • Messung eines entarteten Eigenwertes

Der einer Observablen zugeordnete selbstadjungierte Operator ${\hat{A}}$ besitze einen r‐fach entarteten diskreten Eigenwert a _n , ${\hat{A}}\left|{a_{n},k}\right\rangle=a_{n}\left|{a_{n},k}\right\rangle$ mit $k=1,2,\dots,r$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung von ${\hat{A}}$ den Wert a _n zu finden, wenn sich das System im Zustand $\left|{\psi}\right\rangle$ befindet?

24.2 •• Orts‐ und Impulsmessung

Ein Teilchen auf der x‐Achse werde kurz vor einer Messung durch die Gauß’sche Wellenfunktion

$$\psi(x)=\frac{1}{(2\uppi\sigma^{2})^{1/4}}\,\mathrm{e}^{-x^{2}/4\sigma^{2}}$$

(24.99)

beschrieben. Es stehen zwei Messapparaturen zur Verfügung. Die erste Apparatur misst, ob sich das Teilchen links oder rechts des Koordinatenursprungs aufhält. Eine zweite Apparatur misst, ob der Impuls des Teilchens positiv oder negativ ist.

• (a) Die erste Messung sieht nach, ob sich das Teilchen irgendwo auf der positiven Halbachse aufhält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Messresultat? Wie sieht die Wellenfunktion unmittelbar nach der Messung aus?

• (b) Nun bestimmen wir stattdessen das Vorzeichen des Impulses, wobei das Teilchen kurz vor der Messung wieder durch ψ beschrieben sei. Man misst einen positiven Impuls. Was ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Resultat? Wie sieht die Wellenfunktion (im Ortsraum) unmittelbar nach der Messung aus?

• (c) Wie hat sich durch die Impulsmessung die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Ursprung verändert?

Lösungshinweis:

Es genügt, für die Wellenfunktion im Ortsraum nach der Impulsmessung eine Integraldarstellung zu finden.

24.3 •• Baker‐Campbell‐Hausdorff‐Formel (BCH‐Formel) und Weyl’sche Vertauschungsrelationen

Anstelle der unbeschränkten Orts‐ und Impulsoperatoren kann man die unitären und beschränkten Operatoren $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha{\hat{q}}}$ und $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta{\hat{p}}}$ betrachten. Dann treten anstelle der Heisenberg’schen die Weyl’schen Vertauschungsrelationen. Allgemeiner betrachten wir hier zwei nichtverträgliche Observablen mit Operatoren ${\hat{A}}$ und ${\hat{B}}$. Ein Vergleich der Potenzreihen zeigt, dass die Operatoren $\mathrm{e}^{{\hat{A}}}\mathrm{e}^{{\hat{B}}}$ und $\mathrm{e}^{{\hat{A}}+{\hat{B}}}$ verschieden sind. Die Korrekturen zu dem Fall vertauschender Operatoren ergeben sich aus den nun besprochenen Identitäten.

• (a) Beweisen Sie die Beziehung

  $$\mathrm{e}^{{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-{\hat{A}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\text{ad}^{n}_{A}{\hat{B}}\quad\text{mit}\quad\text{ad}_{A}{\hat{B}}=[{\hat{A}},{\hat{B}}]\,,$$

  (24.100)

  indem Sie die Taylor‐Entwicklung von $F(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}$ in λ betrachten und für die Koeffizienten einen Induktionsbeweis führen.

• (b) Der Kommutator $[{\hat{A}},{\hat{B}}]$ vertausche mit ${\hat{A}}$ und mit ${\hat{B}}$. Zeigen Sie, dass dann gilt:

  $$\mathrm{e}^{\lambda({\hat{A}}+{\hat{B}})}=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}\mathrm{e}^{\lambda{\hat{B}}}\mathrm{e}^{-\lambda^{2}[{\hat{A}},{\hat{B}}]/2}\,.$$

  (24.101)

• (c) Berechnen Sie nun die Weyl’schen Vertauschungsrelationen

  $${\hat{U}}(a){\hat{V}}(b){\hat{U}}^{-1}(a){\hat{V}}^{-1}(b)$$

  (24.102)

  für die unitären Operatoren

  $${\hat{U}}(a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}a{\hat{p}}}\quad\text{und}\quad{\hat{V}}(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}b{\hat{q}}}\,.$$

  (24.103)

24.4 • Dekohärenz

Die Dekohärenz löst einige Probleme, die mit dem Messprozess in der Quantenmechanik verbunden sind. Dabei wird der Einfluss der Umgebung auf das Quantensystem berücksichtigt. In einem sehr einfachen Modell betrachten wir ein Objekt, das durchaus makroskopische Abmessungen haben kann, und dem zwei Zustände $\left|{1}\right\rangle$ und $\left|{2}\right\rangle$ mit scharfen Energien E ₁ und E ₂ zur Verfügung stehen. Der Anfangszustand zum Zeitpunkt t = 0 sei eine kohärente Überlagerung von zwei Eigenzuständen des Hamilton‐Operators, $\left|{\psi(0)}\right\rangle=c_{1}\left|{1}\right\rangle+c_{2}\left|{2}\right\rangle$ mit $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$. Wie man leicht nachprüft, hat die Lösung der Schrödinger‐Gleichung zum Zeitpunkt t die Form

$$\left|{\psi(t)}\right\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_{1}t/\hbar}c_{1}\left|{1}\right\rangle+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_{2}t/\hbar}c_{2}\left|{2}\right\rangle\,.$$

(24.104)

• (a) Wenn wir die Eigenvektoren mit der kartesischen Basis im $\mathbb{C}^{2}$ identifizieren,

  $$\left|{1}\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\,,\quad\left|{2}\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}\,,$$

  (24.105)

  welche Form hat dann die Dichtematrix ${\hat{\varrho}}(t)=\left|{\psi(t)}\right\rangle\left\langle{\psi(t)}\right|$? Im Ergebnis ersetze man $E_{2}-E_{1}=\hbar\omega$ mit der Übergangsfrequenz ω.

• (b) Für makroskopische Objekte oszillieren die Nebendiagonalelemente von ${\hat{\varrho}}$ bereits für mikroskopische Zeitintervalle t sehr oft. Da jede Messung eine gewisse Zeit dauert – dies ist der erwähnte Einfluss der Umgebung –, sollten wir die Dichtematrix über ein Zeitintervall T mitteln:

  $$m_{T}({\hat{\varrho}})=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\mathrm{d}t\,{\hat{\varrho}}(t)\,.$$

  (24.106)

  Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Dichtematrix.

• (c) Nehmen Sie an, ein Objekt mit Masse m sei auf igendeine Weise in einen kohärenten Überlagerungszustand gebracht worden, sodass es durch eine Wellenfunktion bestehend aus zwei Wellenpaketen, die in einem Abstand von $\Updelta z=1$m senkrecht zur Erdoberfläche lokalisiert sind, beschrieben wird. Im Schwerefeld der Erde ist die Diffenenz der Energien $E_{2}-E_{1}=\hbar\omega\approx mg\Updelta z$. Was ist ω näherungsweise für eine Masse von 1 g? Was ist etwa der Betrag der Nebendiagonalelemente der gemittelten Dichtematrix für $T=10^{-16}\,$s?

• (d) Berechnen Sie die Spur des Quadrats der gemittelten Dichtematrix. Was folgern Sie aus dem Ergebnis?

24.5 •• Spur von Operatoren

Es seien $\left|{\phi}\right\rangle$ und $\left|{\psi}\right\rangle$ zwei Vektoren mit endlicher Norm.

• (a) Zeigen Sie, dass

  $$\mathop{\mathrm{Sp}}\left|{\psi}\right\rangle\left\langle{\phi}\right|=\langle{\phi},{\psi}\rangle\,.$$

  (24.107)

• (b) Für ein Teilchen auf der reellen Achse erfüllen Orts‐ und Impulsoperator die kanonische Kommutationsregel

  $$[{\hat{x}},{\hat{p}}]=\mathrm{i}\hbar{\boldsymbol{I}}\,.$$

  (24.108)

  Die Spur der linken Seite verschwindet wegen der Invarianz der Spur unter zyklischer Vertauschung der Argumente, $\mathop{\mathrm{Sp}}[{\hat{x}},{\hat{p}}]=0$. Dagegen ist $\mathrm{i}\hbar\mathop{\mathrm{Sp}}{\boldsymbol{I}}\neq 0$. Was folgern Sie aus diesem scheinbaren Widerspruch?

• (c) Drücken Sie in einem endlich‐dimensionalen Hilbert‐Raum $\mathop{\mathrm{Sp}}({\hat{A}}^{\dagger}{\hat{A}})$ durch die Matrixelemente $a_{mn}=\left\langle{m}\right|{\hat{A}}\left|{n}\right\rangle$ von ${\hat{A}}$ bezüglich einer Orthonormalbasis $\left|{n}\right\rangle$ aus.

• (d) Definiert $\|A\|^{2}=\mathop{\mathrm{Sp}}(A^{\dagger}A)$ eine Norm auf dem linearen Raum der komplexen Matrizen?

24.6 • Anzahl Parameter einer Dichtematrix

Von wie vielen reellen Parametern hängen die Dichtematrizen in $\mathcal{H}=\mathbb{C}^{n}$ ab? Von wie vielen Parametern die Dichtematrizen von reinen Zuständen?

24.7 •• Rekonstruktion von Dichtematrizen

Bezüglich einer Basis eines zweidimensionalen Hilbert‐Raumes seien drei Observablen durch die folgenden Matrizen gegeben:

$$A=\begin{pmatrix}3&2\\ 2&3\end{pmatrix}\,,\quad B=\begin{pmatrix}2&\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}&2\end{pmatrix}\,,\quad C=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&3\end{pmatrix}\,.$$

(24.109)

Im vorliegenden Zustand wurden die Erwartungswerte $\langle{A}\rangle=4,\,\langle{B}\rangle=3/2$ und $\langle{C}\rangle=2$ gemessen.

• (a) Bestimmen Sie die Dichtematrix des Zustands.

• (b) Ist dieser rein oder gemischt?

Lösungshinweis:

Die Rechnung vereinfacht sich, wenn man die auftretenden Matrizen als Linearkombinationen der Einheitsmatrix und der hermiteschen und spurlosen Pauli‐Matrizen in (24.40) schreibt und $\mathop{\mathrm{Sp}}(\sigma_{i}\sigma_{j})=2\delta_{ij}$ benutzt.

24.8 ••• Theorem von Groenewold und van Hove

Es sei F eine klassische Observable, d. h. eine reelle $\mathbb{C}^{\infty}$‐Funktion auf dem Phasenraum des betrachteten mechanischen Systems. Eine Quantisierungsabbildung $\mathcal{Q}$ ordnet jeder klassischen Observablen F eine quantenmechanische Observable $\mathcal{Q}(F)={\hat{F}}$ zu, dargestellt durch einen selbstadjungierten Operator ${\hat{F}}$. Die Abbildung $F\mapsto\mathcal{Q}(F)$ soll folgende Eigenschaften haben:

• 1. $\mathcal{Q}$ ist $\mathbb{R}$‐linear.

• 2. Die Poisson‐Klammer geht in den Kommutator über:

  $$\mathcal{Q}\left(\{F,G\}\right)=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\mathcal{Q}(F),\mathcal{Q}(G)\right]\quad\text{f{\"u}r alle}\quad F,G\,.$$

  (24.110)

• 3. Es ist $\mathcal{Q}(1)={\boldsymbol{I}}$.

• 4. $\mathcal{Q}(q_{i})\equiv{\hat{q}}_{i}$ und $\mathcal{Q}(p_{i})\equiv{\hat{p}}_{i}$ operieren irreduzibel, d. h., jeder selbstadjungierte Operator ${\hat{F}}$, der mit allen ${\hat{q}}_{i}$ und allen ${\hat{p}}_{i}$ vertauscht, ist ein konstantes Vielfaches der Identität.

Das Theorem von Groenewold und van Hove besagt nun, dass eine derartige Quantisierung nicht existiert, und dieses No‐go‐Theorem soll hier näher untersucht werden. Dabei betrachten wir Systeme mit einer Orts‐ und einer Impulskoordinate.

• (a) Zeigen Sie, dass $\{q,p\}=1$ die Relation $[{\hat{q}},{\hat{p}}]=\mathrm{i}\hbar{\boldsymbol{I}}$ bedingt.

• (b) Was sind die Kommutatoren von Orts‐ und Impulsoperator $\mathcal{Q}(q)={\hat{q}}$ und $\mathcal{Q}(p)={\hat{p}}$ mit den Operatoren $\mathcal{Q}(q^{m})$ und $\mathcal{Q}(p^{m})$? Warum folgt daraus

  $$\mathcal{Q}(q^{2})={\hat{q}}^{2}+c_{q^{2}}{\boldsymbol{I}}\quad\text{und}\quad\mathcal{Q}(p^{2})={\hat{p}}^{2}+c_{p^{2}}{\boldsymbol{I}}\,$$

  (24.111)

  mit Konstanten $c_{q^{2}}$ und $c_{p^{2}}$?

• (c) Was folgt nun aus der Relation $\{q^{2},p^{2}\}=4qp$ für die Quantisierung $\mathcal{Q}(qp)$ von qp? Sie sollten die symmetrische Operatorordnung $\mathcal{Q}(qp)=({\hat{q}}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}})/2$ erhalten. Dies ist die nach dem deutschen mathematischen Physiker Hermann Weyl (1885–1955) benannte Weyl‐Ordnung.

• (d) Quantisieren Sie nun die Beziehungen $\{qp,q^{2}\}=-2q^{2}$ und $\{qp,p^{2}\}=2p^{2}$ und zeigen Sie danach, dass $c_{q^{2}}$ und $c_{p^{2}}$ null sind. Folgern Sie nun aus den gewonnenen Resultaten, dass auch ${\hat{Q}}(q^{3})={\hat{q}}^{3}$ und ${\hat{Q}}(p^{3})={\hat{p}}^{3}$ gelten müssen.

• (e) Quantisieren Sie jetzt noch $6q^{2}p=\{q^{3},p^{2}\}$. Sie sollten das Weyl‐geordnete Produkt $\mathcal{Q}(q^{2}p)=({\hat{q}}^{2}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}}^{2})/2$ erhalten. Quantisieren Sie schließlich das Produkt $q^{2}p^{2}$ auf zwei Arten, und zwar mithilfe der beiden Poisson‐Klammern

  $$\{q^{3},p^{3}\}=9q^{2}p^{2}\quad\text{und}\quad\{q^{2}p,qp^{2}\}=3q^{2}p^{2}\,.$$

  (24.112)

  Zeigen Sie, dass Sie verschiedene Ausdrücke für $\mathcal{Q}(q^{2}p^{2})$ erhalten.

Lösungshinweis:

Aus $\{q,p\}=1$ bzw. $[{\hat{q}},{\hat{p}}]=\mathrm{i}\hbar{\boldsymbol{I}}$ und der Produktregel (23.84) für die Poisson‐Klammer bzw. den Kommutator folgen die Beziehungen (23.92) bzw. (23.91). Insbesondere gilt für eindimensionale Systeme

$$\{q,f\}=\frac{\partial f}{\partial p}\,,\quad\{p,f\}=-\frac{\partial f}{\partial q}\,,$$

(24.113)

für eine Funktion $f=f(q,p)$ auf dem Phasenraum bzw.

$$[{\hat{q}},{\hat{f}}]=\mathrm{i}\hbar\frac{\partial f}{\partial p}\big|_{q={\hat{q}},p={\hat{p}}}\,,\quad[{\hat{p}},{\hat{f}}]=-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial f}{\partial q}\big|_{q={\hat{q}},p={\hat{p}}}$$

(24.114)

für einen Operator ${\hat{f}}=f({\hat{q}},{\hat{p}})$.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

24.1

Die Eigenfunktionen $\left|{a_{n},k}\right\rangle$ zum Eigenwert a _n seien orthonormiert. Dann ist der orthogonale Projektor auf den Eigenraum zum Eigenwert a _n gleich

$${\hat{P}}_{a_{n}}=\sum_{k}\left|{a_{n},k}\right\rangle\left\langle{a_{n},k}\right|\,.$$

(24.115)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann

$$\begin{aligned}w_{A,\psi}&=\left\langle{\psi}\right|{\hat{P}}_{a_{n}}\left|{\psi}\right\rangle=\sum_{k=1}^{r}\left\langle{a_{n},k}\right|\psi\rangle\,\left\langle{\psi}\right|a_{n},k\rangle\\ &=\sum_{k=1}^{r}|c_{n,k}|^{2}\,,\quad c_{n,k}=\left\langle{a_{n},k}\right|\psi\rangle\,.\end{aligned}$$

(24.116)

24.2

• (a) Da $\psi(x)$ spiegelsymmetrisch ist, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

  $$p=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,|\psi(x)|^{2}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\,|\psi(x)|^{2}=\frac{1}{2}\,.$$

  (24.117)

  Wissen wir nach der Ortsmessung mit Sicherheit, dass x positiv ist, dann kollabiert der Zustandsvektor $\left|{\psi}\right\rangle$ auf

  $${\hat{P}}_{(0,\infty)}\left|{\psi}\right\rangle=\int_{y> 0}\!\mathrm{d}y\,\left(\left|{y}\right\rangle\left\langle{y}\right|\right)\left|{\psi}\right\rangle=\int_{y> 0}\!\mathrm{d}y\,\psi(y)\,\left|{y}\right\rangle\,.$$

  (24.118)

  Wegen $\left\langle{x}\right|y\rangle=\delta(x-y)$ ist die (nichtnormierte) kollabierte Wellenfunktion im Ortsraum kurz nach der Messung

  $$\left\langle{x}\right|{\hat{P}}_{(0,\infty)}\left|{\psi}\right\rangle=\begin{cases}\psi(x)&\text{f{\"u}r }x\geq 0\\ 0&\text{f{\"u}r }x<0\,.\end{cases}$$

  (24.119)

• (b) Die Fourier‐transformierte Wellenfunktion

  $$\tilde{\psi}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\uppi}}\int\mathrm{d}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}\psi(x)=\left(\frac{2\sigma^{2}}{\uppi}\right)^{1/4}\mathrm{e}^{-\sigma^{2}k^{2}}$$

  (24.120)

  ist auch spiegelsymmetrisch, sodass die Wahrscheinlichkeit, eine positive Wellenzahl k oder einen positiven Impuls $p=\hbar k$ zu finden, ebenfalls 1/2 ist.

  Kurz nach der Impulsmessung ist die (unnormierte) Wellenfunktion im k‐Raum

  $$\left\langle{k}\right|{\hat{P}}_{(0,\infty)}\left|{\psi}\right\rangle=\begin{cases}\tilde{\psi}(k)&\text{f{\"u}r }k\geq 0\\ 0&\text{f{\"u}r }k<0\,.\end{cases}$$

  (24.121)

  Im Ortsraum hat die Wellenfunktion kurz nach der Impulsmessung die Form

  $$\frac{1}{\sqrt{2\uppi}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\tilde{\psi}(k)=\left(\frac{\sigma^{2}}{2\uppi^{3}}\right)^{1/4}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\,\mathrm{e}^{-\sigma^{2}k^{2}}\,.$$

  Das letzte Integral kann übrigens mithilfe der Fehlerfunktion

  $$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\uppi}}\int_{0}^{x}\mathrm{d}y\,\mathrm{e}^{-y^{2}}$$

  (24.122)

  folgendermaßen geschrieben werden:

  $$\psi_{\mathrm{danach}}(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}/4\sigma^{2}}}{2(2\uppi\sigma^{2})^{1/4}}\left(\text{erf}\left(\frac{\mathrm{i}x}{2\sigma}\right)+1\right)\,.$$

  (24.123)

• (c) Unmittelbar nach der Impulsmessung ist die Wellenfunktion am Ursprung

  $$\psi_{\mathrm{danach}}(0)=\left(\frac{\sigma^{2}}{2\uppi^{3}}\right)^{1/4}\int_{0}^{\infty}\!\!\mathrm{d}k\,\mathrm{e}^{-\sigma^{2}k^{2}}=\left(\frac{\sigma^{2}}{2\uppi^{3}}\right)^{1/4}\frac{\sqrt{\uppi}}{2\sigma}\,$$

  und hat das Betragsquadrat

  $$|\psi_{\mathrm{danach}}(0)|^{2}=\frac{1}{4}\frac{1}{(2\uppi^{3}\sigma^{2})^{1/2}}=\frac{1}{4}|\psi(0)|^{2}\,.$$

  (24.124)

24.3

• (a) Wir suchen die Taylor‐Entwicklung der einparametrigen Familie von Operatoren

  $$\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}={\hat{B}}+\lambda[{\hat{A}},{\hat{B}}]+O(\lambda^{2})\,.$$

  (24.125)

  Dazu nehmen wir an, die Beziehung

  $$\frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}\lambda^{n}}\,\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}(\text{ad}^{n}_{A}{\hat{B}})\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}\,$$

  (24.126)

  gelte für ein $n\in\mathbb{N}$. Dann gilt sie aber auch für $n+1$:

  $$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}\lambda^{n+1}}\,\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}&=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}[{\hat{A}},(\text{ad}^{n}_{A}{\hat{B}})]\,\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}\\ &=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}(\text{ad}^{n+1}_{A}{\hat{B}})\,\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}\,.\end{aligned}$$

  (24.127)

  Da die Beziehung (24.126) offensichtlich für n = 0 korrekt ist, gilt sie somit für alle $n=\mathbb{N}_{0}$. Deshalb lautet die Taylor‐Entwicklung der linken Seite in (24.125) um $\lambda=0$ wie folgt:

  $$\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^{n}}{n!}(\text{ad}^{n}_{A}{\hat{B}})\,.$$

  (24.128)

  Setzen wir nun $\lambda=1$, so ergibt sich das gesuchte Resultat.

• (b) Falls der Kommutator $[{\hat{A}},{\hat{B}}]$ mit ${\hat{A}}$ und ${\hat{B}}$ vertauscht, dann verschwindet $\text{ad}^{2}_{A}{\hat{B}}$ und (24.28) vereinfacht sich zu

  $$\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{-\lambda{\hat{A}}}={\hat{B}}+\lambda[{\hat{A}},{\hat{B}}]\,.$$

  (24.129)

  Nun betrachten wir die Ableitung von ${\hat{D}}(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}\mathrm{e}^{\lambda{\hat{B}}}$:

  $$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}{\hat{D}}(\lambda)&={\hat{A}}\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}\mathrm{e}^{\lambda{\hat{B}}}+\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}}{\hat{B}}\mathrm{e}^{\lambda{\hat{B}}}\\ &=\left({\hat{A}}+{\hat{B}}+\lambda[{\hat{A}},{\hat{B}}]\right){\hat{D}}(\lambda)\,.\end{aligned}$$

  (24.130)

  Da der Kommutator $[{\hat{A}},{\hat{B}}]$ mit allen aus ${\hat{A}}$ und ${\hat{B}}$ gebildeten Operatoren vertauscht, gilt somit

  $${\hat{D}}(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda{\hat{A}}+\lambda{\hat{B}}+\lambda^{2}[{\hat{A}},{\hat{B}}]/2}\,.$$

  (24.131)

• (c) Da der Kommutator $[\mathrm{i}a{\hat{p}},\mathrm{i}b{\hat{q}}]=\mathrm{i}ab\hbar{\boldsymbol{I}}$ mit allen Operatoren vertauscht, dürfen wir die Beziehung (24.101) anwenden und erhalten

  $${\hat{U}}(a){\hat{V}}(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}a{\hat{p}}+\mathrm{i}b{\hat{q}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}ab\hbar/2}\,.$$

  (24.132)

  Aufgrund von ${\hat{U}}^{-1}(a)={\hat{U}}(-a)$ und ${\hat{V}}^{-1}(b)={\hat{V}}(-b)$ findet man auch

  $${\hat{U}}^{-1}(a){\hat{V}}^{-1}(b)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}a{\hat{p}}-\mathrm{i}b{\hat{q}}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}ab\hbar/2}\,.$$

  (24.133)

  Multipliziert man diese Gleichungen, dann findet man die Weyl’sche Vertauschungsrelation

  $${\hat{U}}(a){\hat{V}}(b){\hat{U}}^{-1}(a){\hat{V}}^{-1}(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}ab\hbar}\,{\boldsymbol{I}}\,.$$

  (24.134)

24.4

• (a) Die Dichtematrix zur Zeit t hat die Form

  $${\hat{\varrho}}(t) =\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_{1}t/\hbar}c_{1}\\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_{2}t/\hbar}c_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{e}^{\mathrm{i}E_{1}t/\hbar}c^{*}_{1}&\mathrm{e}^{\mathrm{i}E_{2}t/\hbar}c^{*}_{2}\end{pmatrix}$$

  (24.135)
  $$ =\begin{pmatrix}|c_{1}|^{2}&c_{1}c_{2}^{*}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\\ c_{2}c_{1}^{*}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}&|c_{2}|^{2}\end{pmatrix}\,,\quad\hbar\omega=E_{2}-E_{1}\,.$$

• (b) Das Zeitmittel der oszillierenden Exponentialfunktion ist

  $$m_{T}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega T/2}\frac{\sin\omega T/2}{\omega T/2}\,,$$

  (24.136)

  sodass die gemittelte Dichtematrix folgende Form hat:

  $$m_{T}({\hat{\varrho}})=\begin{pmatrix}|c_{1}|^{2}&c_{1}c_{2}^{*}\,m_{T}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})\\ c_{2}c_{1}^{*}\,m_{T}^{*}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})&|c_{2}|^{2}\end{pmatrix}\,.$$

  (24.137)

• (c) Für ω ergibt sich der Näherungswert

  $$\omega\approx 10\frac{\text{g}\,\text{m}^{2}}{\text{s}^{2}}\cdot\frac{\text{1}}{10^{-31}\text{m}^{2}\,\text{g}/\text{s}}\approx 10^{32}\,\text{Hz}\,,$$

  (24.138)

  worin die kleine Zahl im Nenner gleich $\hbar$ ist. Somit finden wir nach Mittelung über ein Zeitintervall von $10^{-16}\,$s

  $$|m_{T}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})|\approx 10^{-16}\,.$$

  (24.139)

• (d) Quadriert man $m_{T}({\hat{\varrho}})$ und nimmt davon die Spur, so erhält man

  $$\mathop{\mathrm{Sp}}\left[m_{T}({\hat{\varrho}})\right]^{2}=1-2\left(1-|m_{T}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})|^{2}\right)\,|c_{1}|^{2}|c_{2}|^{2}\,.$$

  (24.140)

  Insbesondere für Zeitmittel $m_{T}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t})\ll 1$ erhalten wir mithilfe der Beziehung $(|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2})^{2}=1$ die Näherung

  $$\mathop{\mathrm{Sp}}\left[m_{T}({\hat{\varrho}})\right]^{2}\approx|c_{1}|^{4}+|c_{2}|^{4}\,.$$

  (24.141)

  Sind c ₁ und c ₂ beide ungleich null, dann ist die rechte Seite kleiner als eins. Dies bedeutet, dass die zeitlich gemittelte Dichtematrix keinen reinen Zustand beschreibt. Durch den Mittelungsprozess ist der reine Zustand effektiv zu einem gemischten Zustand geworden. Mit dem Verschwinden der Nebendiagonalelemente ist die Kohärenz zwischen den Eigenzuständen der Energie praktisch verschwunden.

24.5

• (a) Es sei $\left|{n}\right\rangle$ eine Orthonormalbasis und $\sum_{n}\left|{n}\right\rangle\left\langle{n}\right|={\boldsymbol{I}}$ die zugehörige Zerlegung der Eins. Dann ist

  $$\mathop{\mathrm{Sp}}\left|{\psi}\right\rangle\left\langle{\phi}\right|=\sum_{n}\left\langle{n}\right|\psi\rangle\left\langle{\phi}\right|n\rangle=\sum_{n}\left\langle{\phi}\right|n\rangle\left\langle{n}\right|\psi\rangle\,,$$

  (24.142)

  und es folgt sofort die Beziehung

  $$\mathop{\mathrm{Sp}}\left|{\psi}\right\rangle\left\langle{\phi}\right|=\left\langle{\phi}\right|\psi\rangle\,.$$

  (24.143)

• (b) Man nehme an, die Kommutationsregel $[{\hat{x}},{\hat{p}}]=\mathrm{i}\hbar{\boldsymbol{I}}$ werde von Operatoren ${\hat{x}}$ und ${\hat{p}}$ auf einem Hilbert‐Raum mit $\text{dim}(\mathcal{H})=n<\infty$ erfüllt. Dann sind ${\hat{x}}$ und ${\hat{p}}$ durch $n\times n$‐Matrizen dargestellt, und die Spur ist die wohldefinierte Matrixspur. Man findet das widersprüchliche Resultat

  $$0=\mathop{\mathrm{Sp}}[{\hat{x}},{\hat{p}}]=\mathrm{i}\hbar\mathop{\mathrm{Sp}}{\boldsymbol{I}}=\mathrm{i}\hbar n\,.$$

  (24.144)

  Wir folgern, dass die Heisenberg’schen Kommutationsregeln auf einem endlich‐dimensionalen Hilbert‐Raum nicht realisiert werden können. Dies zeigt, dass die Quantenmechanik mit Orts‐ und Impulsoperator auf einem unendlich‐dimensionalen Hilbert‐Raum formuliert werden muss. Dann sind die Spuren der Operatoren ${\hat{x}}{\hat{p}},\,{\hat{p}}{\hat{x}}$ und ${\boldsymbol{I}}$ nicht mehr definiert, und der Widerspruch verschwindet.

• (c) Sei $\left|{n}\right\rangle$ wieder eine Orthonormalbasis im Hilbert‐Raum. Wir benutzen die Definition der Spur und die Zerlegung der Eins und erhalten

  $$\mathop{\mathrm{Sp}}({\hat{A}}^{\dagger}{\hat{A}}) =\sum_{n}\left\langle{n}\right|{\hat{A}}^{\dagger}{\hat{A}}\left|{n}\right\rangle=\sum_{n,m}\left\langle{n}\right|{\hat{A}}^{\dagger}\left|{m}\right\rangle\left\langle{m}\right|{\hat{A}}\left|{n}\right\rangle$$
  $$ =\sum_{m,n}a^{*}_{mn}a_{mn}=\sum_{m,n}|a_{mn}|^{2}\,.$$

  (24.145)

• (d) Wir können die komplexen $n\times n$‐Matrizen mit dem Vektorraum $\mathbb{C}^{n^{2}}$ identifizieren, wenn wir die Matrixelemente als Tupel in $\mathbb{C}^{n^{2}}$ auffassen. Dann ist $\sum|a_{mn}|^{2}$ die bekannte euklidische Norm auf dem Vektorraum $\mathbb{C}^{n^{2}}$.

24.6

Eine n‐dimensionale komplexe Matrix hat $2n^{2}$ reelle Parameter. Die erste Bedingung in

$${\hat{\varrho}}^{\dagger}={\hat{\varrho}}\,,\quad\mathop{\mathrm{Sp}}({\hat{\varrho}})=1$$

(24.146)

reduziert die komplexen Nichtdiagonalelemente um die Hälfte und bedeutet zudem, dass die Diagonalelemente reell sein müssen. Also reduziert sie die Anzahl reeller Parameter um $n(n-1)+n=n^{2}$. Die Spurbedingung eliminiert noch einen Parameter, sodass eine Dichtematrix von $2n^{2}-n^{2}-1=n^{2}-1$ reellen Parametern abhängt.

Die Dichtematrix beschreibt einen reinen Zustand, wenn $\mathop{\mathrm{Sp}}({\hat{\varrho}}^{2})=\mathop{\mathrm{Sp}}{\hat{\varrho}}=1$ gilt. Somit werden die Dichtematrizen der reinen Zustände durch maximal $n^{2}-2$ reelle Variablen parametrisiert.

24.7

• (a) Wie in Abschn. 24.4 besprochen, ist die allgemeinste Dichtematrix in $\mathbb{C}^{2}$ gleich

  $$\varrho=\frac{1}{2}\left({\boldsymbol{I}}+{\boldsymbol{\xi}}\cdot{\boldsymbol{\sigma}}\right)\quad\text{mit}\quad{\boldsymbol{\xi}}^{2}\leq 1\,.$$

  (24.147)

  Nun können wir die hermiteschen Matrizen $A,B$ und C als Linearkombinationen der Pauli‐Matrizen schreiben:

  $$A=3{\boldsymbol{I}}+2\sigma_{1}\,,\quad B=2{\boldsymbol{I}}-\sigma_{2}\,,\quad C=2{\boldsymbol{I}}-\sigma_{3}\,.$$

  (24.148)

  Nun folgt sofort

  $$\begin{aligned}\langle{A}\rangle&=\mathop{\mathrm{Sp}}(\varrho A)=3+2\xi_{1}=4\,,\\ \langle{B}\rangle&=\mathop{\mathrm{Sp}}(\varrho B)=2-\xi_{2}=3/2\,,\\ \langle{C}\rangle&=\mathop{\mathrm{Sp}}(\varrho C)=2-\xi_{3}=2\,,\end{aligned}$$

  (24.149)

  und dieses lineare Gleichungssystem hat die Lösung

  $${\boldsymbol{\xi}}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\,,\quad\text{sodass}\quad\varrho=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&1-\mathrm{i}\\ 1+\mathrm{i}&2\end{pmatrix}\,.$$

  (24.150)

• (b) Die Dichtematrix $\varrho$ beschreibt keinen reinen Zustand, da

  $$\varrho^{2}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}3/2&1-\mathrm{i}\\ 1+\mathrm{i}&3/2\end{pmatrix}$$

  (24.151)

  ungleich $\varrho$ ist.

24.8

• (a) Es gilt

  $$[{\hat{q}},{\hat{p}}]\equiv[\mathcal{Q}(q),\mathcal{Q}(p)]=\mathrm{i}\hbar\mathcal{Q}(\{q,p\})=\mathrm{i}\hbar{\boldsymbol{I}}\,.$$

  (24.152)

  Im letzten Schritt wurde $\mathcal{Q}(1)={\boldsymbol{I}}$ benutzt.

• (b) Aus den Eigenschaften von $\mathcal{Q}$ folgen die Kommutatoren

  $$[\mathcal{Q}(q),\mathcal{Q}(q^{m})] =\mathrm{i}\hbar\mathcal{Q}(\{q,q^{m}\})=0\,,$$

  (24.153)
  $$[\mathcal{Q}(p),\mathcal{Q}(q^{m})] =\mathrm{i}\hbar\mathcal{Q}(\{p,q^{m}\})=-\mathrm{i}\hbar m\mathcal{Q}(q^{m-1})\,.$$

  Betrachten wir nun den Spezialfall m = 2, dann sehen wir, dass $\mathcal{Q}(q^{2})$ dieselben Kommutationsregeln mit $\mathcal{Q}(q)\equiv{\hat{q}}$ und $\mathcal{Q}(p)\equiv{\hat{q}}$ hat wie ${\hat{q}}^{2}$. Somit folgt aus der Irreduzibilitätsannahme

  $$\mathcal{Q}(q^{2})-{\hat{q}}^{2}=c_{q^{2}}{\boldsymbol{I}}\,$$

  (24.154)

  mit einer Konstanten $c_{q^{2}}$. Ähnlich folgt aus

  $$\begin{aligned}{}[\mathcal{Q}(q),\mathcal{Q}(p^{m})]&=\mathrm{i}\hbar\mathcal{Q}(\{q,p^{m}\})=\mathrm{i}\hbar m\mathcal{Q}(p^{m-1})\,,\\ [\mathcal{Q}(p),\mathcal{Q}(p^{m})]&=\mathrm{i}\hbar\mathcal{Q}(\{p,p^{m}\})=0\end{aligned}$$

  (24.155)

  und der Irreduzibiltät von ${\hat{q}},{\hat{p}}$ die Beziehung

  $$\mathcal{Q}(p^{2})-{\hat{p}}^{2}=c_{p^{2}}{\boldsymbol{I}}\,.$$

  (24.156)

• (c) Die Quantisierung von $\{q^{2},p^{2}\}=4qp$ führt auf das Weyl‐geordnete Produkt:

  $$\mathcal{Q}(qp) =\frac{1}{4}\mathcal{Q}(\{q^{2},p^{2}\})=\frac{1}{4\mathrm{i}\hbar}[\mathcal{Q}(q^{2}),\mathcal{Q}(p^{2})]$$

  (24.157)
  $$ =\frac{1}{4\mathrm{i}\hbar}[{\hat{q}}^{2}+c_{q^{2}}{\boldsymbol{I}},{\hat{p}}^{2}+c_{p^{2}}{\boldsymbol{I}}]=\frac{1}{2}({\hat{q}}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}})\,.$$

  Im letzten Schritt machten wir von (24.114) Gebrauch.

• (d) Die Quantisierung der in der Aufgabenstellung angegebenen Poisson‐Klammern führt auf

  $$\begin{aligned}\mathcal{Q}(q^{2})&=-\frac{1}{2}\mathcal{Q}(\{qp,q^{2}\})=\frac{\mathrm{i}}{4\hbar}[{\hat{q}}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}},{\hat{q}}^{2}]={\hat{q}}^{2}\,,\\ \mathcal{Q}(p^{2})&=\frac{1}{2}\mathcal{Q}(\{qp,p^{2}\})=\frac{1}{4\mathrm{i}\hbar}[{\hat{q}}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}},{\hat{p}}^{2}]={\hat{p}}^{2}\,,\end{aligned}$$

  was bedeutet, dass die Konstanten $c_{q^{2}}$ und $c_{p^{2}}$ verschwinden. Benutzt man dieses Ergebnis in (24.153) und (24.155) mit m = 3, so folgen sofort die Beziehungen

  $$\mathcal{Q}(q^{3})={\hat{q}}^{3}+c_{q^{3}}{\boldsymbol{I}}\quad\text{und}\quad\mathcal{Q}(p^{3})={\hat{p}}^{3}+c_{p^{3}}{\boldsymbol{I}}\,.$$

  (24.158)

  Wiederholt man die Betrachtung für q ³ und p ³, so findet man

  $$\begin{aligned}\mathcal{Q}(q^{3})&=-\frac{1}{3}\mathcal{Q}(\{qp,q^{3}\})=\frac{\mathrm{i}}{6\hbar}[{\hat{q}}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}},{\hat{q}}^{3}]={\hat{q}}^{3}\,,\\ \mathcal{Q}(p^{3})&=\frac{1}{3}\mathcal{Q}(\{qp,p^{3}\})=\frac{1}{6\mathrm{i}\hbar}[{\hat{q}}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}},{\hat{p}}^{3}]={\hat{p}}^{3}\,,\end{aligned}$$

  was bedeutet, dass die Konstanten in (24.158) ebenfalls verschwinden. Allgemeiner schließt man von der Quantisierungsvorschrift

  $$\mathcal{Q}(q^{m})={\hat{q}}^{m}\quad\text{und}\quad\mathcal{Q}(q^{m})={\hat{p}}^{m}$$

  (24.159)

  für irgendein $m\in\mathbb{N}$ auf die entsprechende Vorschrift für $m+1$, sodass (24.159) für alle natürlichen m gilt.

• (e) Die Quantisierung von $6q^{2}p=\{q^{3},p^{2}\}$ führt auf

  $$\begin{aligned}\mathcal{Q}(q^{2}p)&=\frac{1}{6}\mathcal{Q}(\{q^{3},p^{2}\})=\frac{1}{6\mathrm{i}\hbar}[\mathcal{Q}(q^{3}),\mathcal{Q}(p^{2})]\\ &=\frac{1}{6\mathrm{i}\hbar}[{\hat{q}}^{3},{\hat{p}}^{2}]=\frac{1}{2}({\hat{q}}{\hat{p}}^{2}+{\hat{q}}^{2}{\hat{p}})\,,\end{aligned}$$

  (24.160)

  und analog findet man auch hier die Weyl‐Ordnung:

  $$\mathcal{Q}(qp^{2})=\frac{1}{2}({\hat{q}}{\hat{p}}^{2}+{\hat{p}}^{2}{\hat{q}})\,.$$

  (24.161)

  Nun sind wir so weit, um $q^{2}p^{2}$ mithilfe der in der Aufgabenstellung gegebenen Poisson‐Klammern auf zwei Wegen quantisieren zu können. Mithilfe der Kommutations‐ und Produktregeln (23.84) gelangt man über die Quantisierung von $q^{2}p^{2}=\{q^{3},p^{3}\}/9$ nach einer etwas längeren Rechnung zu

  $$\begin{aligned}\mathcal{Q}(q^{2}p^{2})&=\frac{1}{9\mathrm{i}\hbar}[\mathcal{Q}(q^{3}),\mathcal{Q}(p^{3})]=\frac{1}{9\mathrm{i}\hbar}[{\hat{q}}^{3},{\hat{p}}^{3}]\\ &={\hat{q}}^{2}{\hat{p}}^{2}-2\mathrm{i}\hbar{\hat{q}}{\hat{p}}-\frac{2}{3}\hbar^{2}\,.\end{aligned}$$

  (24.162)

  Die Quantisierung von $q^{2}p^{2}=\{q^{2}p,qp^{2}\}/3$ führt dagegen auf

  $$\begin{aligned}\mathcal{Q}(q^{2}p^{2})&=\frac{1}{3\mathrm{i}\hbar}[\mathcal{Q}(q^{2}p),\mathcal{Q}(qp^{2})]\\ &=\frac{1}{12\mathrm{i}\hbar}[{\hat{q}}^{2}{\hat{p}}+{\hat{p}}{\hat{q}}^{2},{\hat{q}}{\hat{p}}^{2}+{\hat{p}}^{2}{\hat{q}}]\\ &={\hat{q}}^{2}{\hat{p}}^{2}-2\mathrm{i}\hbar{\hat{q}}{\hat{p}}-\frac{1}{3}\hbar^{2}\,.\end{aligned}$$

  (24.163)

  Die Differenz der rechten Seiten ist $\hbar^{2}/3\neq 0$, und dies zeigt, dass keine Quantisierungsabbildung $\mathcal{Q}$ mit den angegebenen Eigenschaften existiert.