Drehbewegungen

Zusammenfassung

Drehbewegungen sind allgegenwärtig: Die Erde rotiert um ihre Achse, genauso wie Propeller, Antriebswellen in Autos und Eisläufer bei einer Pirouette sich um ihre Achsen drehen. In diesem Kapitel werden wir Gesetze für die Drehbewegung entwickeln, die den Gesetzen der vorangegangenen Kapiteln ähnlich sind.

Das im Jahr 2000 in Betrieb gegangene „London Eye“ ist mit einer Höhe von 135 m das größte Riesenrad Europas. Es kann bis zu 800 Passagiere befördern. (© Ian Britton/FreeFoto.com.)

?Welches Drehmoment braucht man zum Stoppen des Rads, wenn die Passagiere beim Stoppen des Rads noch 10 m zurücklegen sollen? (Siehe Beispiel 8.15.)

Appendices

Im Kontext: Die Kunst, Pulsare zu recyceln

Neutronensterne sind kompakte Objekte, die sich bei Supernovaexplosionen bilden, wenn der Eisenkern eines massiven Sterns nach Beendigung seiner Kernfusion kollabiert. Mittels Drehimpulserhaltung ist es möglich, die Spinperiode bei der Entstehung eines Neutronensterns abzuschätzen. Wir nehmen an, dass der Radius des Eisenkerns ungefähr die Hälfte des Erdradius (3200 km) beträgt und seine Spinperiode ungefähr 30 min ist. Nimmt man für den Neutronenstern nun einen Radius von 12 km an, so hat dieser direkt nach der Supernovaexplosion eine Spinperiode von ungefähr 25 ms.

Radiopulsare sind stark magnetisierte rotierende Neutronensterne mit typischen Spinperioden zwischen 0,2 und 10 s. Der erste Pulsar wurde im Jahre 1967 entdeckt${}^{1}$, und wir wissen heute von über 2000 solcher Pulsare in unserer Galaxie. Pulsare emittieren Radiowellen und können dann entdeckt werden (z. B. vom 100-m-Effelsberg-Radioteleskop bei Bonn${}^{2}$), wenn ihr Emissionsstrahl die Sichtlinie der Erde kreuzt. Dies bezeichnet man auch als Leuchtturmeffekt. 1982 wurde der erste Millisekundenpulsar (MSP) entdeckt.${}^{3}$ Diese Objekte haben extrem schnelle Spinperioden von nur 1,4–10 ms. Seit ihrer Entdeckung stellen sie eine interessante Herausforderung für theoretische Astrophysiker dar: Wie gelang es der Natur, solch exotische Objekte zu erschaffen?

Künstlerische Darstellung eines akkretierenden Millisekundenpulsars. Das vom Begleitstern fließende Material formt eine Scheibe um den Neutronenstern, die am Rand der Pulsarmagnetosphäre abgeschnitten wird. (©NASA/Goddard Space Flight Center/Dana Berry.)

Nach allgemeiner Auffassung sind MSPs alte Neutronensterne, die zu hohen Rotationsfrequenzen durch Massen- und Drehimpulsakkretion eines Begleitsterns in einem engen Binärsystem${}^{4,5}$ gelangt sind. Die starke gravitative Anziehung des Neutronensterns führt zum Abfluss von Gas aus den äußeren Bezirken des Begleitsterns („stellarer Kannibalismus“). Aufgrund seines hohen Bahndrehimpulses bildet das einfallende Gas eine Akkretionsscheibe um den Neutronenstern. Sobald das Gas schließlich in den tiefen Gravitationspotenzialtopf dieses kompakten Objekts fällt, wird es aufgeheizt und emittiert Röntgenstrahlung. Während dieser Phase kann das System als ein Röntgenbinärsystem beobachtet werden (z. B. vom deutschen Satelliten eROSITA, der 2016 starten soll). Sobald der Primärstern seine gesamte Hülle abgegeben hat, endet der Massentransfer und zurück bleibt ein Weißer Zwerg (der Kern des früheren Begleitsterns).${}^{6}$ Zu diesem Zeitpunkt kann der Neutronenstern als Radio-MSP beobachtet werden.

Wenn man den Massentransfer betrachtet (das sogenannte Recycling von Pulsaren), ist es wichtig, detaillierte Berechnungen der Sternentwicklung in Verbindung mit der Physik der Wechselwirkung zwischen den beiden Sternen zu berücksichtigen. Dies beinhaltet z. B. den Verlust von Bahndrehimpuls aufgrund von Gravitationswellenabstrahlung, magnetischem Sternwind und Massenabnahme des Systems. Daher bleibt der Bahndrehimpuls unter diesen Bedingungen nicht erhalten. Die Spinperiode, die man schließlich für einen MSP erhält, wird durch das Drehmoment bestimmt, das durch den Akkretionsprozess hervorgerufen wird, sowie durch die Dauer des Massentransferprozesses. Dieses Drehmoment wird aus dem Drehimpulsaustausch am inneren Rand der Akkretionsscheibe, der zwischen dem einfallenden Gas und der mitrotierenden Magnetosphäre des MSP besteht, berechnet.${}^{7,8}$

Es ist äußerst bemerkenswert, dass allein durch die Kenntnis der Spinperiode P Randbedingungen bezüglich grundlegender physikalischer Eigenschaften des MSP bestimmt werden können. Die Rotationsgeschwindigkeit am Äquator, $v_{\mathrm{eq}}$, muss kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c sein. Daher ergibt sich für den Radius des MSP, $R<cP/2\pi$ (unter Verwendung von $v_{\mathrm{eq}}=2\pi R/P<c$). Für einen MSP mit $P=1{,}4$ ms impliziert dies eine strenge Obergrenze für den Radius von R < 65 km. Theoretische Modelle sagen sogar einen Wert von R = 10–15 km vorher. Die mittlere Massendichte eines MSP wird durch die Forderung begrenzt, dass am Äquator die nach innen gerichtete Gravitationsbeschleunigung größer sein muss als die nach außen gerichtete Zentrifugalbeschleunigung. Andernfalls wäre der Stern ungebunden. Die Masse eines MSP und seines Begleitsterns, des Weißen Zwergs, kann aus der Bahnbewegung durch Messung der dopplerverschobenen Spinperiode des MSP und der optischen Spektrallinien des Weißen Zwergs bestimmt werden. In einigen Fällen können die Massen durch die Messung der Verzögerung der Reisezeiten des emittierten Radiopulses, die durch die lokale Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Begleitsterns entsteht, gemessen werden (dies ist die sogenannte Shapiro-Verzögerung oder auch Shapiro-Effekt). Es stellt sich heraus, dass MSPs einen Massenbereich zwischen 1,2 und 2,0 Sonnenmassen abdecken. In Verbindung mit ihren kleinen Radien verrät uns dies, dass MSPs im Grunde genommen als sich schnell drehende, gigantische Atomkerne (mit einer Baryonenzahl von 10⁵⁷) betrachtet werden können. Deswegen sind MSPs auch für die Kern- und Teilchenphysik äußerst interessante Objekte.

Manche MSPs besitzen Weiße Zwerge mit engen Umlaufbahnen, deren Umlaufperiode nur wenige Stunden beträgt. Diese Systeme verlieren Bahnenergie aufgrund der Emission von Gravitationswellen und verschmelzen daher nach einigen Hundert Millionen Jahren miteinander${}^{9}$. Dieses Ereignis kann die Bildung eines Schwarzen Lochs zur Folge haben. In anderen Binärsystemen kann ein Neutronenstern auch mit einem anderen Neutronenstern oder auch mit einem Schwarzen Loch verschmelzen. Derartige Kollisionen resultieren in einem kurzen Ausbruch von Gravitationswellen (oder auch Gammastrahlung). Selbst wenn solche Ereignisse in entfernten Galaxien auftreten, besteht die Hoffnung, dass sie durch Gravitationswellendetektoren wie LIGO, VIRGO und GEO600 (in Hannover) innerhalb der nächsten fünf Jahre entdeckt werden. Dies wird ein komplett neues Fenster zu unserem Universum öffnen.

• 1. Hewish, A. et al., „Observation of a rapidly pulsating radio source“, Nature 217, 1968, 709–713.

• 2. http://www.mpifr-bonn.mpg.de/effelsberg (Stand: Mai 2013).

• 3. Backer, D. C. et al., „A millisecond pulsar“, Nature 300, 1982, 615–618.

• 4. Alpar, M. A. et al., „A new class of radio pulsars“, Nature 300, 1982, 728–730.

• 5. Tauris, T. M., van den Heuvel, E. P. J., „Formation and evolution of compact stellar X-ray sources“, in: Lewin, W., van der Klis, M. (Hrsg.), Compact Stellar X-Ray Sources, Cambridge University Press, Cambridge, 2006, 623–665.

• 6. Tauris, T. M., Savonije, G. J., „Formation of millisecond pulsars. I. Evolution of low-mass X-ray binaries with $P_{\mathrm{orb}}> 2$ days“, A&A 350, 1999, 928–944.

• 7. Tauris, T. M., „Spin-down of radio millisecond pulsars at genesis“, Science 335, 2012, 561–563.

• 8. Tauris, T. M., Langer, N., Kramer, M., „Formation of millisecond pulsars with CO white dwarf companions. II. Accretion, spin-up, true ages and comparison to MSPs with He white dwarf companions“, MNRAS 425, 2012, 1601–1627.

• 9. Antoniadis, J. et al., „A massive pulsar in a compact relativistic orbit“, Science 340, 2013, 1233232, http://www.eso.org/public/videos/eso1319a/ (Stand: Mai 2013).

Dr. Thomas M. Tauris machte seinen Doktor in Astrophysik an der Universität Aarhus/ATNF-CSIRO Sydney. Er forschte unter anderem am Niels-Bohr-Institut in Kopenhagen und am NORDITA (Nordic Institute for Theoretical Physics). Zurzeit arbeitet er am Argelander Institut für Astronomie der Universität Bonn und am Max-Planck-Institut für Radioastronomie in Bonn. Seine Forschungsschwerpunkte sind die Bildung und Evolution von Binär- und Röntgenpulsaren, kompakte Sterne, Stellarphysik und Supernovae.

Aufgaben

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=}$ 9,81 m/s ${}^{\mathbf{2}}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 8.1 • 

Eine Scheibe rotiert mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse durch den Mittelpunkt senkrecht zur Scheibe. Auf ihr sind zwei Punkte markiert, einer auf dem Rand und einer auf der Mitte zwischen dem Rand und der Drehachse. a) Welcher der Punkte bewegt sich in einer bestimmten Zeit über die größere Entfernung? b) Welcher der beiden Punkte dreht sich um den größeren Winkel? c) Welcher Punkt hat die höhere (tangentiale) Geschwindigkeit? d) Welcher Punkt hat die höhere Winkelgeschwindigkeit? e) Welcher Punkt hat die größere (tangentiale) Beschleunigung? f) Welcher Punkt hat die größere Winkelbeschleunigung? g) Welcher Punkt hat die größere Zentripetalbeschleunigung?

1.1.2 8.2 • 

Eine Scheibe kann frei um eine feste Achse rotieren. Eine tangentiale Kraft, die im Abstand d von der Achse angreift, verursacht eine Winkelbeschleunigung α. Welche Winkelbeschleunigung erfährt die Scheibe, wenn dieselbe Kraft im Abstand $2\,d$ von der Achse angreift? a) α, b) $2\,\alpha$, c) $\alpha/2$, d) $4\,\alpha$, e) $\alpha/4$.

1.1.3 8.3 • 

Füllen Sie die Lücke im Satz aus: Das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer Achse, die nicht durch seinen Massenmittelpunkt verläuft, ist $\ldots$ Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Massenmittelpunkt. a) immer geringer als das, b) manchmal geringer als das, c) manchmal gleich dem, d) immer größer als das.

1.1.4 8.4 • 

Bei den meisten Türen befindet sich der Griff auf der Seite der Tür, die den Angeln gegenüberliegt (und nicht wie beispielsweise bei einer Schublade in der Mitte). Warum ist das Öffnen der Tür dadurch leichter?

1.1.5 8.5 • 

Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v entlang einer geraden Bahn, die durch einen Punkt P verläuft. Wie groß ist der Drehimpuls des Teilchens bezüglich des Punkts P? a) Sein Betrag ist $m\,v$. b) Sein Betrag ist null. c) Sein Betrag ändert das Vorzeichen, wenn das Teilchen durch P geht. d) Sein Betrag nimmt zu, wenn sich das Teilchen dem Punkt P nähert.

1.1.6 8.6 • 

Ein Teilchen bewegt sich auf einer geraden Bahn mit konstanter Geschwindigkeit. Wie verändert sich der Drehimpuls bezüglich eines beliebigen festen Punkts mit der Zeit?

1.1.7 8.7 •• 

Ein massiver, gleichförmiger Zylinder und eine massive, gleichförmige Kugel haben dieselbe Masse. Beide rollen, ohne zu gleiten, auf einer horizontalen Ebene. Berechnen Sie für welche Radien der beiden Körper folgende Aussagen richtig sind, wenn ihre kinetischen Energien gleich sind: a) Die Translationsgeschwindigkeit des Zylinders ist größer als die der Kugel. b) Die Translationsgeschwindigkeit des Zylinders ist kleiner als die der Kugel. c) Die Translationsgeschwindigkeit des Zylinders und die der Kugel sind gleich.

1.1.8 8.8 •• 

Ein Ring der Masse m mit dem Radius r rollt, ohne zu gleiten. Was ist größer, seine kinetische Translationsenergie oder seine kinetische Rotationsenergie relativ zum Massenmittelpunkt? a) Die kinetische Translationsenergie ist größer. b) Die kinetische Rotationsenergie relativ zum Massenmittelpunkt ist größer. c) Beide Energien sind gleich groß. d) Die Antwort hängt vom Radius des Rings ab. e) Die Antwort hängt von der Masse des Rings ab.

1.1.9 8.9 •• 

Eine vollständig starre Kugel rollt, ohne zu gleiten, auf einer vollständig starren horizontalen Oberfläche. Zeigen Sie, dass die Reibungskraft auf die Kugel null sein muss. (Hinweis: Überlegen Sie, in welcher Richtung die Reibungskraft angreifen kann und welche Wirkung eine solche Kraft auf die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts und auf die Winkelgeschwindigkeit hätte.)

1.1.10 8.10 •• 

In einem System bleibt der Drehimpuls bezüglich eines festen Punkts P konstant. Welche der folgenden Aussagen ist dann richtig? a) Auf kein Teil des Systems wirkt ein Drehmoment bezüglich P. b) Auf jeden Teil des Systems wirkt ein konstantes Drehmoment bezüglich P. c) Auf jeden Teil des Systems wirkt bezüglich P ein resultierendes äußeres Drehmoment von null. d) Auf das System wirkt ein konstantes äußeres Drehmoment bezüglich P. e) Auf das System wirkt bezüglich P ein resultierendes äußeres Drehmoment von null.

1.1.11 8.11 •• 

Ein Block, der reibungsfrei auf einem Tisch gleitet, ist an einer Schnur befestigt, die durch ein kleines Loch in der Tischplatte verläuft. Anfangs gleitet der Block mit der Geschwindigkeit v ₀ auf einer Kreisbahn mit dem Radius r ₀ um das Loch. Ein Student unter dem Tisch zieht nun langsam an der Schnur. Was passiert, während der Block sich auf einer Spiralbahn nach innen bewegt? (Der Begriff „Drehimpuls“ soll in diesem Zusammenhang den Drehimpuls bezüglich einer vertikalen, durch das kleine Loch verlaufenden Achse bezeichnen.) a) Energie und Drehimpuls des Blocks bleiben erhalten. b) Der Drehimpuls des Blocks bleibt erhalten, seine Energie nimmt zu. c) Der Drehimpuls des Blocks bleibt erhalten, seine Energie nimmt ab. d) Die Energie des Blocks bleibt erhalten, der Drehimpuls nimmt zu. e) Die Energie des Blocks bleibt erhalten, der Drehimpuls nimmt ab. Geben Sie Argumente an, um Ihre Antwort zu stützen.

1.1.12 8.12 •• 

Der Drehimpulsvektor für ein sich drehendes Rad verläuft entlang dessen Achse und zeigt nach Osten. Um den Vektor in die südliche Richtung zu drehen, lässt man eine Kraft am östlichen Ende der Achse wirken. In welche Richtung muss die Kraft wirken? a) aufwärts, b) abwärts, c) nach Norden, d) nach Süden, e) nach Osten.

1.1.13 8.13 •• 

Sie haben ein Auto konstruiert, das durch die Energie angetrieben wird, die in einem Einzelschwungrad mit dem Eigendrehimpuls L gespeichert ist. Über Nacht schließen Sie den Wagen an eine Steckdose an, ein Elektromotor bringt dann das Schwungrad auf Touren und führt ihm Rotationsenergie zu, die Sie tagsüber nutzen und in kinetische Energie des Fahrzeugs umwandeln. Diskutieren Sie, bei welchen Fahrmanövern Probleme durch diese Bauweise auftreten können. Nehmen Sie beispielsweise an, dass das Schwungrad so montiert ist, dass L vertikal nach oben weist, wenn der Wagen auf einer ebenen Strecke fährt. Was passiert, wenn der Wagen über einen Hügel oder durch eine Senke fährt? Nehmen Sie nun an, dass das Schwungrad so montiert ist, dass L auf ebener Strecke nach vorn oder auf eine Seite weist. Was passiert, wenn das Auto eine Links- oder Rechtskurve fahren soll? Berücksichtigen Sie in jedem der Fälle, die Sie untersuchen, die Richtung des Drehmoments, das die Straße auf den Wagen ausübt.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 8.14 •• 

Warum landet eine Toastbrotscheibe, die vom Tisch fällt, immer mit der Marmeladenseite auf dem Teppich? Die Frage klingt albern, ist aber ernsthaft wissenschaftlich untersucht worden. Die Theorie ist zu kompliziert, als dass man sie hier detailliert wiedergeben könnte, aber Ron D. Edge und Darryl Steinert zeigten, dass eine (als quadratisch angenommene) Scheibe Toastbrot, die man vorsichtig über den Rand einer Tischplatte schiebt, bis sie kippt, typischerweise dann herunterfällt, wenn der Winkel gegen die Horizontale größer ist als 30${}^{\circ}$ (Abbildung 8.81). In diesem Moment hat die Scheibe eine Winkelgeschwindigkeit von $\omega=0{,}956\sqrt{g/l}$, wobei l die Kantenlänge der Toastscheibe ist. Die Marmeladenseite ist natürlich oben. Auf welche Seite fällt die Scheibe, wenn der Tisch 0,500 m hoch ist? Wie sieht es bei einem 1,00 m hohen Tisch aus? Setzen Sie für die Kantenlänge $l=\text{10{,}0\,cm}$ an und vernachlässigen Sie alle Effekte durch den Luftwiderstand. (Diese und zahlreiche weitere verblüffende Aufgaben finden sich in dem sehr lesenswerten Buch Why Toast Lands Jelly-Side Down: Zen and the Art of Physics Demonstrations von Robert Ehrlich.)

Abb. 8.81

Zu Aufgabe 8.14.

1.2.2 8.15 •• 

Betrachten Sie das Trägheitsmoment eines durchschnittlichen Erwachsenen bezüglich einer Achse, die vertikal mitten durch seinen Körper verläuft. Unterscheiden Sie die Fälle, dass er die Arme eng an den Körper presst und dass er die Arme seitlich waagerecht ausstreckt. Schätzen Sie das Verhältnis dieser beiden Trägheitsmomente.

1.2.3 8.16 •• 

Die polaren Eiskappen der Erde enthalten etwa $2{,}3\cdot 10^{19}$ kg Eis. Diese Masse trägt kaum zum Trägheitsmoment der Erde bei, weil sie an den Polen, d. h. dicht an der Rotationsachse, konzentriert ist. Schätzen Sie den Einfluss auf die Tageslänge ab, wenn das gesamte Polareis abschmelzen und sich gleichmäßig auf die Erdoberfläche verteilen würde. (Das Trägheitsmoment einer Kugelschale mit der Masse m und dem Radius r ist $2\,m\,r^{2}/3$.)

1.2.4 8.17 •• 

Das Trägheitsmoment der Erde bezüglich ihrer Drehachse beträgt etwa $8{,}03\cdot 10^{37}\text{kg}\cdot\text{m}^{2}$. a) Da die Erde annähernd kugelförmig ist, lässt sich das Trägheitsmoment in der Form $I=C\,m\,r^{2}$ schreiben; dabei ist C eine dimensionslose Konstante, $m=5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}$ ist die Erdmasse, und $r=\text{6370\,km}$ ist der Erdradius. Berechnen Sie C. b) Wäre die Massenverteilung in der Erde gleichförmig, hätte C den Wert 2/5. Vergleichen Sie ihn mit dem in a berechneten Wert. Wo ist die Dichte der Erde größer – nahe beim Erdkern oder eher an der Erdkruste? Erläutern Sie Ihre Argumentation.

1.3 Winkelgeschwindigkeitund Winkelbeschleunigung

1.3.1 8.18 • 

Ein Rad beginnt sich aus dem Stillstand zu drehen, die Winkelbeschleunigung ist $2{,}6\,\text{rad}\cdot\text{s}^{-2}$. Wir warten 6,0 s ab. a) Wie hoch ist dann die Winkelgeschwindigkeit? b) Um welchen Winkel hat sich das Rad gedreht? c) Wie viele Umdrehungen hat es ausgeführt? d) Welche tangentiale Geschwindigkeit und welche lineare Beschleunigung finden wir für einen Punkt in 0,30 m Abstand von der Drehachse?

1.3.2 8.19 • 

Wie hoch ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde in Radiant pro Sekunde bei der Rotation um ihre eigene Achse?

1.4 Berechnung von Trägheitsmomenten

1.4.1 8.20 • 

Ein Tennisball ist 57 g schwer und hat 7,0 cm Durchmesser. Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich des Durchmessers. Fassen Sie den Ball als eine Kugelschale auf.

1.4.2 8.21 • 

Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer massiven Kugel mit der Masse m und dem Radius r bezüglich einer Achse, die tangential zur Kugeloberfläche verläuft (Abbildung 8.82).

Abb. 8.82

Zu Aufgabe 8.21.

1.4.3 8.22 •• 

Zwei Punktmassen m ₁ und m ₂ sind durch einen masselosen Stab der Länge l getrennt. a) Geben Sie einen Ausdruck für das Trägheitsmoment I bezüglich einer Achse an, die senkrecht zu dem Stab im Abstand x von der Masse m ₁ verläuft. b) Berechnen Sie $\,\mathrm{d}I/\,\mathrm{d}x$ und zeigen Sie, dass I minimal ist, wenn die Achse durch den Massenmittelpunkt des Systems verläuft.

1.4.4 8.23 •• 

Eine gleichförmige rechteckige Platte hat die Masse m und die Kantenlängen a und b. a) Zeigen Sie durch Integration, dass bezüglich einer Achse, die senkrecht auf der Platte steht und durch eine der Ecken verläuft, die Platte das Trägheitsmoment $I=\tfrac{1}{3}\,m\,(a^{2}+b^{2})$ hat. b) Geben Sie einen Ausdruck für das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse an, die senkrecht auf der Platte steht und durch den Massenmittelpunkt verläuft.

1.4.5 8.24 •• 

Das Methanmolekül (CH${}_{4}$) besteht aus vier Wasserstoffatomen, die in den Eckpunkten eines regelmäßigen Tetraeders mit der Kantenlänge 0,18 nm angeordnet sind, und einem Kohlenstoffatom im Mittelpunkt des Tetraeders (Abbildung 8.83 ). Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Moleküls bezüglich einer Achse a) durch den Mittelpunkt des Kohlenstoffatoms, b) durch den Mittelpunkt eines der Wasserstoffatome.

Abb. 8.83

Zu Aufgabe 8.24.

1.4.6 8.25 ••• 

Zeigen Sie durch Integration, dass das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale vom Radius r und der Masse m bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt durch $I=2\,m\,r^{2}/3$ gegeben ist.

1.5 Drehmoment

1.5.1 8.27 • 

Ein Unternehmen möchte bestimmen, welches Drehmoment beim Schleifen auf die von ihm produzierte Serie von Schleifsteinen wirkt, um ggf. die Konstruktion zu ändern und energieeffizienter zu machen. Dazu sollen Sie das bestverkaufte Modell untersuchen, das im Wesentlichen aus einem scheibenförmigen Schleifstein von der Masse 1,70 kg mit dem Radius 8,00 cm besteht und das mit einer Nenndrehzahl von $730\,\text{U}\cdot\text{min}^{-1}$ arbeitet. Nachdem der Motor abgeschaltet wird, stoppen Sie die Zeit, bis der Stein zum Stillstand kommt, mit 31,2 s. a) Wie hoch ist die Winkelbeschleunigung des Schleifsteins? b) Welches Drehmoment wird auf den Schleifstein ausgeübt? (Nehmen Sie an, dass die Winkelbeschleunigung konstant ist, und vernachlässigen Sie alle anderen Reibungskräfte.)

1.5.2 8.28 • 

Ein Zylinder mit dem Radius 11 cm und der Masse 2,5 kg ist um die Zylinderachse drehbar gelagert. Anfangs ist der Zylinder in Ruhe. Ein Seil von vernachlässigbarer Masse ist um ihn geschlungen, an ihm wirkt eine Zugkraft von 17 N. Das Seil soll schlupffrei über den Zylinder laufen. Berechnen Sie a) das Drehmoment, das das Seil auf den Zylinder ausübt, b) die Winkelbeschleunigung des Zylinders und c) die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders nach 0,50 s.

1.5.3 8.29 •• 

Ein Fadenpendel der Länge l und der Pendelmasse m schwingt in einer vertikalen Ebene. Wenn der Faden einen Winkel θ mit der Vertikalen bildet, a) wie hoch ist dann die Tangentialkomponente der auf den Pendelkörper wirkenden Beschleunigung? (Verwenden Sie die Gleichung $\sum F_{\mathrm{t}}=m\,a_{\mathrm{t}}$.) b) Welches Drehmoment wird bezüglich der Aufhängung ausgeübt? c) Zeigen Sie, dass die Gleichung $\sum M=I\,\alpha$ mit $a_{\mathrm{t}}=l\,\alpha$ dieselbe Tangentialbeschleunigung ergibt wie in Teil a ermittelt.

1.5.4 8.30 ••• 

Ein gleichförmiger Stab der Länge l und der Masse m ist an einem Ende reibungsfrei drehbar aufgehängt (Abbildung 8.84 ). Er wird von einer horizontalen Kraft in einer Entfernung x unterhalb der Aufhängung angestoßen. a) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts unmittelbar nach dem Stoß gegeben ist durch $v_{0}=3\,x\,F_{0}\,\Updelta t/(2\,m\,l)$ (dabei ist F ₀ die mittlere Kraft und $\Updelta t$ die Dauer der Krafteinwirkung). b) Berechnen Sie die Horizontalkomponente der Kraft, die die Aufhängung auf den Stab ausübt, und zeigen Sie, dass diese Kraft für $x=\tfrac{2}{3}\,l$ null wird. Der Punkt $x=\tfrac{2}{3}\,l$ wird das Schlagzentrum des Systems Stab–Aufhängung genannt. Dieser Punkt spielt eine besondere Rolle bei Ballspielen, die mit einem Schläger gespielt werden (z. B. Tennis oder Baseball): Wenn man den Schläger so führt, dass der Ball genau mit dem Schlagzentrum getroffen wird, erhält der Ball die höchstmögliche Beschleunigung, und der Schläger wird geringstmöglich vibrieren. Außerdem sind Ballaufprallwinkel und -abprallwinkel exakt gleich.

Abb. 8.84

Zu Aufgabe 8.30.

1.6 Kinetische Energie der Rotation

1.6.1 8.31 • 

Eine massive Kugel hat eine Masse von 1,4 kg und einen Durchmesser von 15 cm; sie rotiert um ihre Achse mit $70\,\text{U}\cdot\text{min}^{-1}$. a) Wie hoch ist die kinetische Energie? b) Die Rotationsenergie wird um 5,0 mJ erhöht. Wie hoch ist dann die Winkelgeschwindigkeit der Kugel?

1.6.2 8.32 •• 

Berechnen Sie die kinetische Rotationsenergie der Erde bezüglich ihrer Drehachse und vergleichen Sie diesen Wert mit der kinetischen Energie aufgrund der Bahnbewegung des Massenmittelpunkts der Erde um die Sonne. Betrachten Sie die Erde als eine gleichförmige Kugel mit einer Masse von $6{,}0\cdot 10^{24}$ kg und einem Radius von $6{,}4\cdot 10^{6}$ m. Der Radius der als kreisförmig angenommenen Erdbahn beträgt $1{,}5\cdot 10^{11}$ m.

1.6.3 8.33 •• 

Ein gleichförmiger Ring mit 1,5 m Durchmesser ist so an einem Punkt seines Außendurchmessers aufgehängt, dass er frei um eine horizontale Achse rotieren kann. Anfangs ist die Verbindungslinie zwischen der Aufhängung und dem Mittelpunkt des Rings horizontal (Abbildung 8.85). a) Welche maximale Winkelgeschwindigkeit erreicht der Ring, wenn er aus der Anfangslage losgelassen wird? b) Welche anfängliche Winkelgeschwindigkeit muss der Ring erhalten, damit er einmal um $360^{\circ}$ rotiert?

Abb. 8.85

Zu Aufgabe 8.33.

1.7 Rollen, Fallmaschinen und herabhängende Teile

1.7.1 8.34 •• 

Das System in Abbildung 8.86 wird aus dem Stillstand losgelassen. Der 30-kg-Block hängt 2,0 m über der Platte. Als Rolle dient eine gleichförmige Scheibe mit einem Radius von 10 cm und einer Masse von 5,0 kg. Berechnen Sie, jeweils unmittelbar vor dem Auftreffen: a) die Geschwindigkeit des 30-kg-Blocks, b) die Winkelgeschwindigkeit der Rolle und c) die Zugkräfte in den Seilen. d) Berechnen Sie ferner die Fallzeit des 30-kg-Blocks. Das Seil soll schlupffrei über die Rolle laufen.

Abb. 8.86

Zu Aufgabe 8.34.

1.7.2 8.35 •• 

Abbildung 8.87 zeigt eine Anordnung zur Messung von Trägheitsmomenten. An einem Drehteller ist ein konzentrischer Zylinder mit einem Radius r, um den eine Schnur gewunden ist. Drehteller und Zylinder können sich reibungsfrei um eine vertikale Achse drehen. Die Schnur läuft über eine reibungsfreie und masselose Rolle zu einem Gewicht der Masse m. Das Gewichtsstück wird aus dem Stillstand losgelassen, und man misst die Zeit t ₁, in der es um eine Höhe d fällt. Dann wickelt man die Schnur wieder auf, legt den Körper, dessen Trägheitsmoment I zu messen ist, auf den Drehteller und lässt das Gewichtsstück von Neuem fallen. Mit der Zeit t ₂, die es nun für dieselbe Fallstrecke braucht, lässt sich I berechnen. Mit $r=\text{10\,cm}$, $m=\text{2{,}5\,kg}$ und $d=\text{1{,}8\,m}$ werden die Fallzeiten $t_{1}=\text{4{,}2\,s}$ und $t_{2}=\text{6{,}8\,s}$ gemessen. a) Berechnen Sie das Gesamtträgheitsmoment des Systems aus Drehteller und Zylinder. b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment für das System aus Drehteller, Zylinder und zu vermessendem Körper. c) Berechnen Sie mithilfe der Ergebnisse aus den Teilen a und b das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Achse des Drehtellers.

Abb. 8.87

Zu Aufgabe 8.35.

1.8 Drehimpuls und Drehimpulserhaltung

1.8.1 8.36 • 

Ein Planet läuft auf elliptischer Bahn um die Sonne, die in einem Brennpunkt der Ellipse steht (Abbildung 8.88). a) Welches Drehmoment bezüglich des Mittelpunkts der Sonne übt die Gravitationsanziehung der Sonne auf den Planeten aus? b) In Stellung A ist der Planet r ₁ von der Sonne entfernt und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v ₁ senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen der Sonne und dem Planeten. In Stellung B beträgt die Entfernung r ₂ und die Geschwindigkeit v ₂, auch hier senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen der Sonne und dem Planeten. Geben Sie das Verhältnis $v_{1}/v_{2}$ mithilfe von r ₁ und r ₂ an.

Abb. 8.88

Zu Aufgabe 8.36.

1.8.2 8.37 •• 

a) Ein Teilchen, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hat bezüglich eines bestimmten Punkts keinen Drehimpuls. Zeigen Sie anhand der Definition des Drehimpulses, dass sich das Teilchen dann entweder direkt auf den bestimmten Punkt zu oder direkt von ihm fort bewegt. b) Sie sind Rechtshänder und spielen als Schlagmann beim Baseball. Ein schneller Ball kommt in Hüfthöhe auf Sie zu. Sie lassen den Ball passieren, ohne sich zu bewegen. Welche Richtung hat der Drehimpuls des Balls bezüglich Ihres Bauchnabels? (Nehmen Sie an, dass der Ball sich entlang einer geraden horizontalen Bahn bewegt, wenn er an Ihnen vorbeifliegt.)

1.8.3 8.38 •• 

Eine auf einem Tisch aufrecht stehende Münze mit einer Masse von 15 g und einem Durchmesser von 1,5 cm dreht sich mit $10\,\text{U}\cdot\text{s}^{-1}$ um eine vertikale, fest stehende Achse durch den Mittelpunkt der Münze. Beim Blick von oben auf den Tisch dreht sich die Münze im Uhrzeigersinn. a) Wie groß ist der Drehimpuls der Münze bezüglich ihres Massenmittelpunkts, und welche Richtung hat er? (Das Trägheitsmoment der Münze entnehmen Sie Tabelle 8.1.) Betrachten Sie die Münze dabei als Zylinder mit der Länge l und wählen Sie den Grenzwert für $l\rightarrow 0$. b) Welchen Drehimpuls (Betrag und Richtung) hat die Münze bezüglich eines Punkts auf dem Tisch, der 10 cm von der Drehachse entfernt ist? c) Nun soll sich die Münze mit 5,0 cm/s entlang einer geraden Linie in östlicher Richtung über den Tisch bewegen, während sie sich wie in Teil a um eine vertikale Achse dreht. Welchen Drehimpuls (Betrag und Richtung) hat die Münze dann bezüglich eines Punkts, der auf der Bewegungslinie des Massenmittelpunkts der Münze liegt? d) Welchen Drehimpuls (Betrag und Richtung) hat die sich drehende und gleitende Münze bezüglich eines Punkts, der 10 cm nördlich von der Bewegungslinie des Massenmittelpunkts entfernt liegt?

1.8.4 8.39 •• 

Bei einer Drehbank wird die Kraft über ein exakt ausgewuchtetes zylinderförmiges Schwungrad übertragen, das eine Masse von 90 kg und einen Radius von 0,40 m hat; der (homogene) Zylinder rotiert reibungsfrei um eine raumfeste Achse und wird von einem Riemen angetrieben, der ein konstantes Drehmoment ausübt. Zur Zeit t = 0 ist die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders null, zur Zeit $t=\text{25\,s}$ dreht er sich mit $500\,\text{U}\cdot\text{min}^{-1}$. a) Welchen Betrag hat der Drehimpuls bei $t=\text{25 s}$? b) Mit welcher Rate nimmt der Drehimpuls zu? c) Wie groß ist das Drehmoment, das auf den Zylinder einwirkt? d) Wie groß ist die Reibungskraft, die zwischen dem Treibriemen und dem Mantel des Zylinders wirkt?

1.8.5 8.40 •• 

Ein drehbares Serviertablett besteht aus einem schweren Kunststoffzylinder, der sich reibungsfrei um seine senkrecht stehende Symmetrieachse drehen kann. Der Zylinder hat einen Durchmesser von $r_{0}=\text{15\,cm}$ und eine Masse von $m_{0}=\text{0{,}25\,kg}$. Auf dem Tablett befindet sich 8,0 cm von der Achse entfernt eine Küchenschabe ($m=\text{0{,}015\,kg}$). Sowohl das Tablett als auch die Schabe sind anfangs in Ruhe. Dann beginnt die Schabe auf einem Kreis mit dem Durchmesser 8,0 cm zu laufen; der Mittelpunkt der Kreisbahn liegt auf der Drehachse des Tabletts. Die Geschwindigkeit der Schabe bezüglich des Tabletts ist $v=0{,}010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Wie hoch ist dann die Geschwindigkeit der Schabe bezüglich des Raums?

1.8.6 8.41 •• 

Ein Block der Masse m gleitet reibungsfrei auf einem Tisch; er ist an einer Schnur befestigt, die durch ein kleines Loch in der Tischplatte verläuft. Anfangs bewegt sich der Block mit der Geschwindigkeit v ₀ auf einer Kreisbahn mit dem Radius r ₀. Geben Sie Ausdrücke für a) den Drehimpuls des Blocks, b) die kinetische Energie des Blocks und c) die Zugkraft in der Schnur an. d) Ein Student unter dem Tisch zieht nun die Schnur langsam nach unten. Welche Arbeit muss er verrichten, um den Radius der Kreisbahn von r ₀ auf $r_{0}/2$ zu reduzieren?

1.9 Rollen ohne Schlupf

1.9.1 8.42 •• 

Um einen gleichförmigen Zylinder mit der Masse m und dem Radius r ist eine Schnur gewickelt. Die Schnur wird festgehalten, und der Zylinder fällt senkrecht nach unten, wie in Abbildung 8.89 gezeigt. a) Zeigen Sie, dass die Beschleunigung des Zylinders den Betrag $a=2\,g/3$ hat und nach unten gerichtet ist. b) Geben Sie einen Ausdruck für die Zugkraft in der Schnur an.

Abb. 8.89

Zu Aufgabe 8.42.

1.9.2 8.43 •• 

Ein gleichförmiger Zylindermantel und ein gleichförmiger massiver Zylinder rollen horizontal, ohne zu gleiten. Die Geschwindigkeit des Zylindermantels ist v. Die Zylinder treffen auf eine geneigte Ebene, die sie hinaufrollen, ohne zu gleiten. Beide Zylinder erreichen dieselbe Höhe. Welche Geschwindigkeit $v^{\prime}$ hatte der massive Zylinder?

1.9.3 8.44 ••• 

Abbildung 8.90 zeigt zwei große Zahnräder als Teil einer größeren Maschine. Jedes der Zahnräder ist um eine feste Achse durch seinen Mittelpunkt frei drehbar. Die Radien der Zahnräder sind 0,50 m bzw. 1,0 m, die Trägheitsmomente $1{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m}^{2}$ bzw. $16\,\text{kg}\cdot\text{m}^{2}$. Der an dem kleineren Zahnrad befestigte Hebel ist 1,0 m lang und hat eine vernachlässigbare Masse. a) Ein Arbeiter übt typischerweise eine Kraft von 2,0 N auf das Ende des Hebels aus, wie dargestellt. Wie hoch sind dann die Winkelbeschleunigungen der beiden Zahnräder? b) Ein anderes (in der Abbildung nicht sichtbares) Teil der Maschine übt eine Tangentialkraft auf den Außenrand des größeren Zahnrads aus, um das Getriebe zeitweise am Rotieren zu hindern. Welchen Betrag und welche Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn) sollte die Kraft haben?

Abb. 8.90

Zu Aufgabe 8.44.

1.9.4 8.45 •• 

Eine ruhende Billardkugel mit dem Radius r wird mit einem Queue scharf angestoßen, sodass sie mit Schlupf rollt. Die Kraft wirkt horizontal und wird in einer Höhe von $2\,r/3$ unterhalb der Mittellinie aufgebracht, wie in Abbildung 8.91 gezeigt. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel ist v ₀, der Gleitreibungskoeffizient ist $\mu_{\mathrm{R,g}}$. a) Welche Winkelgeschwindigkeit $\omega_{0}$ hat die Kugel unmittelbar nach dem Stoß? b) Welche Geschwindigkeit hat die Kugel, wenn sie beginnt zu rollen, ohne zu gleiten? c) Welche kinetische Energie hat die Kugel unmittelbar nach dem Stoß?

Abb. 8.91

Zu Aufgabe 8.45.

1.10 Kreisel

1.10.1 8.46 •• 

Ein Speichenrad mit dem Radius 28 cm steckt auf der Mitte einer 50 cm langen Achse. Der Reifen und die Felge wiegen 30 N. Das Rad wird mit $12\,\text{U}\cdot\text{s}^{-1}$ gedreht; die Achse wird dann in waagerechter Lage mit einem Ende in einem Gelenk befestigt. a) Welchen Drehimpuls hat das Rad aufgrund seiner Drehung? (Betrachten Sie das Rad als einen Ring.) b) Welche Winkelgeschwindigkeit hat die Präzessionsbewegung? c) Wie lange dauert es, bis die Achse eine 360${}^{\circ}$-Bewegung um das Gelenk ausgeführt hat? d) Welchen Drehimpuls hat das Rad aufgrund der Bewegung des Massenmittelpunkts, also aufgrund der Präzessionsbewegung? In welche Richtung zeigt dieser Drehimpuls?

1.11 Allgemeine Aufgaben

1.11.1 8.47 • 

Ein gleichförmiger Stab der Länge 2,00 m wird in einem Winkel von $30^{\circ}$ zur Horizontalen über einer Eisfläche gehalten, wobei das untere Ende des Stocks das Eis berührt. Wenn man den Stock loslässt, bleibt das Stockende immer in Kontakt mit dem Eis. Wie weit wird sich der Kontaktpunkt während des Falls bewegen? Nehmen Sie die Eisfläche als reibungsfrei an.

1.11.2 8.48 • 

Der Ortsvektor eines Teilchens mit der Masse 3,0 kg ist $\boldsymbol{r}=\text{(4{,}0 $\boldsymbol{\widehat{x}}$)\,m}+(3{,}0\,t^{2}\,\boldsymbol{\widehat{y}})\,\text{m}\cdot s^{-2}$; dabei ist t in Sekunden anzugeben. Bestimmen Sie den Drehimpuls und das auf das Teilchen wirkende Drehmoment bezüglich des Ursprungs.

1.11.3 8.49 •• 

Ein Geschoss mit der Masse m wird mit der Geschwindigkeit v ₀ unter dem Winkel θ abgefeuert. Betrachten Sie das Drehmoment und den Drehimpuls bezüglich des Startpunkts und zeigen Sie, dass $\,\mathrm{d}\boldsymbol{L}/\,\mathrm{d}t=\boldsymbol{M}$ ist. Vernachlässigen Sie alle Einflüsse des Luftwiderstands.

1.11.4 8.50 •• 

Ein Karussell auf einem Spielplatz besteht aus einer 240 kg schweren Holzscheibe mit 4,00 m Durchmesser. Vier Kinder schieben das anfangs still stehende Karussell tangential entlang des Rands an, bis es sich mit $2{,}14\,\text{U}\cdot\text{min}^{-1}$ um die eigene Achse dreht. a) Jedes Kind übt beim Anschieben eine andauernde Kraft von 26 N aus. Wie weit muss dann jedes Kind rennen? b) Wie hoch ist die Winkelbeschleunigung des Karussells? c) Welche Arbeit verrichtet jedes der Kinder? d) Welche kinetische Energie erhält das Karussell?

1.11.5 8.51 •• 

Eine Kugel von 2,0 kg ist an einer Schnur der Länge 1,5 m befestigt und bewegt sich von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn auf einer horizontalen Kreisbahn. Eine solche Anordnung nennt man konisches Pendel (Abbildung 8.92). Die Schnur bildet mit der Vertikalen einen Winkel $\theta=30^{\circ}$. a) Bestimmen Sie die horizontale und die vertikale Komponente des Drehimpulses L der Kugel bezüglich der Aufhängung im Punkt P. b) Berechnen Sie den Betrag von $\,\mathrm{d}\boldsymbol{L}/\,\mathrm{d}t$ und zeigen Sie, dass er genauso groß ist wie der Betrag des Drehmoments, das durch die Schwerkraft bezüglich des Aufhängungspunkts ausgeübt wird.

Abb. 8.92

Zu Aufgabe 8.51.

1.11.6 8.52 •• 

Abbildung 8.93 zeigt einen Hohlzylinder mit der Masse $m_{\mathrm{H}}$, der Länge $l_{\mathrm{H}}$ und dem Trägheitsmoment $m_{\mathrm{H}}\,l_{\mathrm{H}}^{2}/10$. Im Inneren des Hohlzylinders befinden sich im Abstand l voneinander zwei zylindrische Scheiben jeweils mit der Masse m und dem Radius r; sie sind mit einer dünnen Schnur an einer Halterung in der Mitte der Anordnung befestigt. Das System kann – angetrieben durch einen Motor – um eine vertikale Achse durch den Mittelpunkt des Hohlzylinders rotieren. Sie sollen nun dieses System durch einen elektronischen Schalter ergänzen, der den Motor abschaltet, sobald die Schnur zwischen den Scheiben reißt und die Scheiben das jeweilige Ende des Hohlzylinders erreichen. Bei der Arbeit bemerken Sie, dass bei einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit ω des Systems die Schnur reißt, die Scheiben nach außen geschleudert werden und an den Verschlusskappen des Hohlzylinders haften bleiben. Geben Sie Ausdrücke für die Winkelgeschwindigkeit zum Schluss sowie für die kinetische Anfangs- und die kinetische Endenergie des Systems an. Nehmen Sie dazu an, dass die Innenwände des Hohlzylinders reibungsfrei sind.

Abb. 8.93

Zu Aufgabe 8.52.

1.11.7 8.53 ••• 

Abbildung 8.94 zeigt einen massiven Zylinder mit der Masse m ₁ und dem Radius r ₁, an dem ein zweiter massiver Zylinder mit der Masse m und dem Radius r befestigt ist. Um den kleineren Zylinder ist eine Schnur gewunden. Der größere Zylinder ruht auf einer horizontalen Fläche. Der Haftreibungskoeffizient zwischen dem großen Zylinder und der Fläche ist $\mu_{\mathrm{R,h}}$. Wenn an der Schnur mit geringer Zugkraft nach oben gezogen wird, bewegen sich die Zylinder nach links; wirkt die Kraft in horizontaler Richtung nach rechts, bewegen sich auch die Zylinder nach rechts. Bestimmen Sie den Winkel, den die Schnur mit der Horizontalen bilden muss, damit die Zylinder bei einer geringen Zugkraft in Ruhe bleiben.

Abb. 8.94

Zu Aufgabe 8.53.