Relativistische Mechanik

Kapitelvorwort

Was wird in der relativistischen Mechanik aus den Newton’schen Axiomen?

Woraus folgt die berühmte Gleichung E=mc²?

Was ist Masse?

Wie kann neue Materie erzeugt werden?

In diesem Kapitel, in dem die relativistische Mechanik begründet werden soll, werden wir in Abschn. 10.1 zuerst den Impuls eines Punktteilchens zu einer Vierergröße machen und damit in Abschn. 10.2 das zweite Newton’sche Axiom (Kraft als zeitliche Änderung des Impulses) neu formulieren. Dabei wird sich herausstellen, dass Energie und Impuls ähnlich zu kombinieren sind wie Zeit‐ und Raumkoordinaten. Als besonders folgenreicher neuer Aspekt stellt sich dabei heraus, dass die Masse nicht länger eine erhaltene Größe ist, sondern Energie in Masse und umgekehrt umgewandelt werden kann. Ohne auf die dafür notwendigen Wechselwirkungen eingehen zu müssen, werden in Abschn. 10.3 zunächst relativistische Streuprozesse diskutiert, bei denen Massen erhalten bleiben, und danach solche, bei denen Materie erzeugt oder vernichtet wird.

Appendices

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

•:

leichte Aufgaben mit wenigen Rechenschritten

••:

mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfordern

•••:

anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen

10.1 •• Eigenzeit der hyperbolischen Bewegung und interstellare Reisen

• (a) Leiten Sie für die hyperbolische Bewegung, d. h. eine Weltlinie mit konstanter Eigenbeschleunigung $\tilde{a}$, den Zusammenhang (10.16) zwischen Eigen‐ und Koordinatenzeit sowie geschlossene Ausdrücke für den Zusammenhang von zurückgelegter Strecke x und Eigenzeit τ her.

• (b) Berechnen Sie damit, wie viel Zeit eine Reise zum nächstgelegenen Stern (Alpha Centauri, 4,2 Lichtjahre Entfernung) bzw. zum Zentrum der Milchstraße (etwa 27.000 Lichtjahre) brauchen würde, wenn man eine Rakete zur Verfügung hat, die eine komfortable konstante Beschleunigung in der Höhe der Erdbeschleunigung von $1\,g\approx 9{,}81\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ bereitstellt. Nach halber Strecke soll die Rakete um $180^{\circ}$ drehen, sodass die Abbremsung ebenfalls mit konstanter negativer Beschleunigung von $1\,g$ erfolgt. Vergleichen Sie die Eigenzeit des Reisenden mit der Zeit der Startrampe.

Lösungshinweis:

Verwenden Sie die Ergebnisse (10.14) und (10.15).

10.2 •• Relativistische Raketengleichung

Eine Rakete werde dadurch angetrieben, dass bezüglich ihres momentanen Ruhesystems kontinuierlich Masse mit einer konstanten Geschwindigkeit w ausgestoßen wird.

• (a) Welche Endgeschwindigkeit erreicht sie im Inertialsystem $\mathcal{S}$ der Startrampe, wenn sie ihren Vorrat an Brennstoff aufgebraucht und ihre Ruhemasse von anfänglich m ₀ auf m abgenommen hat?

• (b) Mit welcher Rate muss Masse ausgestoßen werden, damit die Beschleunigung im momentanen Ruhesystem konstant ist? Wie nimmt in diesem Fall die Masse als Funktion der Eigenzeit der Rakete ab?

Lösungshinweis:

Betrachten Sie zunächst ein Objekt mit Ruhemasse m, das sich in zwei Objekte mit Ruhemassen m ₁ und m ₂ teilt, die sich bezüglich des Schwerpunktsystems mit den Geschwindigkeiten v ₁ und v ₂ voneinander weg bewegen, und spezialisieren Sie dann auf ein infinitesimales $m_{2}=|\mathrm{d}m|$ mit $v_{2}=w$. Zur Aufstellung der Raketengleichung sind die erhaltenen Beziehungen ins ursprüngliche Ruhesystem zu transformieren.

10.3 •• Maximaler Ablenkungswinkel im Laborsystem, wenn ein schweres Teilchen auf ein leichteres stößt

Berechnen Sie den maximalen Streuwinkel $\vartheta_{A}$, den eine Masse m _A nach Kollision mit einer ursprünglich ruhenden leichteren Masse m _B im Laborsystem annehmen kann. Bestimmen Sie dafür über eine explizite Lorentz‐Transformation wie $\vartheta_{A}$ mit dem Streuwinkel im Schwerpunktsystem, $\vartheta$, der ja nicht eingeschränkt ist, zusammenhängt, und bestimmen Sie daraus den maximalen Wert.

10.4 • Inelastische Kollision von Protonen und Kupferkernen

Im Text wurde gezeigt, dass im Laborsystem bei der inelastischen Streuung von Protonen an Protonen das einlaufende Proton eine Energie von über $7\,m\,c^{2}$ haben muss, damit Antiprotonen erzeugt werden können. Bei der Entdeckung des Antiprotons wurde ein Protonenstrahl mit $6{,}7\,m\,c^{2}=6{,}3$ GeV auf ein Kupfertarget (Atommasse ca. 63 Protonmassen) geschossen. Berechnen Sie die Schwellenenergie für Antiprotonenerzeugung unter der Annahme, dass die Nukleonen im Target fest gebunden sind (was sie bezüglich der hier eingesetzten Energien aber nicht sind).

10.5 • Energievorrat und Lebensdauer der Sonne

Wie im Kasten „Anwendung: Massendefekt und Umwandlung von Masse in Energie“ vermerkt, wird bei der Kernfusion etwa 0,5 % der Masse in Energie umgewandelt. Schätzen Sie damit ab, wie viel Energie unsere Sonne, die eine Masse von etwa $2\cdot 10^{30}$ kg besitzt, im Laufe ihrer Existenz abstrahlen kann, und daraus die maximale Lebensdauer, wenn Sie verwenden, dass auf der Erde etwa 1500 $\rm W/m^{2}$ an Energie empfangen wird, wobei die Erde ungefähr 150 Millionen km von der Sonne entfernt ist.

10.6 • Mandelstam‐Variable

Man zeige, dass die im Kasten „Vertiefung: Die Mandelstam‐Variablen“ besprochenen Größen

$$\begin{aligned}s&=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2},\\ t&=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2},\\ u&=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}\end{aligned}$$

(10.74)

für einen elastischen oder inelastischen 2$\to$2‐Prozess mit Viererimpulsen

$$p^{\mu}_{1}+p^{\mu}_{2}=p_{3}^{\mu}+p_{4}^{\mu}$$

(10.75)

linear abhängig sind und

$$s+t+u=(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2})\,c^{2}$$

(10.76)

erfüllen. Die durch die Viererimpulse $p_{i}^{\mu}$ beschriebenen Teilchen $i=1,\ldots,4$ sollen dabei beliebige Ruhemassen m _i haben.

10.7 •• Umrechnung zwischen Schwerpunkt‐ und Laborsystem mit Mandelstam‐Variablen

Zeigen Sie folgende Beziehungen zwischen den in (10.74 ) definierten Mandelstam‐Variablen für relativistische 2$\to$2‐Prozesse und den Werten von Energie und Impuls, wobei

$$\begin{aligned}\lambda(a,b,c)&:=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac-2bc\\ &\phantom{:}\equiv a^{2}-2a(b+c)+(b-c)^{2}\\ &\phantom{:}\equiv\left[a-\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^{2}\right]\left[a-\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^{2}\right]\qquad\end{aligned}$$

(10.77)

die sogenannte Dreiecks‐ oder Källén‐Funktion (benannt nach dem schwedischen theoretischen Physiker Gunnar Källén, 1926–1968) ist:

• (a) im Schwerpunktsystem:

  $${\boldsymbol{p}}_{1}^{2}={\boldsymbol{p}}_{2}^{2} =\frac{1}{4s}\lambda(s,m_{1}^{2}c^{2},m_{2}^{2}c^{2}),$$

  (10.78)
  $${\boldsymbol{p}}_{3}^{2}={\boldsymbol{p}}_{4}^{2} =\frac{1}{4s}\lambda(s,m_{3}^{2}c^{2},m_{4}^{2}c^{2}),$$

  (10.79)
  $$E_{1}/c =\frac{s+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}}{2\sqrt{s}},$$

  (10.80)
  $$E_{2}/c =\frac{s+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}}{2\sqrt{s}},$$

  (10.81)
  $$E_{3}/c =\frac{s+(m_{3}^{2}-m_{4}^{2})c^{2}}{2\sqrt{s}},\qquad$$

  (10.82)
  $$E_{4}/c =\frac{s+(m_{4}^{2}-m_{3}^{2})c^{2}}{2\sqrt{s}};$$

  (10.83)

• (b) im Laborsystem (${\boldsymbol{p}}_{2}=0$):

  $${\boldsymbol{p}}_{1}^{2} =\frac{1}{4m_{2}^{2}c^{2}}\lambda(s,m_{1}^{2}c^{2},m_{2}^{2}c^{2}),$$

  (10.84)
  $$E_{1} =\frac{s-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}{2m_{2}},$$

  (10.85)
  $$E_{2} =m_{2}\,c^{2},$$

  (10.86)
  $$E_{3} =\frac{(m_{2}^{2}+m_{3}^{2})c^{2}-u}{2m_{2}},$$

  (10.87)
  $$E_{4} =\frac{(m_{2}^{2}+m_{4}^{2})c^{2}-t}{2m_{2}}.$$

  (10.88)

Insbesondere folgt aus dem Vergleich von (10.78) und (10.84) die einfache Umrechnungsformel

$$m_{2}c\,|{\boldsymbol{p}}_{1}|_{\rm LS}=\sqrt{s}\,|{\boldsymbol{p}}_{1}|_{\rm SPS}.$$

(10.89)

Man beachte auch, dass die Streuwinkel in der Variablen t bzw. u enthalten sind. Die Energien im Schwerpunktsystem sind daher unabhängig von Streuwinkeln, wohingegen im Laborsystem E ₃ und E ₄ von diesen abhängen.

10.8 • Zerfall eines massiven Teilchens in zwei massive Tochterteilchen

Berechnen Sie, wie sich im Schwerpunktsystem beim Zerfall eines massiven Teilchens mit Masse M die verfügbare Energie auf zwei Teilchen aufteilt, wenn diese die Massen m _A bzw. m _B besitzen.

Lösungshinweis:

Lösen Sie nicht wie beim Zerfall des Pions die Energieerhaltungsgleichung direkt, sondern betrachten Sie dafür die Lorentz‐Invarianten $p_{A}^{2}:=p_{A}^{\mu}p_{A}{}_{\mu}$ und $p_{B}^{2}:=p_{B}^{\mu}p_{B}{}_{\mu}$ und setzen Sie in diese die Energie‐Impuls‐Erhaltung ein. Dies vereinfacht die Rechnung merklich.

10.9 ••• Energieverlust von ultrahochenergetischen Protonen bei Kollision mit Photonen des kosmischen Mikrowellenhintergrunds

Im Kasten „Anwendung: Ultrahochenergetische kosmische Strahlung“ wurde diskutiert, dass der inelastische Prozess $\mathrm{p}^{+}+\upgamma\to\Updelta^{+}\to\mathrm{p}^{+}+\uppi^{0}$ für Protonen mit Energien $\gtrsim 10^{8}$ TeV und Photonen aus der kosmischen Hintergrundstrahlung dazu führt, dass die Protonen so lange Energie verlieren, bis sie unter die zugehörige Schwellenenergie fallen.

Schätzen Sie den durchschnittlichen Energieverlust eines solchen Protons bei einer derartigen Kollision ab, indem Sie den minimalen und den maximalen Energieverlust berechnen, der auftritt, wenn das $\Updelta^{+}$‐Baryon im Schwerpunktsystem das sekundäre Proton in bzw. gegen die Richtung des einlaufenden Protons emittiert. Für den Prozess $\mathrm{p}^{+}+\upgamma\to\Updelta^{+}$ soll angenommen werden, dass die Energie gerade zur Entstehung eines $\Updelta^{+}$‐Baryons ausreicht.

Berechnen Sie dazu die Energieaufteilungen für die Prozesse $\mathrm{p}^{+}+\upgamma\to\Updelta^{+}$ und $\Updelta^{+}\to\mathrm{p}^{+}+\uppi^{0}$ mit den Formeln aus Aufgabe 10.8 ($m_{\Updelta^{+}}=1{,}232\,{\rm GeV}/c^{2}$, $m_{\mathrm{p}}=0{,}938\,{\rm GeV}/c^{2}$, $m_{\uppi^{0}}=0{,}135\,{\rm GeV}/c^{2}$) und transformieren Sie diese in das ursprüngliche Inertialsystem, in dem das Proton anfangs eine Energie von etwa 10¹¹ GeV hatte.

Lösungshinweis:

Nutzen Sie aus, dass sich die in (9.99) eingeführte Rapidität $\xi={\mathrm{arcosh\> }}\gamma(v)$ bei Lorentz‐Transformationen in einer festen Richtung additiv verhält.

10.10 •• Rapidität und Pseudorapidität in der Teilchenphysik

In Teilchenkollisionen ist eine direkt zugängliche Observable der Winkel $\vartheta$, unter dem ein gestreutes oder neu erzeugtes Teilchen gegenüber der Strahlachse in den Detektor fliegt. In der Teilchenphysik wird dieser üblicherweise durch die äquivalente Größe der Pseudorapidität, definiert durch

$$\eta:=-\ln\left(\tan\frac{\vartheta}{2}\right),$$

(10.90)

angegeben (Abb. 10.9).

Unter Rapidität versteht man in der Teilchenphysik dagegen die in (9.99) eingeführte Rapidität ${\mathrm{artanh\> }}(v/c)$, aber eingeschränkt auf die longitudinale Komponente der Geschwindigkeit $v_{\parallel}/c=p_{\parallel}\,c/E$:

$$y:={\mathrm{artanh\> }}\frac{p_{\parallel}\,c}{E}.$$

(10.91)

Zeigen Sie, dass

• (a) im Hochenergielimes $\gamma\gg 1$ die Pseudorapidität in die longitudinale Rapidität y übergeht;

• (b) sich die Rapidität y unter Lorentz‐Transformationen mit Geschwindigkeit $v=\beta c$ in longitudinaler Richtung gemäß

  $$y^{\prime}=y-{\mathrm{artanh\> }}\beta$$

  (10.92)

  transformiert.

Lösungshinweis:

Drücken Sie zuerst η durch Impulskomponenten $p_{\parallel}=|{\boldsymbol{p}}|\,\cos\vartheta$ und $p_{\perp}=|{\boldsymbol{p}}|\,\sin\vartheta$ aus. Verwenden Sie dazu die Identität

$$\tan\frac{\vartheta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\vartheta}{1+\cos\vartheta}}.$$

(10.93)

Abb. 10.9

Zusammenhang von Streuwinkel und Pseudorapidität

Lösungen zu den Aufgaben

10.1

(b) Rakete: 3,5 bzw. 19,8 Jahre; Erde: 5,8 bzw 27.002 Jahre

10.2

$$\frac{v}{c}=\frac{1-(m/m_{0})^{2w/c}}{1+(m/m_{0})^{2w/c}}$$

(10.94)

Bei konstanter Beschleunigung a ist $m(\tau)=m_{0}\,\mathrm{e}^{-a\tau/w}$.

10.3

$\sin\vartheta_{A}^{\rm max}=m_{B}/m_{A}$.

10.4

$E_{A}\approx 3{,}06\,m\,c^{2}$.

10.5

Ungefähr $67\cdot 10^{9}$ Jahre.

10.8

$$\begin{aligned}E_{A}/c^{2}&=\frac{M^{2}+m_{A}^{2}-m_{B}^{2}}{2M},\\ E_{B}/c^{2}&=\frac{M^{2}+m_{B}^{2}-m_{A}^{2}}{2M}.\end{aligned}$$

(10.95)

10.9

Der minimale und maximale Energieverlust beträgt 3 % bzw. 40 %.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben

10.1

• (a) Die Eigenzeit entlang der hyperbolischen Weltlinie folgt mit (10.14) aus

  $$\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+\tilde{a}^{2}t^{2}/c^{2}}}$$

  (10.96)

  durch einfache Integration:

  $$\tau=\frac{c}{\tilde{a}}\,{\mathrm{arsinh\> }}\frac{\tilde{a}\,t}{c}.$$

  (10.97)

  Kombiniert mit (10.15) ergibt sich der Zusammenhang

  $$x(\tau)=\frac{c^{2}}{\tilde{a}}\left(\cosh\frac{\tilde{a}\tau}{c}-1\right)$$

  (10.98)

  bzw.

  $$\tau(x)=\frac{c}{\tilde{a}}{\mathrm{arcosh\> }}\left(\frac{\tilde{a}x}{c^{2}}+1\right).$$

  (10.99)

• (b) Mit $c\approx 2{,}998\cdot 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, 1 Jahr (y) $\approx 3{,}156\cdot 10^{7}\,$s, 1 Lichtjahr (ly) $\approx 9{,}46\cdot 10^{15}\,$m, $\tilde{a}=9{,}81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ergibt sich die Eigenzeit für die beiden Reisen zu

  $$\begin{aligned}\Updelta\tau_{1}&=2\,\tau(2{,}1\,\mathrm{ly})\approx 3{,}5\,\mathrm{y},\\ \Updelta\tau_{2}&=2\,\tau(13.500\,\mathrm{ly})\approx 19{,}8\,\mathrm{y}.\end{aligned}$$

  (10.100)

  Beide Reisedauern sind kürzer als die Lichtlaufzeit im Inertialsystem der Startrampe, die zweite ist sogar weniger als ein Tausendstel davon! Die Zeit, die während dieser Reise auf der Erde vergeht, ist natürlich größer:

  $$\Updelta t_{1}\approx 5{,}8\,\mathrm{y},\qquad\Updelta t_{2}\approx 27.002\,\mathrm{y}.$$

  (10.101)

  Mit den Ergebnissen aus Aufgabe 10.2 lässt sich berechnen, welche Massen Raketen mindestens haben müssten, mit denen solche Reisen im Prinzip möglich wären. Dies ist dem Leser überlassen.

10.2

Energie‐Impuls‐Erhaltung für die Aufspaltung $m\to m_{1}+m_{2}$ ergibt im momentanen Ruhesystem von m

$$\begin{pmatrix}mc\\ {\boldsymbol{0}}\end{pmatrix}=\gamma_{1}m_{1}\begin{pmatrix}c\\ {\boldsymbol{v}}_{1}\end{pmatrix}+\gamma_{2}m_{2}\begin{pmatrix}c\\ {\boldsymbol{v}}_{2}\end{pmatrix},$$

(10.102)

also

$$\begin{aligned}&m=m_{1}\gamma_{1}+m_{2}\gamma_{2},\quad\gamma_{1}m_{1}v_{1}=\gamma_{2}m_{2}v_{2},\\ &\Rightarrow m=m_{1}\gamma_{1}\left(1+\frac{v_{1}}{v_{2}}\right).\end{aligned}$$

(10.103)

Identifizieren wir m mit der Raketenmasse im momentanen Inertialsystem $\tilde{\mathcal{S}}$ und $m_{2}=|\mathrm{d}m|$ mit dem infinitesimalen Massenausstoß mit Geschwindigkeit $v_{2}=w$, dann ist $v_{1}=\mathrm{d}\tilde{v}$ die erzielte infinitesimale Geschwindigkeit. Der Faktor $\gamma_{1}$ in (10.103) ist dabei 1 bis auf Beiträge von höherer Ordnung, und man bekommt für die Massenänderung der Rakete

$$\frac{\mathrm{d}m}{m}=-\frac{|\mathrm{d}m|}{m}=-\frac{\mathrm{d}\tilde{v}}{w}.$$

(10.104)

Bewegt sich $\mathcal{S}$ mit Geschwindigkeit $v=v(m)$, dann folgt aus der relativistischen Geschwindigkeitsaddition

$$\begin{aligned}v+\mathrm{d}v&=\frac{v+\mathrm{d}\tilde{v}}{1+v\,\mathrm{d}\tilde{v}/c^{2}}\\ \Rightarrow\mathrm{d}v&=(v+\mathrm{d}\tilde{v})\left(1-v\,\mathrm{d}\tilde{v}/c^{2}\right)-v+O(\mathrm{d}\tilde{v}^{2})\\ &=\mathrm{d}\tilde{v}\left(1-v^{2}/c^{2}\right)+O(\mathrm{d}\tilde{v}^{2}).\end{aligned}$$

(10.105)

Umgeschrieben auf die Veränderung der Ruhemasse (die eine Lorentz‐Invariante darstellt) ergibt dies mit (10.104)

$$\frac{\mathrm{d}v/c}{1-v^{2}/c^{2}}=-\frac{w}{c}\frac{\mathrm{d}m}{m}$$

(10.106)

und auf‐integriert

$$\frac{1}{2}\ln\frac{1+v/c}{1-v/c}=-\frac{w}{c}\ln m+{\mathrm{const}},$$

(10.107)

wobei die Integrationskonstante dadurch fixiert ist, dass im Inertialsystem ${\mathcal{S}}$ die Geschwindigkeit für $m=m_{0}$ null ist. Damit ergibt sich

$$\frac{1+v/c}{1-v/c}=\left(\frac{m(v)}{m_{0}}\right)^{-2w/c}.$$

(10.108)

Dies ist eine lineare Gleichung in $v/c$ mit der Lösung (10.94).

Teilaufgabe (b) ergibt sich aus (10.104) dividert durch das Eigenzeitdifferenzial $\mathrm{d}\tau$. Die Beschleunigung im momentanen Ruhesystem ist $a=\mathrm{d}\tilde{v}/\mathrm{d}\tau$. Soll diese konstant gehalten werden, ist

$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}\tau}=-\frac{a}{w}m(\tau)$$

(10.109)

mit der Lösung

$$m(\tau)=m_{0}\mathrm{e}^{-a\tau/w}.$$

(10.110)

Da bei konstanter Beschleunigung die Bewegung hyperbolisch ist, kann mit (10.16) unmittelbar auf die Koordinatenzeit der Startrampe umgerechnet werden.

10.3

Bezeichnen wir den Betrag der gegengleichen einlaufenden Impulse ${\boldsymbol{p}}_{B}=-{\boldsymbol{p}}_{A}$ im Schwerpunktsystem mit p und die zugehörigen Energien $E_{A,B}/c=\sqrt{p^{2}+m_{A,B}^{2}\,c^{2}}$, dann ist die Geschwindigkeit, mit der sich Teilchen B im Schwerpunktsystem bewegt, gegeben durch $\beta=p\,c/E_{B}$. Ist die Kollisionsachse die x‐Achse, so führt eine Standard‐Lorentz‐Transformation in negativer x‐Richtung auf das Laborsystem, in dem Teilchen B ruht. Der Viererimpuls von Teilchen A nach dem Stoß transformiert sich vom Schwerpunkt‐ ins Laborsystem gemäß

$$\begin{aligned}(p_{A^{\prime}}^{\mu})_{\rm LS}&=\begin{pmatrix}\gamma&\gamma\beta&0&0\\ \gamma\beta&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{A}/c\\ p\cos\vartheta\\ p\sin\vartheta\\ 0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\ldots\\ (E_{A}+E_{B}\cos\vartheta)p/m_{B}\,c^{2}\\ p\sin\vartheta\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

(10.111)

mit $\gamma=E_{B}/m_{B}\,c^{2}$, $\gamma\beta=p/m_{B}\,c$. Das Verhältnis von y- und x‐Komponente gibt

$$\tan\vartheta_{A}=\frac{m_{B}\,c^{2}\,\sin\vartheta}{E_{A}+E_{B}\,\cos\vartheta}.$$

(10.112)

Für $m_{B}<m_{A}$ ist $E_{B}<E_{A}$, und der Nenner hat keine Nullstelle, wenn $\vartheta$ zwischen 0 und $\uppi$ variiert, sodass $\vartheta_{A}<\uppi/2$ bleibt und auch für $\vartheta\to\uppi$ wieder auf null geht. Dies bedeutet, dass das einlaufende Teilchen A nicht zurückgestreut werden kann, sondern immer einen Impuls in positiver x‐Richtung behält. Der maximale Winkel $\vartheta_{A}$ ergibt sich aus

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vartheta}\tan\vartheta_{A}=\frac{m_{B}\,c^{2}(E_{B}+E_{A}\,\cos\vartheta)}{(E_{A}+E_{B}\,\cos\vartheta)^{2}}=0$$

(10.113)

für $\cos\vartheta=-E_{B}/E_{A}$. In (10.112) eingesetzt ergibt dies

$$\tan\vartheta_{A}^{\rm max}=\frac{m_{B}\,c^{2}}{\sqrt{E_{A}^{2}-E_{B}^{2}}}=\frac{m_{B}/m_{A}}{\sqrt{1-m_{B}^{2}/m_{A}^{2}}}$$

(10.114)

bzw. $\sin\vartheta_{A}^{\rm max}=m_{B}/m_{A}$.

10.4

Aus

$$\begin{aligned}p^{\mu}_{\rm LS,vorher}&=\begin{pmatrix}E_{A}/c\\ {\boldsymbol{p}}_{A}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}63\,m\,c\\ {\boldsymbol{0}}\end{pmatrix},\\ p^{\mu}_{\rm SPS,nachher}&=\begin{pmatrix}(3+63)\,m\,c\\ {\boldsymbol{0}}\end{pmatrix}\end{aligned}$$

(10.115)

folgt nach Gleichsetzen der vom Bezugssystem unabhängigen Viererquadrate

$$\begin{aligned}&\left(\frac{E_{A}}{c}+63mc\right)^{2}-{\boldsymbol{p}}_{A}^{2}\\ &\quad=2\cdot 63E_{A}m+(63^{2}+1)m^{2}\,c^{2}=66^{2}m^{2}\,c^{2}\\ &\Rightarrow\;E_{A}=\frac{193}{63}\,m\,c^{2}\approx 3{,}06\,m\,c^{2}\end{aligned}$$

(10.116)

bzw.

$$T=E_{A}-m\,c^{2}=2{,}06\,m\,c^{2}.$$

(10.117)

Wären Kupferkerne bei diesen Energien unzerstörbar, würden demnach nur 3 % der kinetischen Energie mehr nötig sein, als die Ruheenergie eines Proton‐Antiproton‐Paares darstellt.

10.5

Ein Massendefekt von 0,5 % der Masse der Sonne entspricht einer Energiemenge von

$$0{,}5\cdot 10^{-2}\cdot 2\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\cdot c^{2}\approx 9\cdot 10^{44}\,\mathrm{Ws}.$$

(10.118)

Dies ist der geschätzte Energievorrat, der nach Entstehung der Sonne zur Abstrahlung zur Verfügung steht.

Die Leistung der Sonne ist gegeben durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius 150 Millionen Kilometer multipliziert mit 1500 $\rm W/m^{2}$:

$$4\uppi(1{,}5\cdot 10^{11}\mathrm{m})^{2}\cdot 1500\,\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{2}\approx 4\cdot 10^{26}\,\mathrm{W}.$$

(10.119)

Dies reicht für etwa $2{,}1\cdot 10^{18}$ s oder etwa $67\cdot 10^{9}$ Jahre, wenn sie gleichmäßig strahlt. Die von Astrophysikern errechnete Brenndauer unserer Sonne, bis sie das Endstadium eines weißen Zwerges erreicht, liegt tatsächlich unter diesem Wert – bei etwa 12,5 Milliarden Jahren.

10.6

Mit $p^{2}_{i}=m^{2}\,c^{2}$ ergibt Ausmultiplikation der definierenden Gleichungen

$$\begin{aligned}s+t+u&=m_{1}^{2}\,c^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}+m_{2}^{2}\,c^{2}\\ &\quad+m_{1}^{2}\,c^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}+m_{3}^{2}\,c^{2}\\ &\quad+m_{1}^{2}\,c^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}+m_{4}^{2}\,c^{2}\\ &=\sum_{i=1}^{4}m_{i}^{2}\,c^{2}+2m_{1}^{2}\,c^{2}+2p_{1}\cdot\underbrace{(p_{2}-p_{3}-p_{4})}_{-p_{1}}\\ &=\sum_{i=1}^{4}m_{i}^{2}\,c^{2}.\end{aligned}$$

(10.120)

10.7

• (a) Im Schwerpunktsystem ist ${\boldsymbol{p}}_{1}=-{\boldsymbol{p}}_{2}$ und ${\boldsymbol{p}}_{3}=-{\boldsymbol{p}}_{4}$. Damit ist

  $$\begin{aligned}s&=(p_{1}+p_{2})^{2}=(E_{1}/c+E_{2}/c)^{2}\\ &=(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2})/c^{2},\end{aligned}$$

  (10.121)

  und mit $E_{i}/c=\sqrt{{\boldsymbol{p}}_{i}^{2}+m_{i}^{2}c^{2}}$ folgt

  $$s-2{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}=2E_{1}E_{2}/c^{2}.$$

  (10.122)

  Nach dem Quadrieren dieser Gleichung fallen die Terme proportional zu $({\boldsymbol{p}}_{1}^{2})^{2}$ heraus, und man erhält

  $$s^{2}-4s{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}-2s(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})^{2}c^{4}-4m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{4}=0$$

  (10.123)

  oder

  $$\begin{aligned}4s{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}&=s^{2}-2s(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}c^{4}\\ &=\lambda(s,m_{1}^{2}c^{2},m_{2}^{2}c^{2}),\end{aligned}$$

  (10.124)

  woraus (10.78) folgt. Daraus lässt sich nun die Energie über

  $$\begin{aligned}E_{1}^{2}/c^{2}={\boldsymbol{p}}_{1}^{2}+m_{1}^{2}c^{2}&=\frac{\lambda(s,m_{1}^{2}c^{2},m_{2}^{2}c^{2})+4s\,m_{1}^{2}c^{2}}{4s}\\ &=\frac{[s+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}]^{2}}{4s}\end{aligned}$$

  (10.125)

  berechnen.

  Ganz analog folgen die restlichen Relationen im Schwerpunktsystem.

• (b) Im Laborsystem ist $p_{2}^{\mu}=(m_{2}c,{\boldsymbol{0}})^{\top}$, wodurch sich alle Mandelstam‐Variablen unmittelbar durch die Energien ausdrücken lassen:

  $$\begin{aligned}s&=(p_{1}+p_{2})^{2}=m_{1}^{2}c^{2}+2E_{1}m_{2}+m_{2}^{2}c^{2},\\ t&=(p_{2}-p_{4})^{2}=m_{2}^{2}c^{2}-2m_{2}E_{4}+m_{4}^{2}c^{2},\\ u&=(p_{2}-p_{3})^{2}=m_{2}^{2}c^{2}-2m_{2}E_{3}+m_{3}^{2}c^{2}.\quad\end{aligned}$$

  (10.126)

  Daraus ergeben sich unmittelbar die angegebenen Ausdrücke für die Energien E _i .

  Die zugehörigen Impulse folgen aus der Energie‐Impuls‐Beziehung ${\boldsymbol{p}}_{i}^{2}=E_{i}^{2}/c^{2}-m_{i}^{2}c^{2}$, im Speziellen

  $$\begin{aligned}{\boldsymbol{p}}_{1}^{2}&=\frac{[s-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}]^{2}-4m_{2}^{2}c^{2}(m_{1}^{2}c^{2})}{4m_{2}^{2}c^{2}}\\ &=\frac{1}{4m_{2}^{2}c^{2}}\lambda(s,m_{1}^{2}c^{2},m_{2}^{2}c^{2}).\end{aligned}$$

  (10.127)

10.8

Im Schwerpunktsystem ist $p^{\mu}=(Mc,{\boldsymbol{0}})=p_{A}^{\mu}+p_{B}^{\mu}$. Die Energie‐Impuls‐Relation $p_{B}^{2}=m_{B}^{2}\,c^{2}$ kann damit geschrieben werden als

$$\begin{aligned}m_{B}^{2}\,c^{2}=(p-p_{A})^{2}&=p^{2}-2p\cdot p_{A}+p_{A}^{2}\\ &=M^{2}\,c^{2}-2ME_{A}+m_{A}^{2}\,c^{2},\quad\end{aligned}$$

(10.128)

woraus

$$E_{A}/c^{2}=\frac{M^{2}+m_{A}^{2}-m_{B}^{2}}{2M}$$

(10.129)

folgt. Analog erhält man

$$E_{B}/c^{2}=\frac{M^{2}+m_{B}^{2}-m_{A}^{2}}{2M}.$$

(10.130)

Die Summe davon ist offensichtlich $(E_{A}+E_{B})/c^{2}=M$, was gerade die Energieerhaltungsgleichung darstellt. Deren direkte Lösung würde aber die Berechnung von ${\boldsymbol{p}}_{A}^{2}={\boldsymbol{p}}_{B}^{2}$ aus einer Gleichung mit Wurzelausdrücken erfordern.

10.9

Die Schwerpunktsenergie $m_{\Updelta^{+}}c^{2}$ teilt sich gemäß (10.95) bei $\mathrm{p}^{+}+\upgamma\to\Updelta^{+}$ entsprechend

$$\begin{aligned}E_{\mathrm{p}}&=\frac{1{,}232^{2}+0{,}938^{2}}{2\cdot 1{,}232}\,{\rm GeV}=0{,}973\,{\rm GeV},\\ E_{\upgamma}&=\frac{1{,}232^{2}-0{,}938^{2}}{2\cdot 1{,}232}\,{\rm GeV}=0{,}259\,{\rm GeV}\end{aligned}$$

(10.131)

und bei $\Updelta^{+}\to p^{+}+\uppi^{0}$ entsprechend

$$\begin{aligned}E_{\mathrm{p}}&=\frac{1{,}232^{2}+0{,}938^{2}-0{,}135^{2}}{2\cdot 1{,}232}\,{\rm GeV}=0{,}966\,{\rm GeV},\quad\qquad\\ E_{\uppi^{0}}&=\frac{1{,}232^{2}+0{,}135^{2}-0{,}938^{2}}{2\cdot 1{,}232}\,{\rm GeV}=0{,}266\,{\rm GeV}\end{aligned}$$

(10.132)

auf.

Die Rapidität des Protons beträgt im ersteren Fall $\xi_{1}={\mathrm{arcosh\> }}(E_{\mathrm{p}}/m_{\mathrm{p}}c^{2})={\mathrm{arcosh\> }}(0{,}973/0{,}938)=0{,}273$, im letzteren $\xi_{2}={\mathrm{arcosh\> }}(0{,}966/0{,}938)=0{,}242$. Wird das sekundäre Proton in Richtung des primären emittiert, ist die Änderung der Rapidität $\Updelta\xi_{1}=-0{,}03$, bei entgegengesetzter Richtung $\Updelta\xi_{2}=-0{,}515$.

Bei sehr hohen kinetischen Energien und $\xi\gg 1$ gilt

$$\frac{E}{mc^{2}}=\gamma=\cosh\xi\approx\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\xi}.$$

(10.133)

Die berechneten Verschiebungen von $\Updelta\xi$ bedeuten eine Multiplikation mit den Faktoren

$$\mathrm{e}^{\Updelta\xi_{1}}\approx 0{,}97,\quad\mathrm{e}^{\Updelta\xi_{2}}\approx 0{,}60$$

(10.134)

und somit Energieverluste zwischen 3 % und 40 %. (Hier ist der genaue Wert von ξ nicht wesentlich, solange $\xi\gg 1$ ist. Für $E_{\mathrm{p}}\sim 10^{11}$ GeV ist $\xi\sim 26$ und daher mehr als hinreichend groß.)

10.10

• (a) Mit

  $$\tan\frac{\vartheta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\vartheta}{1+\cos\vartheta}}=\sqrt{\frac{|{\boldsymbol{p}}|-p_{\parallel}}{|{\boldsymbol{p}}|+p_{\parallel}}}$$

  (10.135)

  ist

  $$\eta=-\ln\left(\tan\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\frac{|{\boldsymbol{p}}|+p_{\parallel}}{|{\boldsymbol{p}}|-p_{\parallel}}={\mathrm{artanh\> }}\frac{p_{\parallel}}{|{\boldsymbol{p}}|}.$$

  (10.136)

  Für $\gamma=E/(mc^{2})=\sqrt{{\boldsymbol{p}}^{2}+m^{2}c^{2}}/(mc)\gg 1$ ist ${\boldsymbol{p}}^{2}\gg m^{2}c^{2}$ und $E\approx|{\boldsymbol{p}}|c$. Die longitudinale Rapidität wird daher

  $$y={\mathrm{artanh\> }}\frac{p_{\parallel}\,c}{E}\approx{\mathrm{artanh\> }}\frac{p_{\parallel}}{|{\boldsymbol{p}}|}=\eta\quad(\gamma\gg 1).$$

  (10.137)

• (b) Unter einer Lorentz‐Transformation mit Geschwindigkeit $c\beta$ in longitudinaler Richtung transformieren Energie und Impuls als Vierervektor entsprechend

  $$\begin{aligned}E^{\prime}&=\gamma E-\beta\gamma p_{\parallel}\,c,\\ p^{\prime}_{\parallel}&=\gamma p_{\parallel}-\beta\gamma E/c,\\ p^{\prime}_{\perp}&=p_{\perp}.\end{aligned}$$

  (10.138)

  Damit ist

  $$\begin{aligned}y^{\prime}&=\frac{1}{2}\ln\frac{E^{\prime}+p^{\prime}_{\parallel}c}{E^{\prime}-p^{\prime}_{\parallel}c}=\frac{1}{2}\ln\frac{\gamma E-\beta\gamma p_{\parallel}\,c+\gamma p_{\parallel}\,c-\beta\gamma E}{\gamma E-\beta\gamma p_{\parallel}\,c-\gamma p_{\parallel}\,c+\beta\gamma E}\\ &=\frac{1}{2}\ln\frac{(1-\beta)(E+p_{\parallel}c)}{(1+\beta)(E-p_{\parallel}c)}=y-\frac{1}{2}\ln\frac{(1+\beta)}{(1-\beta)}\\ &=y-{\mathrm{artanh\> }}\beta.\end{aligned}$$

  (10.139)