Lagrange- und Hamilton-Formalismus in der Elektrodynamik

Kapitelvorwort

Wie behandelt man eine relativistische Punktladung im Lagrange- und Hamilton-Formalismus?

Wie kann man die Maxwell-Gleichungen aus einer Lagrange-Funktion ableiten?

Wie können das Noether-Theorem und die Energie- und Impulserhaltung auf Feldtheorien angewandt werden?

In der Mechanik (Kap. 5 und 7) wurden zwei relativ abstrakte, aber auch sehr allgemeine Formalismen hergeleitet, mittels derer die Bewegungsgleichungen für ein gegebenes mechanisches System bestimmt werden können: der Lagrange‐ und der Hamilton‐Formalismus. Diese sollen nun auch auf die Elektrodynamik erweitert werden.

Der Sinn ist nicht sofort einsichtig – in der Elektrodynamik sind die Bewegungsgleichungen ja immer dieselben und folgen direkt aus der Lorentz‐Kraft. Die allgemeinen Formalismen haben dennoch mehrere Vorteile. Zunächst können alle physikalischen Gesetze der Elektrodynamik in einem Ausdruck zusammengefasst werden: Aus der Lagrange‐Funktion erhält man mittels der Euler‐Lagrange‐Gleichungen alle Bewegungsgleichungen, ebenso aus der Hamilton‐Funktion mittels der Hamilton‐Gleichungen. Die Lagrange‐ und die Hamilton‐Funktion beschreiben also jeweils die komplette Physik des Systems.

Außerdem fällt es bei der Formulierung mittels einer Lagrange‐Funktion einfacher, allgemeine Prinzipien wie beispielsweise den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen (Noether‐Theorem) zu studieren; auch dies wurde bereits in der Mechanik diskutiert. Und schließlich kann die Elektrodynamik, wenn sie auf diese Weise formuliert wird, leicht mit anderen Feldtheorien verglichen und auch verallgemeinert werden, beispielsweise zu den SU(N)‐Eichtheorien der modernen Elementarteilchenphysik.

Konkrete Anwendungen findet der Hamilton‐Formalismus vor allem in der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie, wenn man zum Hamilton‐Operator übergeht. Der Lagrange‐Formalimus ist dagegen der Ausgangspunkt für den Pfadintegralformalismus, der ebenfalls sowohl für die Quantenmechanik als auch für die Quantenfeldtheorie wichtig ist.

In diesem Kapitel werden wir zunächst, wie bereits in der Mechanik, die Bewegung eines Punktteilchens mit dem Lagrange‐ und Hamilton‐Formalismus studieren, nun allerdings unter Einbeziehung der speziellen Relativitätstheorie und der Lorentz‐Kraft (Abschn. 20.1). Dann werden wir in Abschn. 20.2 den Formalismus auf die Felder selbst anwenden, wobei wieder der aus der Mechanik bekannte Formalismus relativistisch verallgemeinert wird. Abschließend erweitert Abschn. 20.3 das bekannte Noether‐Theorem auf allgemeine Feldtheorien. Als eine spezielle Anwendung wird der Energie‐Impuls‐Tensor der Elektrodynamik diskutiert.

Appendices

So geht’s weiter

1.1 Eichfeldtheorien

Wie wir gesehen haben, erlaubt es die Lagrange’sche Formulierung der Elektrodynamik, über ein Wirkungsprinzip die zugrunde liegenden Symmetrien manifest zu machen und über das Noether‐Theorem die damit verbundenen Erhaltungsgrößen zu bestimmen.

Eine weitere Symmetrie, die allerdings nicht zu weiteren Erhaltungsgrößen führt, ist dabei die Eichinvarianz der elektromagnetischen Potenziale, die merkwürdigerweise unumgänglich waren, um eine Lagrange‐Dichte, die Ankopplung von Viererstromdichten und die zugehörigen Euler‐Lagrange‐Gleichungen zu formulieren. Immerhin sind in der Maxwell‐Theorie die elektromagnetischen Potenziale zunächst reine Hilfsgrößen, die noch dazu uneindeutig sind, da sie nur bis auf Eichtransformationen

$$A^{\mu}\to A^{\mu}+{\partial}^{\mu}\Lambda$$

(20.103)

festgelegt sind.

Die Invarianz der Wirkung

$$S=\int\mathcal{L}(A^{\mu},{\partial}^{\nu}A^{\mu})\,\mathrm{d}^{4}x$$

(20.104)

unter Eichtransformationen stellt eine lokale Symmetrietransformation dar – der Transformationsparameter ist hier ein Feld, nämlich $\Lambda(x)$. Das Noether‐Theorem verknüpft allerdings globale Symmetrien mit Erhaltungsgrößen, nicht lokale. Die Bedeutung der lokalen Symmetrie ist zunächst nur, dass hier eine Redundanz der dynamischen Variablen, der Eichpotenziale $A^{\mu}$, vorliegt.

Diese lokale Symmetrie stellt sich aber als unverzichtbar heraus, um lokale Feldgleichungen aufstellen zu können, wenn das elektromagnetische Feld über ein Wirkungsprinzip an geladene Punktteilchen in minimaler Weise entsprechend (20.39) gekoppelt werden soll.

In der Quantenfeldtheorie werden Elementarteilchen durch Quantenfelder beschrieben, denen ebenfalls eine Beschreibung durch eine Lagrange’sche Feldtheorie zugrunde liegt. Das elektromagnetische Feld wird dabei zu einem Quantenfeld der Photonen. Materieteilchen wie die Elektronen werden durch sogenannte Dirac‐Felder beschrieben, manche Elementarteilchen wie Pionen, die keinen Spin haben, durch einfachere Skalarfelder. Die minimale Ersetzung $p^{\mu}\to p^{\mu}-\frac{q}{c}A^{\mu}$ für geladene Teilchen (20.39 ) wird dabei durch den Übergang von gewöhnlichen Ableitungen zu (eich‐)kovarianten Ableitungen

$${\partial}^{\mu}\to D^{\mu}(A)={\partial}^{\mu}+\mathrm{i}\frac{q}{\hbar\,c}A^{\mu}$$

(20.105)

realisiert, was damit zusammenhängt, dass in der Quantenmechanik Impulse durch Ableitungsoperatoren dargestellt werden: $p^{\mu}\to\mathrm{i}\hbar{\partial}^{\mu}$, wie in Teil III gezeigt wird. Da die kovariante Ableitung, die zur minimalen Kopplung an elektromagnetische Felder führt, komplexwertig ist, werden ganz allgemein Quantenfelder, die elektrisch geladene Materie beschreiben, durch komplexwertige Felder $\psi(x)$ dargestellt. Deren Phase bleibt dabei aber lokal unbeobachtbar, sodass beispielsweise nur das Betragsquadrat $\psi^{*}\psi$ physikalische Bedeutung hat und in der Lagrange‐Dichte auftritt. Ein invarianter kinetischer Term kann (für skalare komplexwertige Felder) mithilfe der kovarianten Ableitung z. B. durch

$$[D_{\mu}(A)\psi]^{*}D^{\mu}(A)\psi$$

(20.106)

aufgestellt werden, wobei unter einer Eichtransformation nun gleichzeitig

$$A^{\mu}(x) \to A^{\mu}(x)+{\partial}^{\mu}\Lambda(x),$$

(20.107)

$$\psi(x) \to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{q}{\hbar c}\Lambda(x)}\psi(x)$$

(20.108)

transformiert wird.

Zu dieser Transformation gibt es nun allerdings eine nichttriviale globale Form, denn wenn $\Lambda(x)={\mathrm{const}}$ gesetzt wird, wird $\psi(x)$ einer globalen Phasentransformation unterworfen (während die $A^{\mu}$‐Felder untransformiert bleiben). Dazu gehört auch eine Erhaltungsgröße gemäß dem Noether‐Theorem: die elektrische Ladung! Diese stellt sich also als verbunden mit der Invarianz unter einer Transformation mit einer Phase, d. h. einer unimodularen Zahl, heraus. Die damit verbundene Symmetriegruppe kann damit mathematisch als U(1), die Gruppe der unitären eindimensionalen Matrizen, identifiziert werden. Die Quantenelektrodynamik ist damit eine Eichtheorie, die eine globale U(1)‐Symmetrie zu einer lokalen Symmetrie erweitert. (Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird diese Symmetrie in Kap. 29 noch ausführlich diskutiert werden.)

Bemerkenswerterweise folgen alle bisher bekannten fundamentalen Wechselwirkungen von Elementarteilchen diesem Schema einer Eichfeldtheorie, allerdings mit komplizierteren, nämlich nichtabelschen Symmetriegruppen, bei denen Transformationen in ihrer Reihenfolge nicht vertauschbar sind. Diese 1954 entdeckten Yang‐Mills‐Theorien (benannt nach Chen‐Ning Yang , *1922, und Robert Mills , 1927–1999) blieben zunächst unbeachtet und unverstanden, bis sie in den 1960er‐Jahren eine Rolle bei der Aufstellung des Standardmodells der Teilchenphysik zu spielen begannen, und erlangten insbesondere nach grundlegenden Arbeiten von Gerard ’t Hooft (*1946) und Martinus Veltman (*1931), für die sie 1999 den Nobelpreis erhielten, ihre zentrale Rolle.

Wir haben in der bisherigen klassischen Physik schon zwei Beispiele für nichtabelsche Symmetriegruppen kennengelernt: die Drehgruppe in drei Dimensionen, SO(3), und die Lorentz‐Gruppe, SO(3,1). In der Teilchenphysik treten zwei weitere nichtabelsche Gruppen auf: die auch in der nichtrelativistischen Quantenmechanik wichtige Gruppe der unitären zweidimensionalen Matrizen, SU(2), und die der unitären dreidimensionalen Matrizen, SU(3).

Letztere bilden die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik , die die Theorie der starken Kernkraft darstellt, während die Gruppe SU(2) bei der schwachen Kernkraft eine grundlegende Rolle spielt, allerdings in etwas kompliziertem Wechselspiel mit der Elektrodynamik und einem durch das 2012 entdeckte Higgs‐Teilchen verursachten spontanen Symmetriebrechung.

Das Prinzip einer nichtabelschen Eichfeldtheorie lässt sich daher etwas übersichtlicher anhand der Quantenchromodynamik darstellen. Deren fundamentale Ladungsträger sind dabei die sogenannten Quarks , die nun drei Arten von Ladungen tragen können, entsprechend der Dimensionalität der SU(3)‐Matrizen. Diese Ladungen werden Farbladungen genannt und z. B. mit den Bezeichnungen rot, grün und blau durchgezählt. Durch die lokale Eichinvarianz haben diese Farben aber keine unabhängige Bedeutung, sondern können durch SU(3)‐Transformationen weitgehend beliebig ineinander übergeführt werden, wobei aber matrixwertige Eichfelder mitzutransformieren sind.

Es gibt nun so viele Eichfelder, wie es unabhängige Eichparameter gibt. Bei der Drehgruppe waren das etwa die drei Drehwinkel. Bei der Gruppe SU(3) gibt es dagegen acht solche Parameter und dementsprechend acht nichtabelsche Eichpotenziale. Statt eines Photons gibt es nun acht Gluonen, welche die Wechselwirkungen zwischen den Quarks vermitteln.

Eine Besonderheit von nichtabelschen Eichfeldern ist nun, dass sie selbst Ladungen tragen und daher untereinander wechselwirken können. Dies lässt sich folgendermaßen verstehen: So wie in der Elektrodynamik wird die Lagrange‐Dichte der nichtabelschen Eichfelder durch das Quadrat des Feldstärketensors gebildet. In der Elektrodynamik kann dieser abgesehen von einem Vorfaktor als Kommutator von zwei (eich‐)kovarianten Ableitungen dargestellt werden:

$$[D_{\mu}(A),D_{\nu}(A)] \equiv D_{\mu}(A)D_{\nu}(A)-D_{\nu}(A)D_{\mu}(A)$$

(20.109)

$$ =\mathrm{i}\frac{q}{\hbar c}({\partial}_{\mu}A_{\nu}-{\partial}_{\nu}A_{\mu})=\mathrm{i}\frac{q}{\hbar c}F_{\mu\nu}.$$

In nichtabelschen Eichtheorien sind aber die Eichpotenziale Matrizen, und es gibt einen zusätzlichen Term $[A_{\mu},A_{\nu}]$, der in $F_{\mu\nu}$ enthalten ist. Die Lagrange‐Dichte, die durch einen quadratischen Ausdruck des (ebenfalls matrixwertigen) Tensors $F_{\mu\nu}$ gebildet wird, nämlich

$$\mathcal{L}\propto\mathrm{Sp}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}),$$

(20.110)

ist dann nicht mehr bilinear in den Eichpotenzialen, sondern enthält auch tri‐ und quadrilineare Terme, die zu entsprechenden Selbstwechselwirkungen der Eichquanten gehören.

Die Nichtlinearität der Feldgleichungen (nichtabelsche Maxwell‐Gleichungen) macht Yang‐Mills‐Theorien extrem schwierig zu behandeln. Sie sind auch Gegenstand eines der vom Clay Mathematics Institute formulierten Millennium Prize Problems, für die jeweils 1 Million US‐Dollar ausgelobt sind. Eine bislang nur mit Computersimulationen bestätigte Eigenschaft ist die des Confinement von Farbladungen in Bindungszuständen von Quarks und Gluonen, die immer farbneutral sind. Es stellt sich dabei heraus, dass es unmöglich ist, ein einzelnes Quark aus einem solchen Bindungszustand (Hadron) herauszureißen. Die dafür notwendige Energie produziert immer Quark‐Antiquark‐Paare, die sofort neue Bindungszustände ergeben. Tatsächlich konnten noch keine Quarks isoliert werden, die übrigens neben ihrer Farbladung elektrische Ladungen tragen, die 1/3 und 2/3 der Elementarladung e ausmachen.

Das Konzept der Eichtheorien hat sich als ungemein fruchtbar in der theoretischen Teilchenphysik erwiesen, und alle Grundkräfte können soweit bekannt darauf zurückgeführt werden. Man vermutet außerdem, dass die Eichgruppe des gegenwärtigen Standardmodells der Teilchenphysik, U(1)$\times$SU(2)$\times$SU(3), in wesentlich größere Symmetriegruppen wie z. B. SU(5) oder SO(10) eingebettet werden kann (Grand Unified Theories).

Auch die Gravitation, wie sie durch Einsteins allgemeine Relativitätstheorie beschrieben wird, kann in einem gewissen Sinn als eine Eichtheorie verstanden werden, nämlich als eine Theorie mit lokaler Invarianz unter Koordinatentransformationen (Diffeomorphismen). Das Eichfeld ist hier durch die Metrik des gekrümmten Raumes bzw. durch die zugehörigen Christoffel‐Symbole gegeben; der zugehörige Feldstärketensor ist ebenfalls darstellbar über den Kommutator von kovarianten Ableitungen, was auf den Riemann’sche Krümmungstensor führt.

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

20.1 •• Lagrange‐Funktion(en) für Punktladung

• (a) Leiten Sie aus der Lagrange‐Funktion (20.35) in kovarianter Formulierung die Bewegungsgleichung für eine Punktladung her (also die Lorentz‐Kraft).

• (b) Wie ändert sich die Wirkung (20.34) unter einer differenzierbaren Reparametrisierung $\lambda\to\lambda^{\prime}$, wobei $\lambda^{\prime}$ streng monoton mit λ zunimmt?

• (c) Es wäre naheliegend, im kinetischen Term in (20.27) das c ² durch $u_{\mu}u^{\mu}$ zu ersetzen, sodass nach der Ersetzung von $u^{\mu}$ durch $\tilde{u}^{\mu}$ in der Lagrange‐Funktion (20.35) schließlich $-m\tilde{u}_{\mu}\tilde{u}^{\mu}$ stehen würde. Welche Auswirkung hätte dies auf die Bewegungsgleichung? Wie ändert sich die Wirkung nun unter einer Reparametrisierung $\lambda\to\lambda^{\prime}$?

Lösungshinweis:

(a), (c) Verwenden Sie die Euler‐Lagrange‐Gleichung (20.37); nach Berechnen der Ableitungen von $\tilde{L}$ setzen Sie, wie im Kapiteltext beschrieben, $\mathrm{d}\lambda=\mathrm{d}\tau$.

20.2 •• Lagrange‐Dichte(n) für elektromagnetisches Feld

• (a) Leiten Sie die Maxwell‐Gleichungen aus der Lagrange‐Dichte (20.76) her.

• (b) Ersetzen Sie den „kinetischen“ Term $-F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}/(16\uppi)$ in der Lagrange‐Dichte (20.67) durch $-(\partial_{\mu}A_{\nu})(\partial^{\mu}A^{\nu})/(8\uppi)$.

  • (1) Unter welchen Voraussetzungen ergeben sich dennoch die Maxwell‐Gleichungen?

  • (2) Unter welchen Voraussetzungen ändert sich die Lagrange‐Dichte nur um eine totale Ableitung?

Lösungshinweis:

(a) Verwenden Sie (20.73).

20.3 •• Eichinvariant?

• (a) Die Lagrange‐Funktion (20.35) und

• (b) die Lagrange‐Dichte (20.67)

sind zwar offensichtlich kovariant, aber nicht invariant unter Eichtransformationen. Zeigen Sie dies und begründen Sie jeweils, dass Eichtransformationen dennoch keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen haben .

20.4 •• Noether‐Theorem für relativistische Punktteilchen

• (a) Leiten Sie das Noether‐Theorem für relativistische Punktteilchen her: Ändert sich unter einer infinitesimalen Verschiebung der Raum‐Zeit‐Koordinaten $\delta x^{\mu}$ die Lagrange‐Funktion (20.27) nur um eine totale Ableitung nach dem Bahnparameter,

  $$\delta\tilde{L}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\tilde{Q},$$

  (20.111)

  so ist

  $$Q=\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta x^{\mu}-\tilde{Q}$$

  (20.112)

  eine Erhaltungsgröße, d. h., die Ableitung dieser Größe nach λ verschwindet.

• (b) Begründen Sie damit für die Lagrange‐Funktion (20.35) einer Punktladung im elektromagnetischen Feld: Sind die Potenziale $A^{\mu}$ invariant unter der Verschiebung $\delta x^{\mu}=b^{\mu}$ mit einem konstanten Vierervektor $b^{\mu}$ (sind sie also räumlich und zeitlich konstant), so bleibt der Viererimpuls der Punktladung erhalten.

Lösungshinweis:

• (a) Die Rechnung läuft analog zur Herleitung des Noether‐Theorems für relativistische Felder.

• (b) Begründen Sie zunächst, dass man hier $\tilde{Q}=0$ wählen kann.

20.5 • Kanonischer und symmetrischer Energie‐Impuls‐Tensor

Zeigen Sie: Durch Addition von $\partial_{\lambda}t^{\mu\lambda\nu}$ mit

$$t^{\mu\lambda\nu}=\frac{1}{4\uppi}F^{\mu\lambda}A^{\nu}$$

(20.113)

gewinnt man aus dem kanonischen Energie‐Impuls‐Tensor (20.96) den symmetrischen Tensor (20.102).

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

20.1

• (a) Die Lagrange‐Funktion ist

  $$\tilde{L}(x^{\mu},\tilde{u}^{\mu})=-mc\sqrt{\tilde{u}_{\mu}\tilde{u}^{\mu}}-\frac{q}{c}\tilde{u}_{\mu}A^{\mu}.$$

  (20.114)

  Zunächst folgt

  $$\begin{aligned}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial x^{\mu}}&=-\frac{q}{c}\tilde{u}_{\nu}(\partial_{\mu}A^{\nu}),\\ \frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}&=-\frac{mc}{2\sqrt{\tilde{u}_{\nu}\tilde{u}^{\nu}}}\frac{\partial(\tilde{u}_{\nu}\tilde{u}^{\nu})}{\partial\tilde{u}^{\mu}}-\frac{q}{c}A_{\mu},\end{aligned}$$

  (20.115)

  wobei im ersten Term die Kettenregel benutzt wurde. Es bleibt die Ableitung von $\tilde{u}_{\nu}\tilde{u}^{\nu}$ nach $\tilde{u}^{\mu}$ zu berechnen. Dafür schreiben wir den Term zunächst um:

  $$\tilde{u}_{\nu}\tilde{u}^{\nu}=\eta_{\alpha\beta}\tilde{u}^{\alpha}\tilde{u}^{\beta}.$$

  (20.116)

  Bei der Ableitung dieses Terms ist die Produktregel anzuwenden, und man muss berücksichtigen, dass

  $$\frac{\partial\tilde{u}^{\nu}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}=\delta^{\nu}_{\mu}$$

  (20.117)

  ist. Damit ergibt sich

  $$\frac{\partial(\tilde{u}_{\nu}\tilde{u}^{\nu})}{\partial\tilde{u}^{\mu}} =\eta_{\alpha\beta}\frac{\partial(\tilde{u}^{\alpha}\tilde{u}^{\beta})}{\partial\tilde{u}^{\mu}}=\eta_{\alpha\beta}\left(\delta^{\alpha}_{\mu}\tilde{u}^{\beta}+\tilde{u}^{\alpha}\delta^{\beta}_{\mu}\right)$$
  $$ =\delta^{\alpha}_{\mu}\tilde{u}_{\alpha}+\tilde{u}_{\beta}\delta^{\beta}_{\mu}=2\tilde{u}_{\mu},$$

  (20.118)

  und es folgt

  $$\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}=-\frac{mc\tilde{u}_{\mu}}{\sqrt{\tilde{u}_{\nu}\tilde{u}^{\nu}}}-\frac{q}{c}A_{\mu}.$$

  (20.119)

  Setzt man nun $\lambda=\tau$, also

  $$\tilde{u}^{\mu}=u^{\mu}\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda},$$

  (20.120)

  kann man unter der Wurzel $u_{\nu}u^{\nu}=c^{2}$ benutzen. Damit hat man

  $$\begin{aligned}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial x^{\mu}}&=-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}u_{\nu}(\partial_{\mu}A^{\nu}),\\ \frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}&=-mu_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}.\end{aligned}$$

  (20.121)

  Weiter berechnet man

  $$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}&=\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\\ &=\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}\left(-m\frac{\mathrm{d}u_{\mu}}{\mathrm{d}\tau}-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}A_{\mu}(x^{\nu}(\tau))}{\mathrm{d}\tau}\right),\end{aligned}$$

  (20.122)

  also mit der Kettenregel

  $$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}&=\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}\left(-m\frac{\mathrm{d}u_{\mu}}{\mathrm{d}\tau}-\frac{q}{c}(\partial_{\nu}A_{\mu})\frac{\partial x^{\nu}}{\partial\tau}\right)\\ &=\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}\left(-ma_{\mu}-\frac{q}{c}(\partial_{\nu}A_{\mu})u^{\nu}\right).\end{aligned}$$

  (20.123)

  Die Euler‐Lagrange‐Gleichung (20.37) ergibt dann

  $$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}\left(-ma_{\mu}-\frac{q}{c}(\partial_{\nu}A_{\mu})u^{\nu}+\frac{q}{c}u_{\nu}(\partial_{\mu}A^{\nu})\right)=0,$$

  (20.124)

  also

  $$ma^{\mu}=\frac{q}{c}\left(\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\right)u_{\nu}=\frac{q}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu}.$$

  (20.125)

  Dies ist die bekannte Bewegungsgleichung für eine Punktladung im elektromagnetischen Feld in kovarianter Schreibweise.

• (b) Ausführlich geschrieben ist die Wirkung (20.34 )

  $$S=\int\mathrm{d}\lambda\,\left(-mc\sqrt{\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}}-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}A^{\mu}\right).$$

  (20.126)

  Unter der Reparametrisierung $\lambda\to\lambda^{\prime}$ wird dies zu

  $$S =\int\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\mathrm{d}\lambda^{\prime}$$
  $$ \quad\cdot\left(-mc\sqrt{\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\frac{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\frac{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}{\mathrm{d}\lambda}}-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\frac{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}{\mathrm{d}\lambda}A^{\mu}\right)$$
  $$ =\int\mathrm{d}\lambda^{\prime}\,\left(-mc\sqrt{\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}}-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}A^{\mu}\right).$$

  (20.127)

  Die Wirkung hat nach der Reparametrisierung also genau dieselbe Form wie davor. Man spricht von einer Reparametrisierungsinvarianz der Wirkung.

  Die Forderung, dass $\lambda^{\prime}$ streng monoton und differenzierbar mit λ zunimmt, stellt hier sicher, dass die Ableitungen von λ nach $\lambda^{\prime}$ und umgekehrt überall existieren und positiv sind.

• (c) Die Ableitung von $\tilde{L}$ nach $\tilde{u}^{\mu}$ würde dann

  $$-2m\tilde{u}_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}=-2mu_{\mu}\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\lambda}-\frac{q}{c}A_{\mu}$$

  (20.128)

  ergeben. An der Ableitung von $\tilde{L}$ nach $x^{\mu}$ würde sich nichts ändern. Offensichtlich erhält man damit nicht die richtige Bewegungsgleichung.

  Der kinetische Teil der Wirkung würde sich außerdem unter der Reparametrisierung folgendermaßen verhalten:

  $$S=\int\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\mathrm{d}\lambda^{\prime}\,\left(-m\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\frac{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}\frac{\mathrm{d}\lambda^{\prime}}{\mathrm{d}\lambda}\right),$$

  (20.129)

  wäre also nicht invariant.

20.2

• (a) Die Lagrange‐Dichte ist

  $$\mathcal{L}=-\frac{1}{8\uppi}\left((\partial_{\mu}A_{\nu})(\partial^{\mu}A^{\nu})-(\partial_{\mu}A_{\nu})(\partial^{\nu}A^{\mu})\right)-\frac{1}{c}j_{\mu}A^{\mu}.$$

  (20.130)

  Für die Ableitung nach dem Viererpotenzial selbst hat man

  $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A^{\lambda}}=-\frac{1}{c}j_{\lambda}.$$

  (20.131)

  Bei der Ableitung nach Ableitungen des Vektorpotenzials muss man, wie bei der Ableitung von $u_{\nu}u^{\nu}$ in Aufgabe 20.1, die Produktregel beachten. Dabei schreibt man die Produkte wieder zunächst mithilfe der Metrik und benutzt

  $$\frac{\partial(\partial^{\mu}A^{\nu})}{\partial(\partial^{\,\rho}A^{\lambda})}=\delta^{\mu}_{\rho}\delta^{\nu}_{\lambda}.$$

  (20.132)

  Man erhält dann insgesamt

  $$\begin{aligned}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial^{\,\rho}A^{\lambda})}&=-\frac{1}{8\uppi}\left(2\partial_{\,\rho}A_{\lambda}-2\partial_{\lambda}A_{\rho}\right)\\ &=-\frac{1}{4\uppi}\left(\partial_{\rho}A_{\lambda}-\partial_{\lambda}A_{\rho}\right)=-\frac{1}{4\uppi}F_{\rho\lambda}.\end{aligned}$$

  (20.133)

  Eingesetzt in die Euler‐Lagrange‐Gleichung (20.73) ergibt dies sofort die inhomogenen Maxwell‐Gleichungen in kovarianter Form

  $$\partial^{\,\rho}F_{\rho\lambda}=\frac{4\uppi}{c}j_{\lambda}.$$

  (20.134)

  Definiert man außerdem wie üblich

  $$\tilde{F}^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\lambda\rho}F_{\lambda\rho},$$

  (20.135)

  so folgen auch die homogenen Maxwell‐Gleichungen sofort aus der Antisymmetrie von ϵ:

  $$\partial_{\mu}\tilde{F}^{\mu\nu}=0.$$

  (20.136)
• (b)

  • (1) Mit denselben Rechenschritten wie in Teilaufgabe (a) erhält man nun

    $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial^{\rho}A^{\lambda})}=-\frac{1}{4\uppi}\partial_{\rho}A_{\lambda}=-\frac{1}{4\uppi}F_{\rho\lambda}-\frac{1}{4\uppi}\partial_{\lambda}A_{\rho},$$

    (20.137)

    die Ableitung nach den Potenzialen selbst bleibt gleich. Aus der Euler‐Lagrange‐Gleichung folgt dann

    $$\partial^{\,\rho}F_{\rho\lambda}+\partial_{\lambda}\partial^{\rho}A_{\rho}=\frac{4\uppi}{c}j_{\lambda}.$$

    (20.138)

    Man erhält aus dieser abgeänderten Lagrange‐Dichte also nur dann die Maxwell‐Gleichungen, wenn $\partial_{\lambda}\partial^{\rho}A_{\rho}=0$ ist, d. h., es muss

    $$\partial^{\rho}A_{\rho}={\mathrm{const}}$$

    (20.139)

    gelten. Dies kann durch eine geeignete Eichtransformation natürlich immer erreicht werden. (Dass Eichtransformationen zu keiner Änderung der Bewegungsgleichungen führen, wird in Teilaufgabe 20.3b gezeigt.)

  • (2) Die geänderte Lagrange‐Dichte unterscheidet sich von der ursprünglichen um den Summanden

    $$\frac{1}{8\uppi}(\partial_{\mu}A_{\nu})(\partial^{\nu}A^{\mu}).$$

    (20.140)

    Das kann mittels der Produktregel auch als

    $$\frac{1}{8\uppi}\left(\partial_{\mu}(A_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu})-A_{\nu}\partial^{\nu}\partial_{\mu}A^{\mu}\right)$$

    (20.141)

    geschrieben werden. Der erste Summand ist eine totale Ableitung; sein Beitrag zur Wirkung kann mithilfe des Gauß’schen Satzes in ein Oberflächenintegral umgeschrieben werden. Er verschwindet also, wenn die Felder hinreichend rasch abfallen. Der zweite Summand verschwindet genau dann, wenn $\partial^{\nu}\partial_{\mu}A^{\mu}$ = 0 ist; man erhält somit dieselbe Bedingung wie in (1).

20.3

Eine allgemeine Eichtransformation hat bekanntlich die Form

$$A^{\mu}\to A^{\mu}+\partial^{\mu}\Lambda$$

(20.142)

mit einer beliebigen skalaren Funktion Λ.

• (a) Der kinetische Term ändert sich unter der Eichtransformation offensichtlich nicht. Der potenzielle Term dagegen ändert sich:

  $$-\frac{q}{c}\tilde{u}_{\mu}A^{\mu}\to-\frac{q}{c}\tilde{u}_{\mu}A^{\mu}-\frac{q}{c}\tilde{u}_{\mu}\partial^{\mu}\Lambda\left(x^{\sigma}(\lambda)\right),$$

  (20.143)

  also ändert sich die Lagrange‐Funktion um den zweiten Summanden.

  Dieser kann aber auch geschrieben werden als

  $$-\frac{q}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Lambda\left(x^{\sigma}(\lambda)\right).$$

  (20.144)

  Die Wirkung ändert sich damit um

  $$-\frac{q}{c}\int^{\lambda_{2}}_{\lambda_{1}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Lambda(x^{\sigma}(\lambda))\mathrm{d}\lambda=-\frac{q}{c}\left[\Lambda(x^{\sigma}(\lambda))\right]^{\lambda_{2}}_{\lambda_{1}},$$

  (20.145)

  also um eine Konstante. Damit hat eine Eichtransformation letztlich keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen.

• (b) Der Feldstärketensor $F^{\mu\nu}$ ist invariant unter einer Eichtransformation, wie man leicht zeigt:

  $$\begin{aligned}F^{\mu\nu}&=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\\ &\to\partial^{\mu}A^{\nu}+\partial^{\mu}\partial^{\nu}\Lambda-\partial^{\nu}A^{\mu}-\partial^{\nu}\partial^{\mu}\Lambda.\end{aligned}$$

  (20.146)

  Die Terme mit den Ableitungen von Λ heben sich gegenseitig weg, also bleibt nur $\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}=F^{\mu\nu}$ übrig. Damit ist der erste Summand in der Lagrange‐Dichte invariant unter Eichtransformationen.

  Der Wechselwirkungsterm dagegen ändert sich:

  $$-\frac{1}{c}j_{\mu}A^{\mu}\to-\frac{1}{c}j_{\mu}A^{\mu}-\frac{1}{c}j_{\mu}\partial^{\mu}\Lambda,$$

  (20.147)

  also ändert sich die Lagrange‐Dichte unter einer Eichtransformation. Die Wirkung ändert sich dadurch um

  $$-\frac{1}{c}\int j_{\mu}\partial^{\mu}\Lambda\,\mathrm{d}^{4}x.$$

  (20.148)

  Schreiben wir dies zunächst mit der Produktregel um in

  $$-\frac{1}{c}\int\left(\partial^{\mu}(j_{\mu}\Lambda)-(\partial^{\mu}j_{\mu})\Lambda\right)\mathrm{d}^{4}x.$$

  (20.149)

  Der zweite Summand verschwindet wegen der Kontinuitätsgleichung $\partial^{\mu}j_{\mu}=0$. Der erste dagegen kann mit dem Gauß’schen Satz in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden und liefert deshalb nur einen konstanten Beitrag zur Wirkung, der wieder keinen Einfluss auf die Bewegungsgleichungen hat.

20.4

• (a) Es gilt

  $$\delta\tilde{L}=\frac{\partial\tilde{L}}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta\tilde{u}^{\mu}.$$

  (20.150)

  Benutzt man nun

  $$\delta\tilde{u}^{\mu}=\delta\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}x^{\mu}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\delta x^{\mu}$$

  (20.151)

  und die Euler‐Lagrange‐Gleichung (20.37), so wird dies zu

  $$\delta\tilde{L}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\right)\delta x^{\mu}+\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\delta x^{\mu}\right).$$

  (20.152)

  Mit der Produktregel vereinfacht sich dies zu

  $$\delta\tilde{L}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta x^{\mu}\right).$$

  (20.153)

  Also muss

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta x^{\mu}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\tilde{Q}$$

  (20.154)

  gelten und somit

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta x^{\mu}-\tilde{Q}\right)=0.$$

  (20.155)

  Damit ist

  $$Q=\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta x^{\mu}-\tilde{Q}$$

  (20.156)

  eine Erhaltungsgröße.

• (b) Zunächst folgt für $\delta x^{\mu}=b^{\mu}$ mit einem konstanten Vektor $b^{\mu}$ sofort, dass $\delta\tilde{u}^{\mu}=0$ ist. Damit haben wir also

  $$\delta\tilde{L}=\frac{\partial\tilde{L}}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}\delta\tilde{u}^{\mu}=\frac{\partial\tilde{L}}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}.$$

  (20.157)

  Da der kinetische Term $-mc\sqrt{\tilde{u}_{\mu}\tilde{u}^{\mu}}$ von $x^{\mu}$ unabhängig ist und nach Voraussetzung $A^{\mu}$ räumlich und zeitlich konstant ist, folgt

  $$\delta\tilde{L}=0.$$

  (20.158)

  Die Lagrange‐Funktion ändert sich unter dieser Transformation nicht; also können wir $\tilde{Q}=0$ wählen. Andererseits ist

  $$\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\tilde{u}^{\mu}}=-mu_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}$$

  (20.159)

  (siehe Aufgabe 20.1); somit folgt aus dem Noether‐Theorem insgesamt, dass

  $$\left(-mu_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}\right)b^{\mu}$$

  (20.160)

  eine Erhaltungsgröße ist. Dies gilt für jeden Vektor $b^{\mu}$, daher ergeben sich die vier Erhaltungsgrößen

  $$-mu_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}=-p_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}.$$

  (20.161)

  Das Viererpotenzial $A_{\mu}$ wurde aber als räumlich und zeitlich konstant vorausgesetzt – also ist auch der Viererimpuls $p_{\mu}$ für sich genommen schon zeitlich konstant und damit eine Erhaltungsgröße.

  Dieses Ergebnis ist letztlich trivial: Konstantes $A^{\mu}$ heißt natürlich verschwindende Feldstärken ${\boldsymbol{E}}$ und ${\boldsymbol{B}}$. Somit wirken keine Kräfte, und der Viererimpuls ist konstant.

20.5

Wir haben zu zeigen:

$$ -\frac{1}{4\uppi}F^{\mu\rho}\partial^{\nu}A_{\rho}+\frac{1}{16\uppi}\eta^{\mu\nu}F_{\rho\lambda}F^{\rho\lambda}+\frac{1}{4\uppi}\partial_{\lambda}\left(F^{\mu\lambda}A^{\nu}\right)$$

$$ \quad=-\frac{1}{4\uppi}\left(F^{\mu}_{\;\;\lambda}F^{\nu\lambda}-\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\rho\lambda}F^{\rho\lambda}\right).$$

(20.162)

Die jeweils zweiten Summanden auf beiden Seiten stimmen bereits überein; es bleibt nur noch

$$F^{\mu\rho}\partial^{\nu}A_{\rho}-\partial_{\lambda}\left(F^{\mu\lambda}A^{\nu}\right)=F^{\mu}_{\;\;\lambda}F^{\nu\lambda}$$

(20.163)

zu zeigen. Im zweiten Summanden auf der linken Seite kann man nun die Produktregel verwenden. Die Ableitung des Feldstärketensors verschwindet wegen der vorausgesetzten Quellenfreiheit, also haben wir noch

$$F^{\mu\rho}\partial^{\nu}A_{\rho}-F^{\mu\lambda}\partial_{\lambda}A^{\nu}=F^{\mu}_{\;\;\lambda}\,F^{\nu\lambda}.$$

(20.164)

Im ersten Summanden wird nun der Index ρ umbenannt, außerdem werden die Positionen vertauscht:

$$F^{\mu}_{\;\;\lambda}\,\partial^{\nu}A^{\lambda}-F^{\mu}_{\;\;\lambda}\,\partial^{\lambda}A^{\nu}=F^{\mu}_{\;\;\lambda}\,F^{\nu\lambda}.$$

(20.165)

Nach Ausklammern von $F^{\mu}_{\;\;\lambda}$ erhält man auch auf der linken Seite schließlich $F^{\mu}_{\;\;\lambda}F^{\nu\lambda}$, was zu zeigen war.