Formalismus der Quantenmechanik

Kapitelvorwort

In der Quantentheorie gilt das Superpositionsprinzip exakt für abgeschlossene Systeme. Man kann Zustände überlagern, die in der klassischen Physik als vollkommen getrennt behandelt werden. Deshalb bildet der Raum der Wellenfunktionen einen Vektorraum und die Wahrscheinlichkeitsinterpretation versieht ihn mit einem Skalarprodukt. Ein vollständiger Vektorraummit Skalarprodukt heißt Hilbert-Raum. Hilbert-Räume werden in Abschnitt 23.1 eingeführt und die in der Quantenmechanik häufgauftretenden Räume werden im Detail besprochen. Nach dem Korrespondenzprinzip werden klassischen Observablen hermitesche lineare Operatoren zugeordnet. Hermitesche Operatoren auf Hilbert-Räumen und ihre wesentlichen Eigenschaften werden in Abschnitt 23.2 diskutiert. Die Eigenwerte eines Operators - sie bilden das Spektrum des Operators - sind die möglichen Resultate bei einer Messung der entsprechenden Observablen. Deshalb ist in der Quantentheorie die Lösung von Eigenwertproblemen der linearen Algebra von großer Bedeutung. Die spektralen Eigenschaften von Operatoren werden in Abschnitt 23.3 besprochen. Der abschließende Abschnitt 23.4 handelt von unitären Hilbert-Raum-Operatoren. Diese beschreiben Symmetrietransformationen von Quantensystemen.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

23.1 •• Optimale Entwicklungskoeffizienten

Die endliche Summe

$$\psi^{(n)}=c_{1}\psi_{1}+\dots+c_{n}\psi_{n}$$

(23.191)

soll den Vektor $\psi\in\mathcal{H}$ möglichst genau approximieren, d. h., die Entwicklungskoeffizienten c _k sollen so gewählt werden, dass der Abstand $\Updelta=\|\psi-\psi^{(n)}\|$ minimal wird.

• (a) Überzeugen Sie sich davon, dass für orthonormierte $\psi_{k}$ die optimalen Koeffizienten $c_{k}=\langle{\psi_{k}},{\psi}\rangle$ sind.

• (b) Wie müssen die Koeffizienten gewählt werden, wenn die $\psi_{k}$ nicht orthonormiert sind?

23.2 ••• Der Raum der stetigen Funktionen ist unvollständig

Zeigen Sie, dass der unendlich‐dimensionale Vektorraum der stetigen Funktionen $[a,b]\to\mathbb{C}$ mit Skalarprodukt

$$\langle{\phi},{\psi}\rangle=\int_{a}^{b}\phi^{*}(x)\psi(x)\,\mathrm{d}x\,$$

(23.192)

nicht vollständig ist. Es ist also nur ein Prä‐Hilbert‐Raum und kein Hilbert‐Raum.

Lösungshinweis:

Man konstruiere eine Cauchy‐Folge ähnlich wie in Abbbildung 23.2 skizziert, die in der L ₂‐Norm gegen eine unstetige Funktion konvergiert.

23.3 •• Approximation der Dreiecksschwingung

Gegeben sei die stetige und periodische Dreiecksschwingung mit der Periode 1. Im Intervall $[0,1]$ ist sie definiert durch

$$\psi(x)=\begin{cases}x&\text{f{\"u}r }0\leq x<\frac{1}{2}\\ 1-x&\text{f{\"u}r }\frac{1}{2}\leq x<1\,.\end{cases}$$

(23.193)

• (a) Berechnen Sie die Fourier‐Koeffizienten c _n mithilfe der Fourier‐Rücktransformation und gewinnen Sie damit die Fourier‐Reihe für $\psi(x)$.

• (b) Plotten Sie die approximierenden Funktionen

  $$\psi^{(n)}(x)=\sum_{k=0,\dots,n}c_{k}\cos(2\uppi\mathrm{i}kx)$$

  (23.194)

  auf dem Intervall $[0,2]$ für n = 1,3 und 15.

• (c) Berechnen Sie nun $\|\psi\|^{2}$ und überprüfen Sie die Parseval‐Gleichung

  $$\|\psi\|^{2}=\sum_{k}|c_{k}|^{2}\,.$$

  (23.195)

Lösungshinweis:

Diese Aufgabe ist ähnlich zu Aufgabe 8.4. In Teilaufgabe (c) werden Sie auf ein Reihe geführt, die Sie bei Gradshteyn und Ryzhik (2007) finden.

23.4 • Verschränkung

Gegeben sei ein zusammengesetztes System mit Zustandsraum $\mathcal{H}=\mathcal{H}_{1}\otimes\mathcal{H}_{2}$. Betrachten Sie nun zwei sogenannte Qbits. Dies bedeutet $\mathcal{H}_{1}=\mathcal{H}_{2}=\mathbb{C}^{2}$. Die Basis von $\mathbb{C}^{2}$ sei $\left|{1}\right\rangle$ und $\left|{2}\right\rangle$, und die Produktzustände $\left|{a}\right\rangle\otimes\left|{b}\right\rangle$ werden mit $\left|{ab}\right\rangle$ bezeichnet.

• (a) Für welche komplexen Koeffizienten $\alpha,\beta,\gamma$ und δ ist

  $$\left|{\psi}\right\rangle=\alpha\left|{11}\right\rangle+\beta\left|{12}\right\rangle+\gamma\left|{21}\right\rangle+\delta\left|{22}\right\rangle$$

  (23.196)

  separabel?

• (b) Welcher der beiden Zustände $\left|{\psi_{\pm}}\right\rangle=\left|{11}\right\rangle+\left|{12}\right\rangle+\left|{21}\right\rangle\pm\left|{22}\right\rangle$ ist verschränkt? Schreiben Sie den separablen Zustand als Tensorprodukt von zwei Vektoren.

Lösungshinweis:

Die Koeffizienten $\alpha,\beta,\gamma$ und δ definieren eine Matrix. Im Kapiteltext wurde die Eigenschaft dieser Matrix für separable Zustände diskutiert.

23.5 • Zerlegung eines Operators

Zeigen Sie, dass ein linearer Operator ${\hat{A}}$ die Darstellung ${\hat{A}}={\hat{H}}_{1}+\mathrm{i}{\hat{H}}_{2}$ mit zwei hermiteschen Operatoren ${\hat{H}}_{1}$ und ${\hat{H}}_{2}$ hat.

Lösungshinweis:

Vergleichen Sie mit dem Real‐ und Imaginärteil einer komplexen Zahl.

23.6 •• Orts‐ und Impulsoperator sind unbeschränkt

Wir wollen uns in dieser Aufgabe davon überzeugen, dass Orts‐ und Impulsoperatoren unbeschränkt sind. Im Falle des Ortsoperators fehlt es einigen L ₂‐Funktionen an Abfalleigenschaften und im Falle des Impulsoperators an Differenzierbarkeitseigenschaften. Betrachten Sie die Wellenfunktionen

$$\phi(x)=\sqrt{\frac{a}{\uppi}}\frac{1}{1+\mathrm{i}ax}\,,\quad\psi(x)=\sqrt{a}\,\text{sign}(x)\,\mathrm{e}^{-a|x|}\,$$

(23.197)

mit a > 0. Zeigen Sie, dass

• (a) ϕ und ψ normierte Funktionen in $L_{2}(\mathbb{R})$ sind,

• (b) die Funktion $x\phi_{n}$ nicht quadratintegrabel ist,

• (c) die Funktion ${\hat{p}}\psi_{n}$ nicht quadratintegrabel ist.

23.7 •• Spektralzerlegung für eine Matrix

Hier üben wir die Spektralzerlegung anhand eines einfachen Beispiels. Dazu betrachten wir die symmetrische Matrix

$$A=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}27&12&-24\\ 12&59&8\\ -24&8&47\end{pmatrix}\,.$$

(23.198)

• (a) Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix .

• (b) Wie lauten die Spektralprojektoren?

• (c) Überzeugen Sie sich, dass diese alle Eigenschaften von Spektralprojektoren erfüllen.

• (d) Berechnen Sie $\sqrt{A}$ mithilfe der Spektralzerlegung.

Lösungshinweis:

Sie dürfen hier ein algebraisches Programm einsetzen.

23.8 •• Unitäre Operatoren

Für quadratintegrable Funktionen definiert man den Paritäts‐, Translations‐ und Dilatationsoperator sowie den Operator der Fourier‐Transformation gemäß

$$({\hat{P}}\psi)({\boldsymbol{x}}) =\psi(-{\boldsymbol{x}})\,,$$

$$({\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}\psi)({\boldsymbol{x}}) =\psi({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{a}})\,,$$

$$({\hat{D}}_{\lambda}\psi)({\boldsymbol{x}}) =\lambda^{3/2}\psi(\lambda{\boldsymbol{x}})\,,$$

$$({\hat{F}}\psi)({\boldsymbol{k}}) =\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})$$

(23.199)

mit $\kappa=(2\uppi)^{-3/2}$.

• (a) Bestimmen Sie die jeweiligen inversen Operatoren.

• (b) Verifizieren Sie die folgenden Relationen

  $${\hat{F}}{\hat{P}}={\hat{P}}{\hat{F}},\quad{\hat{F}}^{2}={\hat{P}}\quad\text{und}\quad{\hat{F}}{\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}={\hat{E}}_{\boldsymbol{a}}{\hat{F}}\,,$$

  (23.200)

  indem Sie die verschiedenen Operatoren auf Wellenfunktionen im Ortsraum wirken lassen. Der Paritätsoperator wirkt im ${\boldsymbol{k}}$‐Raum gemäß $({\hat{P}}\tilde{\psi})({\boldsymbol{k}})=\tilde{\psi}(-{\boldsymbol{k}})$. Der Operator ${\hat{E}}_{\boldsymbol{a}}$ ist definiert durch $({\hat{E}}_{\boldsymbol{a}}\psi)({\boldsymbol{x}})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})$.

• (c) Begründen Sie, warum diese Operatoren unitär sind.

• (d) Was kann man aus ${\hat{F}}^{4}=1$ für die Eigenwerte von ${\hat{F}}$ schließen?

Lösungshinweis:

Bei der Lösung der Aufgabe braucht man Eigenschaften der Fourier‐Transformation, wie man sie im Kasten „Vertiefung: Wichtige Eigenschaften der Fourier‐Transformation“ in Abschn. 13.1 findet.

23.9 •• Schiebeoperatoren

Wir betrachten den Rechtsschiebeoperator ${\hat{R}}$ auf dem Hilbert’schen Folgenraum:

$${\hat{R}}:\;(c_{1},c_{2},c_{3},\dots)\quad\longrightarrow(0,c_{1},c_{2},\dots)$$

(23.201)

• (a) Zeigen Sie, dass ${\hat{R}}$ eine Isometrie (d. h. längenerhaltend) ist. Was ist die Norm von ${\hat{R}}$?

• (b) Argumentieren Sie, dass ${\hat{R}}$ nicht surjektiv ist. Warum ist ${\hat{R}}$ nicht unitär?

• (c) Zeigen Sie, dass der zum Rechtsschiebeoperator adjungierte Operator der Linksschiebeoperator ist:

  $${\hat{L}}:\;(b_{1},b_{2},b_{3},\dots)\quad\longrightarrow(b_{2},b_{3},b_{4},\dots)\,.$$

  (23.202)

• (d) Bestimmen Sie die Operatoren ${\hat{R}}{\hat{L}}$ und ${\hat{L}}{\hat{R}}$.

• (e) Untersuchen Sie die Eigenwertgleichungen ${\hat{L}}{\hat{R}}\psi=\lambda\psi$ und ${\hat{R}}{\hat{L}}\psi=\lambda\psi$. Warum sind die Eigenwerte reell und nichtnegativ?

Lösungshinweis:

Unitäre Abbildungen müssen isometrisch und bijektiv sein.

23.10 ••• Nichthermitesche Hamilton‐Operatoren

Eine antilineare Involution ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ ist eine antilineare und selbstinverse Abbildung, d. h. ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}={\boldsymbol{I}}$. Ein linearer Operator ${\hat{H}}$ sei invariant unter einer antilinearen Involution (Symmetrie) ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$, d. h.

$$[{\hat{H}},{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}]=0\,.$$

(23.203)

Theorem von Kramer und Wigner

Ist $\left|{\psi}\right\rangle$ gleichzeitiger Eigenvektor von $\hat{H}$ und $\hat{J}$, dann ist der zugehörige Eigenwert von $\hat{H}$ reell.

Das Theorem findet Anwendung in der Spektroskopie für Atome mit einer ungeraden Anzahl von Fermionen (z. B. das Deuterium mit je einem Elektron, Proton und Neutron) in elektrischen Feldern. Dabei ist ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ der Operator der Zeitumkehr. Beachten Sie, dass das Theorem auch für nichthermitesche Operatoren ${\hat{H}}$ gilt.

Achtung

Es wurde vorausgesetzt, dass ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ und ${\hat{H}}$ gleichzeitig diagonalisiert werden können. Obwohl die Operatoren vertauschen, braucht das nicht wahr zu sein, da ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ nichtlinear ist.

• (a) Beweisen Sie, dass die Eigenwerte einer antilinearen Involution unimodulare komplexe Zahlen (komplexe Zahlen vom Betrag 1) sind.

• (b) Zeigen Sie dann, dass zu jedem Eigenvektor $\left|{\psi}\right\rangle$ von ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ immer ein Eigenvektor proportional zu $\left|{\psi}\right\rangle$ mit Eigenwert 1 existiert.

• (c) Beweisen Sie das Theorem von Kramer und Wigner.

Lösungshinweis:

Beim Beweis des Theorems in Teilaufgabe (a) wirke man mit ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ auf die Eigenwertgleichung für $\left|{\psi}\right\rangle$ und vergleiche mit der Eigenwertgleichung für ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle$. In Teilaufgabe (b) sollten Sie zunächst allgemein überlegen, welchen Eigenwert der Vektor $\alpha\left|{\psi}\right\rangle$ hat, wenn $\left|{\psi}\right\rangle$ den Eigenwert λ hat; beachten Sie dabei die Antilinearität.

23.11 •• PT‐symmetrische Quantenmechanik

Üblicherweise verlangt man in der Quantenmechanik die Bedingung ${\hat{H}}={\hat{H}}^{\dagger}$, damit der Hamilton‐Operator ein reelles Spektrum hat. Wenn man dagegen verlangt, dass ${\hat{H}}$ mit der Zeitumkehr in Kombination mit der Raumspiegelung vertauscht, dann erhält man eine große Klasse von nichthermiteschen Hamilton‐Operatoren, die ebenfalls ein reelles Spektrum aufweisen.

In der Quantenmechanik sind die Spiegelung und Zeitumkehr im Ortsraum durch folgende lineare und antilineare Abbildungen implementiert:

$$({\hat{P}}\psi)(t,{\boldsymbol{x}})=\psi(t,-{\boldsymbol{x}}),\quad({\hat{T}}\psi)(t,{\boldsymbol{x}})=\psi^{*}(-t,{\boldsymbol{x}})\,.$$

(23.204)

Es sei ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}={\hat{P}}{\hat{T}}$ die gleichzeitige Spiegelung und Zeitumkehr.

• (a) Zeigen Sie, dass ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ eine antilineare Involution ist.

• (b) Beweisen Sie, dass ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ wie folgt auf Funktionen des Impuls‐ und Ortsoperators wirkt:

  $${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}f({\hat{\boldsymbol{x}}}){J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}=f^{*}(-{\hat{\boldsymbol{x}}}),\quad{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}f({\hat{\boldsymbol{p}}}){J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}=f^{*}({\hat{\boldsymbol{p}}})\,.$$

  (23.205)

• (c) Folgern Sie nun, dass der für fast alle reellen $\alpha\in[-1,\infty)$ nichthermitesche Hamilton‐Operator für ein Teilchen auf der reellen Achse

  $${\hat{H}}=\frac{1}{2m}{\hat{p}}^{2}+{\hat{x}}^{2}(\mathrm{i}{\hat{x}})^{\alpha}$$

  (23.206)

  PT‐symmetrisch ist, d. h. mit ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ vertauscht.

Lösungshinweis:

Mehr zu PT‐symmetrischen Quantensystemen finden Sie z. B. bei Bender und Boettcher (1998).

23.12 ••• Cayley‐Transformation

Neben der Exponentiation gibt es eine weitere Transformation, die einem selbstadjungierten Operator einen unitären Operator zuordnet. Diese nach Cayley benannte Transformation ist motiviert durch die einfache Beobachtung, dass für jede reelle Zahl a die komplexe Zahl

$$u=\frac{\mathrm{i}-a}{\mathrm{i}+a}$$

(23.207)

die Länge 1 hat, also eine Phase ist. Die Umkehrtransformation lautet

$$a=\mathrm{i}\,\frac{1-u}{1+u}\,.$$

(23.208)

Sie existiert nur, wenn $1+u$ nicht verschwindet.

• (a) Zeigen Sie, dass für einen selbstadjungierten Operator ${\hat{A}}$ die Cayley‐Transformierte

  $${\hat{U}}=\left(\mathrm{i}{\boldsymbol{I}}-{\hat{A}}\right)\left(\mathrm{i}{\boldsymbol{I}}+{\hat{A}}\right)^{-1}$$

  (23.209)

  unitär ist.

• (b) Zeigen Sie, dass die Umkehrtransformation

  $${\hat{A}}=\mathrm{i}\left({\boldsymbol{I}}-{\hat{U}}\right)\left({\boldsymbol{I}}+{\hat{U}}\right)^{-1}$$

  (23.210)

  jedem unitären Operator ${\hat{U}}$, für den −1 kein Eigenwert ist, einen selbstadjungierten Operator zuordnet.

• (c) Berechnen Sie die Wirkung der Cayley‐Transformierten des selbstadjungierten Operators ${\hat{A}}={\boldsymbol{a}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}}/\hbar$ mit ${\boldsymbol{a}}\in\mathbb{R}^{n}$ auf eine Wellenfunktion $\psi({\boldsymbol{x}})$.

• (d) Entwickeln Sie die transformierte Wellenfunktion bis zur zweiten Ordnung in ${\boldsymbol{a}}$.

Lösungshinweis:

Zeigen Sie zuerst, dass Inversion und Adjungation vertauschen. Bei Teilaufgabe (c) ist es hilfreich, wenn man die Wirkung der Cayley‐Transformierten im ${\boldsymbol{k}}$‐Raum benutzt. Dabei werden Sie eventuell das Integral

$$\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi}\left(1+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\xi{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}}}=\frac{1+\mathrm{i}{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}}}{1-\mathrm{i}{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}}}$$

(23.211)

brauchen, um das auftretende Fourier‐Integral zu berechnen.

Lösungen zu den Aufgaben

23.2

Funktionenfolgen und Funktionenreihen werden im „Mathematischen Hintergrund“ 8.2.3 besprochen.

23.7

Sie sollten die Eigenvektoren

$$c_{(1)}=\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 0\end{pmatrix},\;\;c_{(2)}=\frac{1}{\sqrt{35}}\begin{pmatrix}-3\\ 1\\ 5\end{pmatrix},\;\;c_{(3)}=\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 2\end{pmatrix}\,$$

finden.

23.8

Die Fourier‐Transformation ist eine lineare Abbildung $L_{2}(\mathbb{R}^{3})\mapsto L_{2}(\mathbb{R}^{3})$, welche Funktionen im Ortsraum in Funktionen im Impulsraum abbildet. Deshalb ist a priori nicht klar, was man mit Eigenfunktion der Fourier‐Transformation meint. In dieser Aufgabe meinen wir mit einer Eigenfunktion von ${\hat{F}}$ eine Funktion ψ, für die $({\hat{F}}\psi)({\boldsymbol{x}})$ ein Vielfaches von $\psi({\boldsymbol{x}})$ ist.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

23.1

• (a) Nach Voraussetzung sind die $\psi_{k}$ orthonormiert, und deshalb ist $\|\psi^{(n)}\|^{2}=\sum|c_{k}|^{2}$. Somit gilt

  $$\Updelta^{2}=\|\psi\|^{2}-\sum_{k}c_{k}\langle{\psi},{\psi_{k}}\rangle-\sum c^{*}_{k}\langle{\psi_{k}},{\psi}\rangle+\sum_{k}c^{*}_{k}c_{k}\,.$$

  Die Differenz wird minimal für

  $$0=\frac{\partial\Updelta^{2}}{\partial c_{k}}=c^{*}_{k}-\langle{\psi},{\psi_{k}}\rangle\,,$$

  (23.212)

  d. h. für die Wahl $c_{k}=\langle{\psi_{k}},{\psi}\rangle$.

• (b) Sind die $\psi_{k}$ nicht orthonormal, dann ist der letzte Term im Ausdruck für $\Updelta^{2}$ gleich $\sum_{k,l}c^{*}_{k}c_{l}\langle{\psi_{k}},{\psi_{l}}\rangle$. Die Extremalbedingung führt dann auf das lineare Gleichungssystem

  $$\sum_{l}\langle{\psi_{k}},{\psi_{l}}\rangle c_{l}=\langle{\psi_{k}},{\psi}\rangle\,.$$

  (23.213)

  Um die Entwicklungskoeffizienten zu berechnen, muss man die Matrix mit den Matrixelementen $\langle{\psi_{k}},{\psi_{l}}\rangle$ invertieren.

23.2

Zum Beweis betrachte man folgende Folge von stetigen Funktionen auf dem Intervall $[0,2]$:

$$\psi_{n}(x)=\begin{cases}x^{n}&\text{f{\"u}r }\;0\leq x<1\\ 1&\text{f{\"u}r }\;1\leq x<2\,.\end{cases}$$

(23.214)

Es ist eine Cauchy‐Folge, weil das Abstandsquadrat zweier Elemente der Folge

$$\begin{aligned}\|\psi_{m}-\psi_{n}\|^{2}&=\int_{0}^{1}\mathrm{d}x\,\left(x^{m}-x^{n}\right)^{2}\\ &=\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2n+1}-\frac{2}{m+n+1}\\ &=\frac{2(m-n)^{2}}{(2m+1)(2n+1)(m+n+1)}\end{aligned}$$

(23.215)

für alle $m,n\geq N$ mit zunehmendem N gegen null strebt:

$$\|\psi_{m}-\psi_{n}\|^{2}<\frac{1}{2N+1}\,.$$

(23.216)

Diese Cauchy‐Folge von stetigen Funktionen konvergiert punktweise gegen die unstetige Stufenfunktion, die auf dem Intervall $[0,1)$ den Wert 0 annimmt und auf dem Intervall $[1,2]$ den Wert 1. Wir können diese Eigenschaft aber nicht direkt ausnutzen, da immer noch eine stetige Funktion existieren könnte, gegen welche die $\psi_{n}$ zwar nicht punktweise, aber bezüglich der L ₂‐Norm konvergieren.

Wir wollen zeigen, dass dies unmöglich ist. Dazu nehmen wir an, die $\{\psi_{n}\}$ konvergieren in der L ₂‐Norm gegen ein stetiges ψ. Es seien $\Uppsi_{n}$ und $\Uppsi$ diejenigen Stammfunktionen von $\psi_{n}$ und ψ, die am Ursprung verschwinden. Aus der Schwarz’schen Ungleichung (23.11), angewandt auf die konstante Funktion 1 und die Funktion $|\psi-\psi_{n}|$, folgt

$$|\Uppsi(x)-\Uppsi_{n}(x)| =\big|\int_{0}^{x}\mathrm{d}t\,\left(\psi(t)-\psi_{n}(t)\right)\big|$$

(23.217)

$$ \leq\int_{0}^{2}\mathrm{d}t\,|\,\psi(t)-\psi_{n}(t)|\leq\sqrt{2}\,\|\psi-\psi_{n}\|\,.$$

Strebt nun $\psi_{n}\to\psi$ in der L ₂‐Norm, dann gilt also punktweise

$$\Uppsi(x)=\lim_{n\to\infty}\Uppsi_{n}(x)=\begin{cases}0&\text{f{\"u}r }\;0\leq x<1\\ x-1&\text{f{\"u}r }\;1\leq x\leq 2\,.\end{cases}$$

(23.218)

Da die Stammfunktion $\Uppsi$ im Punkt x = 1 nicht differenzierbar ist, kann ψ im Widerspruch zur Annahme nicht stetig sein.

23.3

• (a) Die Fourier‐Koeffizienten c _k sind

  $$\begin{aligned}c_{0}&=\int_{0}^{2}\mathrm{d}x\,\psi(x)=\frac{1}{4}\\ c_{k\neq 0}&=\int_{0}^{1/2}\mathrm{d}x\,x\,\mathrm{e}^{-2\uppi\mathrm{i}kx}+\int_{1/2}^{1}\mathrm{d}x\,(1-x)\,\mathrm{e}^{-2\uppi\mathrm{i}kx}\\ &=\begin{cases}-1/(\uppi k)^{2}&k\text{ ungerade}\\ 0&k\text{ gerade.}\end{cases}\end{aligned}$$

  (23.219)

  In der Fourier‐Reihe $\sum c_{k}[\cos(2\uppi kx)-\mathrm{i}\,\sin(2\uppi kx)]$ tragen nur die Kosinusfunktionen bei, da $c_{-k}=c_{k}$ ist. Fasst man noch die Terme mit den Indizes k und −k zusammen, dann ergibt sich

  $$\psi(x)=\frac{1}{4}-\frac{2}{\uppi^{2}}\sum_{k=1,3,5,\dots}\frac{1}{k^{2}}\cos(2\uppi kx)\,.$$

  (23.220)

• (b) Die approximierenden Funktionen

  $$\psi^{(n)}(x)=\frac{1}{4}-\frac{2}{\uppi^{2}}\sum_{k=1,3,5,\ldots}^{n}\frac{1}{k^{2}}\cos(2\uppi kx)$$

  (23.221)

  für n = 1,3 und 15 sind in Abb. 23.9 dargestellt. Man sieht, dass sich die Approximierende mit n = 15 der Dreiecksschwingung schon sehr gut nähert.

  Abb. 23.9

  

  Approximation der Dreiecksschwingung durch die periodischen Basisfunktionen $\mathrm{e}^{2\uppi\mathrm{i}kx}$ mit $|k|\leq n$. Die rote Kurve ist die Approximation mit n = 1, die orangefarbene Kurve mit n = 3 und die blaue Kurve mit n = 15

• (c) Die quadrierte Norm der Dreiecksschwingung ist

  $$\|\psi\|^{2}=\int_{0}^{1/2}\mathrm{d}x\,x^{2}+\int_{1/2}^{1}\mathrm{d}x\,(1-x)^{2}=\frac{1}{12}\,.$$

  (23.222)

  Damit sollte

  $$\frac{1}{12}=c_{0}^{2}+\sum_{k=1,3,5,\ldots}c_{k}^{2}=\frac{1}{16}+\frac{2}{\uppi^{4}}\sum_{k=1,3,5,\ldots}\frac{1}{k^{4}}\,$$

  (23.223)

  gelten oder aufgelöst nach der Summe

  $$\sum_{k=1,3,5,\ldots}\frac{1}{k^{4}}=\frac{\uppi^{4}}{96}\,.$$

  (23.224)

  Diese korreke Formel findet man ebenfalls in Gradshteyn und Ryzhik (2007).

23.4

• (a) Der Vektor $\left|{\psi}\right\rangle$ ist separabel, wenn die Matrix

  $$c=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{pmatrix}$$

  (23.225)

  den Rang 1 hat. Dies ist der Fall, wenn die beiden Spaltenvektoren linear abhängig sind oder wenn die Determinante

  $$\det(c)=\alpha\delta-\beta\gamma$$

  (23.226)

  verschwindet.

• (b) Für die angegebenen Zustände ist

  $$c_{\pm}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&\pm 1\end{pmatrix}\,.$$

  (23.227)

  Die Determinante verschwindet für das positive Vorzeichen. Somit ist $\psi_{+}$ separabel und $\psi_{-}$ verschränkt. Man findet

  $$\left|{\psi_{+}}\right\rangle=\left(\left|{1}\right\rangle+\left|{2}\right\rangle\right)\otimes\left(\left|{1}\right\rangle+\left|{2}\right\rangle\right)\,.$$

  (23.228)

23.5

Ähnlich wie man eine komplexe Zahl in Real‐ und Imaginärteil zerlegen kann, schreibt man

$${\hat{H}}_{1}=\frac{{\hat{A}}+{\hat{A}}^{\dagger}}{2}\quad\text{und}\quad{\hat{H}}_{2}=\frac{{\hat{A}}-{\hat{A}}^{\dagger}}{2\mathrm{i}}\,.$$

(23.229)

Offensichtlich ist ${\hat{H}}_{1}+\mathrm{i}{\hat{H}}_{2}={\hat{A}}$. Aber die beiden Operatoren sind auch hermitesch. Berücksichtigt man die Antilinearität der $\dagger$‐Operation und $({\hat{A}}^{\dagger})^{\dagger}={\hat{A}}$, dann folgt z. B.

$${\hat{H}}_{2}^{\dagger}=\frac{{\hat{A}}^{\dagger}-{\hat{A}}}{-2\mathrm{i}}={\hat{H}}_{2}\,.$$

(23.230)

23.6

• (a) Diese Funktionen sind für a > 0 normiert:

  $$\|\phi\|^{2}=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}x\,\frac{a/\uppi}{1+a^{2}x^{2}}=\frac{1}{\uppi}\arctan(ax)\big|^{\infty}_{-\infty}=1\,.$$

  (23.231)

  Weiterhin gilt

  $$\|\psi\|^{2}=2a\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,\mathrm{e}^{-2ax}=1\,.$$

  (23.232)

• (b) Das Betragsquadrat

  $$|x\phi(x)|^{2}=\frac{a}{\uppi}\frac{x^{2}}{1+a^{2}x^{2}}$$

  (23.233)

  strebt für große $|x|$ gegen die Konstante $1/(a\uppi)$ und ist deshalb nicht integrierbar. Für jedes a > 0 ist die Funktion $\phi(x)$ nicht im Definitionsbereich des Ortsoperators, da $x\phi$ nicht im Hilbert‐Raum liegt.

• (c) Die Funktion ψ springt am Ursprung, und ihre Ableitung ist proportional zur Deltadistribution. Deshalb ist

  $$|{\hat{p}}\psi|^{2}=a\hbar^{2}\left(2\delta(x)-a\mathrm{e}^{-a|x|}\right)^{2}$$

  (23.234)

  nicht integrabel. Dies bedeutet, dass auch der Impulsoperator unbeschränkt ist.

23.7

• (a) Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms

  $$\det(\lambda{\boldsymbol{I}}-A)=\lambda^{3}-19\lambda^{2}+99\lambda-81$$

  (23.235)

  sind die Eigenwerte. Man findet die Werte

  $$\lambda_{1}=\lambda_{2}=9,\quad\lambda_{3}=1\,.$$

  (23.236)

  Der erste Eigenwert ist entartet, und somit ist die Wahl der orthonormierten Eigenbasis nicht eindeutig. Durch Lösung der linearen Gleichungssysteme $Ac_{(n)}=\lambda_{n}c_{(n)}$, z. B. mithilfe eines algebraischen Computerprogramms, findet man problemlos die im Hinweis angegebenen orthonormierten Eigenvektoren.

• (b) Der Spektralprojektor auf den Eigenraum von $\lambda=9$ ist

  $$P_{9}=c_{(1)}c_{(1)}^{\top}+c_{(2)}c_{(2)}^{\top}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}5&3&-6\\ 3&13&2\\ -6&2&10\end{pmatrix}\,,$$

  (23.237)

  und der Projektor auf den Eigenraum von $\lambda=1$ ist

  $$P_{1}=c_{(3)}c_{(3)}^{\top}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}9&-3&6\\ -3&1&-2\\ 6&-2&4\end{pmatrix}\,.$$

  (23.238)

• (c) Die Spektralprojektoren sind offensichtlich hermitesch und haben die Eigenschaften

  $$P_{1,9}^{2}=P_{1,9},\quad P_{1}P_{9}=P_{9}P_{1}=0,\quad P_{1}+P_{9}={\boldsymbol{I}}\,.$$

  (23.239)

• (d) Mit den Eigenwerten und Spektralprojektoren können wir eine beliebige Funktion der Matrix berechnen:

  $$f(A)=f(9)P_{\lambda=9}+f(1)P_{\lambda=1}\,.$$

  (23.240)

  Zum Beispiel ist

  $$\sqrt{A}=3P_{9}+P_{1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}12&3&-6\\ 3&20&2\\ -6&2&17\end{pmatrix}\,.$$

  (23.241)

23.8

• (a) Ohne weitere Rechnung ist klar, dass gilt:

  $${\hat{P}}^{-1}={\hat{P}},\quad({\hat{T}}_{\boldsymbol{a}})^{-1}={\hat{T}}_{-{\boldsymbol{a}}},\quad({\hat{D}}_{\lambda})^{-1}={\hat{D}}_{1/\lambda}\,.$$

  (23.242)

  Die inverse Fouriertransformation lautet

  $$\psi({\boldsymbol{x}})=({\hat{F}}^{-1}\psi)({\boldsymbol{x}})=\kappa\int\mathrm{d}^{3}k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\tilde{\psi}({\boldsymbol{k}})\,,$$

  (23.243)

  wie man durch direkte Rechnung nachweist:

  $$\begin{aligned}({\hat{F}}^{-1}{\hat{F}}\hat{\psi})({\boldsymbol{y}})&=\kappa^{2}\int\mathrm{d}^{3}k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{y}}}\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})\\ &=\int\mathrm{d}^{3}x\,\delta({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{y}})\psi({\boldsymbol{x}})=\psi({\boldsymbol{y}})\,.\end{aligned}$$

  (23.244)

  Hier wurde die Fourier‐Darstellung der Deltadistribution

  $$\int\mathrm{d}^{3}k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot({\boldsymbol{y}}-{\boldsymbol{x}})}=(2\uppi)^{3}\delta({\boldsymbol{y}}-{\boldsymbol{x}})$$

  (23.245)

  benutzt, die in Abschn. 13.1 bewiesen wurde.

• (b) Der Operator ${\hat{F}}{\hat{P}}$ wirkt auf eine Wellenfunktion im Ortsraum gemäß

  $$\begin{aligned}({\hat{F}}{\hat{P}}\psi)({\boldsymbol{k}})&=\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi(-{\boldsymbol{x}})\\ &=\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})\,,\end{aligned}$$

  (23.246)

  wobei wir im letzten Schritt ${\boldsymbol{x}}$ durch $-{\boldsymbol{x}}$ ersetzten. Bei der Wirkung von ${\hat{P}}{\hat{F}}$ müssen wir beachten, dass bei einer Spiegelung ${\boldsymbol{k}}$ das Vorzeichen wechselt, sodass

  $$\begin{aligned}({\hat{P}}{\hat{F}}\psi)({\boldsymbol{k}})&={\hat{P}}\left(\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})\right)\\ &=\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})\,.\end{aligned}$$

  (23.247)

  Somit sind ${\hat{F}}{\hat{P}}$ und ${\hat{P}}{\hat{F}}$ identische Operatoren.

  Die zweite Relation ${\hat{F}}^{2}={\hat{P}}$ folgt aus

  $$\begin{aligned}({\hat{F}}{\hat{F}}\psi)({\boldsymbol{y}})&=\kappa^{2}\int\mathrm{d}^{3}k\,\mathrm{e}^{-i{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{y}}}\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}})\\ &=\int\mathrm{d}^{3}x\,\delta({\boldsymbol{x}}+{\boldsymbol{y}})\psi({\boldsymbol{x}})=({\hat{P}}\psi)({\boldsymbol{y}})\,.\end{aligned}$$

  (23.248)

  Die dritte Relation ${\hat{F}}{\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}={\hat{E}}_{\boldsymbol{a}}{\hat{F}}$ erhält man gemäß

  $$\begin{aligned}({\hat{F}}{\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}\psi)({\boldsymbol{k}})&=\kappa\int\mathrm{d}^{3}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\psi({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{a}})\\ &=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{a}}}({\hat{F}}\psi)({\boldsymbol{k}})=({\hat{E}}_{\boldsymbol{a}}{\hat{F}}\psi)({\boldsymbol{k}})\,.\end{aligned}$$

  (23.249)

• (c) Die Unitarität von ${\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}$ beweist man z. B. wie folgt:

  $$\langle{{\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}\phi},{{\hat{T}}_{\boldsymbol{a}}\psi}\rangle=\int\mathrm{d}^{3}x\,\phi^{*}({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{a}})\psi({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{a}})=\langle{\phi},{\psi}\rangle\,,$$

  (23.250)

  wobei im letzten Schritt die Integrationsvariable verschoben wurde. Die Unitarität von ${\hat{P}}$ beweist man genauso. Der Dilatationsoperator ist unitär, weil

  $$\begin{aligned}\langle{{\hat{D}}_{\lambda}\phi},{{\hat{D}}_{\lambda}\psi}\rangle&=\int\mathrm{d}^{3}x\,\lambda^{3}\phi^{*}(\lambda{\boldsymbol{x}})\psi(\lambda{\boldsymbol{x}})\\ &=\int\mathrm{d}^{3}y\,\phi^{*}({\boldsymbol{y}})\psi({\boldsymbol{y}})=\langle{\phi},{\psi}\rangle\,,\end{aligned}$$

  (23.251)

  wobei die Integrationsvariable reskaliert wurde, $\lambda{\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{y}}$. Die Fourier‐Transformation ist unitär aufgrund des Satzes von Plancherel.

• (d) Aus ${\hat{F}}^{4}=1$ kann man schließen, dass die Eigenwerte der Fourier‐Transformation vierte Wurzeln aus 1 sein müssen: $\pm 1,\,\pm\,\mathrm{i}$.

23.9

• (a) Offensichtlich gilt für alle $c\in\ell_{2}$

  $$\|{\hat{R}}c\|^{2}=\sum_{k}|c_{k}|^{2}=\|c\|^{2}\,,$$

  (23.252)

  was bedeutet, dass ${\hat{R}}$ längenerhaltend ist. Natürlich ist die Norm

  $$\|{\hat{R}}\|=\sup_{\|c\|=1}\frac{\|{\hat{R}}c\|}{\|c\|}$$

  (23.253)

  dann gleich eins.

• (b) Die Folge $c=(\alpha,0,0,\dots)$ ist nicht im Bild von ${\hat{R}}$ und deshalb ist ${\hat{R}}$ nicht surjektiv. Somit ist ${\hat{R}}$ nicht bijektiv und damit nicht unitär.

• (c) Für alle Folgen $b,c$ in $\ell_{2}$ gilt

  $$\langle{b},\hat{R}c\rangle=\sum_{k=1}^{\infty}b^{*}_{k+1}c_{k}=\langle{{\hat{L}}b},{c}\rangle\,,$$

  (23.254)

  wie man leicht durch Einsetzen von (23.207) und (23.208) nachprüft.

• (d) Es gelten

  $$\begin{aligned}(c_{1},c_{2},c_{3},\dots)\stackrel{{\hat{L}}}{\longrightarrow}(c_{2},c_{3},c_{4},\dots)\stackrel{{\hat{R}}}{\longrightarrow}(0,c_{2},c_{3},\dots),\\ (c_{1},c_{2},c_{3},\dots)\stackrel{{\hat{R}}}{\longrightarrow}(0,c_{1},c_{2},\dots)\stackrel{{\hat{L}}}{\longrightarrow}(c_{1},c_{2},c_{3},\dots)\,,\end{aligned}$$

  sodass ${\hat{L}}{\hat{R}}$ (zuerst ${\hat{R}}$ anwenden und danach ${\hat{L}}$) der Eins‐Operator ist. Dagegen ist

  $${\hat{R}}{\hat{L}}=\text{diag}\left(0,1,1,1,\dots\right)$$

  (23.255)

  nicht der Eins‐Operator.

• (e) Die beiden Operatoren haben beinahe dieselben Eigenwerte. Als Eins‐Operator hat ${\hat{R}}{\hat{L}}$ nur den unendlich entarteten Eigenwert 1. Dagegen hat ${\hat{L}}{\hat{R}}$ den einfachen Eigenwert 0 und den unendlich entarteten Eigenwert 1. Die Eigenwerte müssen reell und nichtnegativ sein, weil ${\hat{L}}{\hat{R}}={\hat{R}}^{\dagger}{\hat{R}}$ und ${\hat{R}}{\hat{L}}={\hat{L}}^{\dagger}{\hat{L}}$ selbstadjungierte und nichtnegative Operatoren sind.

23.10

• (a) Wirkt man mit ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ auf die Eigenwertgleichung ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle=\lambda\left|{\psi}\right\rangle$ und benutzt dabei die Eigenschaften von ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$, dann folgt

  $${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle=\left|{\psi}\right\rangle=\lambda^{*}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle=|\lambda|^{2}\left|{\psi}\right\rangle\,,$$

  (23.256)

  was bedeutet, dass $\lambda=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ unimodular ist.

• (b) Es sei $\left|{\psi}\right\rangle$ ein Eigenvektor von ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$, d. h. ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\left|{\psi}\right\rangle$. Wir definieren $\left|{\psi^{\prime}}\right\rangle=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}\left|{\psi}\right\rangle\propto\left|{\psi}\right\rangle$. Dann gilt

  $${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi^{\prime}}\right\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}\left|{\psi}\right\rangle=\left|{\psi^{\prime}}\right\rangle\,.$$

  (23.257)

  Somit ist $\left|{\psi^{\prime}}\right\rangle\propto\left|{\psi}\right\rangle$ Eigenvektor zum Eigenwert 1.

• (c) Es sei $\left|{\psi}\right\rangle$ Eigenvektor von ${\hat{H}}$ zum Eigenwert E,

  $${\hat{H}}\left|{\psi}\right\rangle=E\left|{\psi}\right\rangle\,,$$

  (23.258)

  und gleichzeitig Eigenvektor von ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ zum Eigenwert 1. Wirken wir mit ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ auf die Eigenwertgleichung (23.264), dann folgt

  $$\begin{aligned}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}{\hat{H}}\left|{\psi}\right\rangle&={J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}(E\left|{\psi}\right\rangle)=E^{*}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle=E^{*}\left|{\psi}\right\rangle\\ {\hat{H}}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\left|{\psi}\right\rangle&={\hat{H}}\left|{\psi}\right\rangle=E\left|{\psi}\right\rangle\,.\end{aligned}$$

  (23.259)

  Nach Voraussetzung vertauschen ${\hat{H}}$ und ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$, sodass auf den linken Seiten die gleichen Größen stehen. Deshalb müssen die beiden Ausdrücke auf den rechten Seiten gleich sein. Daraus folgt, dass E reell sein muss.

23.11

• (a) Der Spiegelungsoperator ist linear und die Zeitumkehr antilinear. Insbesondere gelten

  $$\begin{aligned}({\hat{P}}(\alpha\psi))(t,{\boldsymbol{x}})&=\alpha\psi(t,-{\boldsymbol{x}})=\alpha({\hat{P}}\psi)(t,{\boldsymbol{x}})\,,\\ ({\hat{T}}(\alpha\psi))(t,{\boldsymbol{x}})&=\alpha^{*}\psi^{*}(-t,{\boldsymbol{x}})=\alpha^{*}({\hat{T}}\psi)(t,{\boldsymbol{x}})\,.\end{aligned}$$

  (23.260)

  Dann ist auch die Kombination ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}={\hat{P}}{\hat{T}}$ antilinear. ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ wirkt auf Wellenfunktionen im Ortsraum gemäß

  $$({J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}\psi)(t,{\boldsymbol{x}})=\psi^{*}(-t,-{\boldsymbol{x}})\,.$$

  (23.261)

  Wendet man die Abbildung zweimal auf $\psi(t,{\boldsymbol{x}})$ an, dann erhält man wieder die ursprüngliche Wellenfunktion zurück, sodass ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}={\boldsymbol{I}}$ gilt.

• (b) Wegen ${J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}={J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}$ ist

  $$\begin{aligned}\left({J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}f({\hat{\boldsymbol{x}}}){J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}\psi\right)(t,{\boldsymbol{x}})&=f^{*}(-{\boldsymbol{x}})\psi(t,{\boldsymbol{x}})\,,\\ \left({J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}f({\hat{\boldsymbol{p}}}){J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}\psi\right)(t,{\boldsymbol{x}})&=f^{*}({\hat{\boldsymbol{p}}})\psi(t,{\boldsymbol{x}})\,.\end{aligned}$$

  (23.262)

  Hier wurde berücksichtigt, dass es für ${\hat{\boldsymbol{p}}}\propto\mathrm{i}{\boldsymbol{\nabla}}_{x}$ zwei Vorzeichenwechsel gibt: Unter einer Zeitumkehr geht $\mathrm{i}$ in $-\mathrm{i}$ über, und bei einer Spiegelung wechselt ${\boldsymbol{\nabla}}_{x}$ das Vorzeichen.

• (c) Offensichtlich gilt nun

  $$\begin{aligned}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}{\hat{p}}^{2}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}&=(-{\hat{p}})^{2}={\hat{p}}^{2}\,,\\ {J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}{\hat{x}}^{2}(\mathrm{i}{\hat{x}})^{\alpha}{J\kern-3.8pt\hat{\phantom{J}}}^{-1}&=(-{\hat{x}})^{2}(-\mathrm{i}{\hat{x}})^{*\alpha}={\hat{x}}^{2}(\mathrm{i}{\hat{x}})^{\alpha}\,,\end{aligned}$$

  (23.263)

  d. h., die beiden Operatoren ${\hat{p}}^{2}$ und ${\hat{x}}^{2}(\mathrm{i}{\hat{x}})^{\alpha}$ und damit ${\hat{H}}$ sind jeweils PT‐symmetrisch.

23.12

• (a) Die Operationen Inversion und Adjungation vertauschen. Dies folgt für einen invertierbaren Operator ${\hat{B}}$ aus

  $$\left({\hat{B}}^{-1}\right)^{\dagger}{\hat{B}}^{\dagger}=({\hat{B}}{\hat{B}}^{-1})^{\dagger}={\boldsymbol{I}}^{\dagger}={\boldsymbol{I}}\,,$$

  (23.264)

  woraus unmittelbar ${\hat{B}}^{-1\dagger}={\hat{B}}^{\dagger-1}$ folgt. Für jeden selbstadjungierten Operator ${\hat{A}}$ ist $\mathrm{i}{\boldsymbol{I}}+{\hat{A}}$ invertierbar, da die Eigenwerte von ${\hat{A}}$ reell sind und entsprechend der Kern von $\mathrm{i}{\boldsymbol{I}}+{\hat{A}}$ verschwindet. Deshalb ist die Adjungierte des Operators in (23.215) gleich

  $${\hat{U}}^{\dagger}=\left(-\mathrm{i}{\boldsymbol{I}}+{\hat{A}}\right)^{-1}\left(-\mathrm{i}{\boldsymbol{I}}-{\hat{A}}\right)\,,$$

  (23.265)

  was ${\hat{U}}{\hat{U}}^{\dagger}={\boldsymbol{I}}$ impliziert.

• (b) Um die Adjungierte von ${\hat{A}}$ in (23.216) zu finden, gebraucht man ${\hat{U}}^{\dagger}={\hat{U}}^{-1}$, sodass

  $$\begin{aligned}{\hat{A}}^{\dagger}&=-\mathrm{i}\left({\boldsymbol{I}}+{\hat{U}}^{-1}\right)^{-1}\left({\boldsymbol{I}}-{\hat{U}}^{-1}\right)\\ &=-\mathrm{i}\left({\hat{U}}^{-1}({\hat{U}}+{\boldsymbol{I}})\right)^{-1}\left({\hat{U}}^{-1}({\hat{U}}-{\boldsymbol{I}})\right)\\ &=-\mathrm{i}\left({\hat{U}}+{\boldsymbol{I}}\right)^{-1}{\hat{U}}\,{\hat{U}}^{-1}\left({\hat{U}}-{\boldsymbol{I}}\right)={\hat{A}}\,.\end{aligned}$$

  (23.266)

• (c) Wir berechnen die Wirkung der Cayley‐Transformierten von ${\boldsymbol{a}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}}/\hbar$ auf eine Wellenfunktion im Ortsraum mithilfe der Fourier‐Darstellung:

  $$\left({\hat{U}}_{\boldsymbol{a}}\psi\right)({\boldsymbol{x}})=\kappa\int\mathrm{d}^{n}k\;\frac{1+\mathrm{i}{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}}}{1-\mathrm{i}{\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\tilde{\psi}({\boldsymbol{k}})\,.$$

  (23.267)

  Mithilfe des Integrals im Hinweis erhält man

  $$\left({\hat{U}}_{\boldsymbol{a}}\psi\right)({\boldsymbol{x}}) =\kappa\!\int_{0}^{\infty}\!\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi}\left(1+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\right)\int\!\mathrm{d}^{n}k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot({\boldsymbol{x}}+\xi{\boldsymbol{a}})}\tilde{\psi}({\boldsymbol{k}})$$
  $$ =\int_{0}^{\infty}\!\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi}\left(1+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\right)\psi({\boldsymbol{x}}+\xi{\boldsymbol{a}})$$
  $$ =-\psi({\boldsymbol{x}})+2\!\int_{0}^{\infty}\!\mathrm{d}\xi\,\mathrm{e}^{-\xi}\psi({\boldsymbol{x}}+\xi{\boldsymbol{a}})\,.$$

  (23.268)

  Im letzten Schritt wurde partiell integriert. Die Darstellung macht deutlich, dass die unitären Operatoren ${\hat{U}}_{\boldsymbol{a}}$ auf ganz $L_{2}(\mathbb{R}^{n})$ definiert sind.

• (d) Wir entwickeln das Ergebnis (23.267) bis zur zweiten Ordnung in ${\boldsymbol{a}}$ und erinnern uns daran, dass die Multiplikation mit dem Argument bei einer Fourier‐Transformation in eine Ableitung übergeht. Dann findet man

  $$\begin{aligned}\left({\hat{U}}_{\boldsymbol{a}}\psi\right)({\boldsymbol{x}})&=\kappa\int\mathrm{d}^{n}k\,\left(1+2\mathrm{i}({\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}})-2({\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{k}})^{2}+\dots\right)\\ &\quad\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{k}}\cdot{\boldsymbol{x}}}\tilde{\psi}({\boldsymbol{k}})\\ &=\psi({\boldsymbol{x}})+2\left(({\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{\nabla}})\,\psi+({\boldsymbol{a}}\cdot{\boldsymbol{\nabla}})^{2}\psi+\dots\right)({\boldsymbol{x}}).\end{aligned}$$

  Aus dieser Entwickung entnimmt man, dass die Cayley‐Transformierte mit ${\boldsymbol{a}}/2$ mit der Exponentialfunktion $\mathrm{e}^{\mathrm{i}{\boldsymbol{a}}\cdot{\hat{\boldsymbol{p}}}/\hbar}$ bis zur Ordnung ${\boldsymbol{a}}^{2}$ übereinstimmt.