Der Impuls

Zusammenfassung

Wenn ein Golfschläger auf den Golfball trifft, steigt die Kraft auf den Ball bis zu einem Maximalwert und wird wieder zu null, sobald der Ball den Schläger verlässt. Um zu beschreiben, wie eine solche zeitabhängige Kraft die Bewegung des Körpers beeinflusst, auf den sie wirkt, müssen wir zwei neue Begriffe einführen: den Kraftstoß und den Impuls eines Körpers. Wie die Energie bleibt auch der Impuls erhalten. Eines der wichtigsten Prinzipien in der Physik ist der Impulserhaltungssatz, nach dem sich der Gesamtimpuls eines Systems und seiner Umgebung nicht ändert. Wo immer sich der Impuls eines Systems ändert, können wir dafür das Auftreten oder das Verschwinden von Impuls an anderer Stelle verantwortlich machen. Damit können wir Stöße zwischen einem Golfschläger und Golfball, zwischen Fahrzeugen oder zwischen den subatomaren Teilchen in einem Kernreaktor untersuchen.

Während des kurzen Moments, in dem der Golfschläger mit dem Ball in Kontakt ist, übt er eine sehr große Kraft auf den Ball aus, aufgrund derer der Ball durch die Luft fliegt. Diese Kraft kann etwa 10 000-mal so groß sein wie die Gewichtskraft des Balls und führt für die Dauer von etwa einer halben Millisekunde zu einer mittleren Beschleunigung von rund 10 000 g. (© Joe McNally/Getty Images.)

?Welche Kraft übt der Schläger auf den Golfball aus, wenn der Golfspieler einen 200-m-Schlag führt? (Siehe Beispiel 6.7.)

Appendices

Im Kontext: Stöße beim Billard

Egal welche der ca. 35 Varianten beim Billard man spielt, stets muss man der weißen Kugel mit seinem Queue einen Kraftstoß der richtigen Stärke und Richtung geben, damit diese Kugel mit einer anderen zusammenstößt, welche ihrerseits danach in die gewünschte Zielrichtung rollt. Beim sehr populären Poolbillard sind beispielsweise alle 16 Kugeln aus Phenolharz, haben einen Durchmesser von 5,72 cm und eine Masse von 170 g.${}^{1}$

Ein Set Billardkugeln. (© beermedia - Fotolia.com.)

Nach dem Eröffnungsstoß, dem sogenannten Break, erfordert es meist viel Geschicklichkeit, die Kugeln, die danach zufällig über dem Tisch verteilt sind, in die Taschen am Rand des Tischs einzulochen. Dazu bedient sich ein Spieler den Gesetzen der Physik.${}^{2}$ Liegen die weiße und die zu spielende Kugel auf einer Geraden, auf der sich auch eine Tasche befindet und gibt es keine weiteren Kugeln in der Nähe dieser Geraden, so kann der Spieler einen geraden zentralen Stoß ausführen, der die weiße Kugel zentral auf die Zielkugel zu spielt. Aufgrund der Impulserhaltung wird sich die getroffene Kugel nach dem Stoß in die Zielrichtung weiterbewegen und, bei genügend hohem Geschwindigkeitsübertrag von der weißen Kugel, auch in die Tasche fallen. Je nach Stärke des auf eine Kugel wirkenden Kraftstoßes rutscht sie zunächst über das Tuch, bevor sie aufgrund der Reibung in eine Rollbewegung übergeht. Die meisten Stöße beim Billard finden jedoch schief und nichtzentral statt, da die weiße und die Zielkugel selten auf einer Geraden direkt vor einer Tasche liegen. Da beide gespielten Kugeln gleich schwer sind und die Zielkugel vor dem Stoß in Ruhe ist, kann man mithilfe der in diesem Kapitel hergeleiteten Formeln für den schiefen, nichtzentralen Stoß die Geschwindigkeiten und die Richtungen der beiden Kugeln nach dem Stoß bestimmen. Es ist im Allgemeinen auch wichtig, die Richtung und Geschwindigkeit der weißen Kugel nach dem Stoß zu bestimmen, da sie nicht in eine Tasche fallen darf.

Spielt man die weiße Kugel mit dem Queue nicht zentral an, so erfolgt bereits dieser Stoß nichtzentral. Solche Stöße bezeichnet man im Fachjargon als Effetstöße. Sie versetzen die Kugel nicht nur in eine Vorwärtsbewegung, sondern gleichzeitig auch in Rotation. Analog zur Impulserhaltung ergibt sich für diesen Fall eine Drehimpulserhaltung, die dafür sorgt, dass ein Teil der Rotationsenergie beim Stoß mit der Zielkugel auf diese abgegeben wird. Hauptsächlich nutzt man Effetstöße, um die weiße Kugel nach dem Stoß gut zu positionieren. Beispielsweise verhindert ein Anspielen unterhalb des Kugeläquators, dass die weiße Kugel sich nach dem Stoß in die gleiche Richtung wie die angespielte Kugel bewegt. Dieser Rückläuferstoß ist nützlich, wenn die Zielkugel sehr nahe an einer Tasche liegt und man verhindern will, dass die weiße Kugel hinter der Zielkugel eingelocht wird. Spielt man die weiße Kugel umgekehrt oberhalb des Äquators an, folgt sie der Zielkugel in die gespielte Richtung. Dieser Stoß wird auch als Nachläufer bezeichnet.

• 1. http://de.wikipedia.org/wiki/Poolbillard

• 2. http://www.paulkowski.homepage.t-online.de/physik1.html

Aufgaben

Bei allen Aufgaben ist die Fallbeschleunigung $\boldsymbol{g=}\text{9{,}81 m/s${}^{\mathbf{2}}$}$ . Falls nichts anderes angegeben ist, sind Reibung und Luftwiderstand zu vernachlässigen.

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 6.1 • 

Zeigen Sie: Wenn zwei Teilchen gleiche kinetische Energien haben, dann sind die Beträge ihrer Impulse nur dann gleich, wenn sie auch dieselbe Masse haben.

1.1.2 6.2 • 

Richtig oder falsch? a) Der Gesamtimpuls eines Systems kann auch dann erhalten bleiben, wenn die Energie des Systems nicht erhalten bleibt. b) Damit der Gesamtimpuls eines Systems erhalten bleibt, dürfen keine äußeren Kräfte auf das System wirken.

1.1.3 6.3 • 

Ein Kind springt von einem kleinen Boot an Land. Warum muss es mit mehr Energie springen, als es bräuchte, wenn es dieselbe Strecke von einem Felsen auf einen Baumstumpf springen würde?

1.1.4 6.4 • 

Zwei identische Kegelkugeln bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit, aber die eine gleitet, ohne zu rollen, die andere rollt die Bahn entlang. Welche der Kugeln hat mehr kinetische Energie? Welche der Kugeln hat einen höheren Impuls? Wegen des Zusammenhangs zwischen kinetischer Energie und Impuls eines Teilchens ($E_{\mathrm{kin}}=p^{2}/(2m)$) mag es aussehen, als sei Ihre Antwort falsch. Erläutern Sie, warum Ihre Antwort trotzdem richtig ist.

1.1.5 6.5 • 

Richtig oder falsch? a) Nach einem vollständig inelastischen Stoß ist die kinetische Energie des Systems in allen Inertialsystemen null. b) Bei einem zentralen elastischen Stoß entfernen sich die Stoßpartner genauso schnell voneinander, wie sie sich einander angenähert haben.

1.1.6 6.6 •• 

Ein Großteil der frühen Raketenforschung geht auf Robert H. Goddard (1882–1945) zurück, der als Physikprofessor am Clark College in Massachusetts arbeitete. Ein Leitartikel der New York Times aus dem Jahr 1920 belegt, was die Öffentlichkeit von seinen Arbeiten hielt: „Zu sagen, dass Professor Goddard, sein ‚Lehrstuhl‘ am Clark College und seine Genossen an der Smithsonian Institution den Zusammenhang zwischen Aktion und Reaktion nicht kennen, nach dem eine Rakete etwas mehr als nur das Vakuum braucht, um sich daran abzustoßen – das alles zu sagen, wäre absurd. Offenbar fehlt es ihm einfach an dem Wissen, das schon an unseren Highschools gelehrt wird.“ Die Ansicht, dass eine Rakete sich an einem Medium abstoßen muss, war damals ein weit verbreiteter Irrglaube. Erläutern Sie, warum die Ansicht falsch ist. (Übrigens brauchte die New York Times ein halbes Jahrhundert, um sich zu entschuldigen: Erst am 17. Juli 1969, drei Tage vor der ersten Mondlandung, berichtigte die Zeitung den Fehler.)

1.1.7 6.7 •• 

Betrachten Sie einen vollständig inelastischen Stoß zwischen zwei Körpern gleicher Masse. a) Wann ist der Verlust an kinetischer Energie größer: wenn die zwei Körper sich mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten von jeweils $v/2$ einander nähern oder wenn einer der beiden Körper in Ruhe ist und der andere die Geschwindigkeit v hat? b) In welcher der beiden Situationen ist der prozentuale Verlust an kinetischer Energie am größten?

1.1.8 6.8 •• 

Ein Teilchen der Masse m ₁ mit der Geschwindigkeit v stößt elastisch zentral mit einem ruhenden Teilchen der Masse m ₂ zusammen. In welchem Fall wird am meisten Energie auf m ₂ übertragen? a) $m_{2}<m_{1}$, b) $m_{2}=m_{1}$, c) $m_{2}> m_{1}$, d) in keinem der angegebenen Fälle.

1.1.9 6.9 •• 

Die Düse an einem Gartenschlauch ist oft rechtwinklig geformt (Abbildung 6.28). Wenn Sie eine solche Düse anschließen und den Hahn öffnen, werden Sie feststellen, dass die Düse ziemlich stark gegen Ihre Hand drückt – jedenfalls viel stärker, als wenn Sie eine nicht gebogene Düse verwenden. Warum ist das so?

Abb. 6.28

Zu Aufgabe 6.9.

1.1.10 6.10 •• 

Dass selbst wirklich gut ausgebildete und intelligente Personen Fehler machen können, zeigt die folgende Aufgabe, die einem Einführungskurs am Caltech gestellt wurde: „Ein Segelboot treibt bei einer Flaute auf dem Wasser. Um das Boot zu bewegen, baut ein physikalisch unbedarfter Matrose im Heck des Schiffs einen Ventilator auf, der die Segel anblasen und so das Boot bewegen soll. Erläutern Sie, warum das Boot sich nicht bewegt.“ Die Vorstellung war, dass die resultierende Kraft des Windes, der das Segel nach vorn treibt, durch die Kraft ausgeglichen wird, die den Ventilator nach hinten treibt (drittes Newton’sches Axiom). Wie ein Student dem Prüfer nachwies, konnte das Boot sich aber doch vorwärtsbewegen. Wie das?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

1.2.1 6.11 •• 

Ein Auto von 2000 kg rast mit 90 km/h gegen eine unnachgiebige Betonwand. a) Schätzen Sie die Stoßzeit. Nehmen Sie an, dass die vordere Hälfte des Wagens auf die Hälfte zusammengeknautscht wird, wobei der Mittelpunkt des Wagens eine konstante Verzögerung erfährt. (Rechnen Sie mit vernünftigen Werten für die Wagenlänge.) b) Schätzen Sie die mittlere Kraft, die von der Betonwand auf das Auto ausgeübt wird.

1.3 Impulserhaltung

1.3.1 6.12 • 

Abbildung 6.29 zeigt das Verhalten eines Geschosses unmittelbar nach dem Zerbrechen in drei Stücke. Wie schnell war das Geschoss in dem Moment, bevor es zerbrochen ist? a) v ₃, b) $v_{3}/3$, c) $v_{3}/4$, d) v ₃, e) $(v_{1}+v_{2}+v_{3})/4$.

Abb. 6.29

Zu Aufgabe 6.12.

1.3.2 6.13 ••• 

Ein Keil der Masse $m_{\mathrm{K}}$ liegt auf einer horizontalen, reibungsfreien Oberfläche. Auf die ebenfalls reibungsfreie geneigte Ebene des Keils wird ein kleiner Block der Masse m gelegt (Abbildung 6.30). Während der Block aus seiner Ausgangslage bis zur horizontalen Ebene hinabgleitet, bewegt sich der Massenmittelpunkt des Blocks um die Strecke h nach unten. a) Welche Geschwindigkeiten haben der Block und der Keil, sobald sich die beiden nicht mehr berühren? b) Überprüfen Sie die Plausibilität Ihrer Rechnung anhand des Grenzfalls $m_{\mathrm{K}}\gg m$.

Abb. 6.30

Zu Aufgabe 6.13.

1.4 Kraftstoß und zeitliches Mittel einer Kraft

1.4.1 6.14 • 

Sie treten einen Fußball der Masse 0,43 kg. Der Ball verlässt Ihren Fuß mit einer Geschwindigkeit von 25 m/s. a) Welchen Betrag hat der Kraftstoß, den Sie auf den Ball übertragen haben? b) Nehmen Sie an, Ihr Fuß ist für 8 ms mit dem Ball in Kontakt. Wie groß ist dann der mittlere Kraftstoß, den Ihr Fuß auf den Ball ausübt?

1.4.2 6.15 •• 

Ein Handball von 60 g, der sich mit 5,0 m/s bewegt, trifft in einem Winkel von 40${}^{\circ}$ gegen die Normale auf eine Wand und prallt von ihr in gleichem Winkel wieder ab. Er ist für 2 ms mit der Wand in Kontakt. Welche mittlere Kraft übt der Ball auf die Wand aus?

1.4.3 6.16 •• 

Das Polster, auf dem ein Stabhochspringer nach seinem Sprung landet, ist im Wesentlichen ein Luftkissen mit einer „Ruhehöhe“ von 1,2 m, das auf etwa 0,20 m gepresst wird, wenn der Springer darauf zur Ruhe kommt. a) In welchem Zeitraum wird ein Springer, der gerade die Latte bei 6,40 m überwunden hat, bis zum Stillstand gestoppt? b) Wie groß wäre der Zeitraum, wenn man nicht ein Luftkissen verwenden würde, sondern eine 20 cm dicke Schicht von Sägespänen, die sich beim Aufprall auf 5,0 cm komprimiert? c) Diskutieren Sie qualitativ, wie sich die mittleren Kräfte auf den Springer bei diesen beiden Landungsmatten unterscheiden. Mit anderen Worten: Welche der Matten übt die geringere Kraft auf den Springer aus, und warum?

1.4.4 6.17 ••• 

Große Kalksteinhöhlen wurden durch heruntertropfendes Wasser gebildet. a) Nehmen Sie an, pro Minute fallen zehn Wassertropfen von je 0,030 ml aus einer Höhe von 5,0 m zu Boden. Wie hoch ist die mittlere Kraft, die während 1,0 min von den Wassertröpfchen auf den Kalksteinboden ausgeübt wird? (Nehmen Sie dabei an, dass sich auf dem Boden keine Pfütze bildet.) b) Vergleichen Sie diese Kraft mit der Gewichtskraft eines Tropfens.

1.5 Stöße in einer Raumrichtung

1.5.1 6.18 • 

Ein Auto von 2000 kg fährt nach rechts und verfolgt mit 30 m/s ein zweites Auto derselben Masse, das mit 10 m/s in dieselbe Richtung fährt. a) Die beiden Autos stoßen zusammen und bleiben aneinander haften. Wie hoch ist ihre Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß? b) Welcher Anteil der kinetischen Energie geht bei diesem Stoß verloren? Wohin geht er?

1.5.2 6.19 • 

Ein 5,0 kg schwerer Körper stößt mit 4,0 m/s frontal auf einen 10 kg schweren zweiten Körper, der ihm mit 3,0 m/s entgegenkommt. Der schwerere Körper kommt durch den Stoß zum Stillstand. a) Wie hoch ist die Geschwindigkeit des 5,0 kg schweren Körpers nach dem Stoß? b) Ist der Stoß elastisch?

1.5.3 6.20 •• 

In einem elastischen zentralen Stoß trifft ein Proton der Masse m zentral auf einen ruhenden Kohlenstoffkern der Masse 12 m. Die Geschwindigkeit des Protons ist 300 m/s. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten des Protons und des Kohlenstoffkerns nach dem Stoß.

1.5.4 6.21 •• 

Ein Proton der Masse m bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit v ₀ auf ein ruhendes Alphateilchen der Masse $4\,m$ zu. Da beide Teilchen positive Ladung tragen, stoßen sie einander ab. (Die abstoßenden Kräfte sind so groß, dass die beiden Teilchen nicht in direkten Kontakt treten.) Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v_{\alpha}$ des Alphateilchens, a) wenn die Entfernung zwischen den beiden Teilchen minimal ist, und b) für einen späteren Zeitpunkt, wenn die beiden Teilchen weit entfernt voneinander sind.

1.5.5 6.22 •• 

Eine Kugel von 16 g wird auf den Pendelkörper eines ballistischen Pendels mit einer Masse von 1,5 kg gefeuert (siehe Abbildung 6.17). Wenn der Pendelkörper seine maximale Höhe erreicht hat, bilden die Schnüre einen Winkel von 60${}^{\circ}$ mit der Vertikalen. Die Schnüre sind 2,3 m lang. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel vor dem Einschlag.

1.5.6 6.23 •• 

Bei einem eindimensionalen elastischen Stoß sind die Masse und die Geschwindigkeit des ersten Körpers durch m ₁ und $v_{1,\mathrm{A}}$ gegeben, die des zweiten Körpers durch m ₂ und $v_{2,\mathrm{A}}$. Zeigen Sie, dass dann für die Endgeschwindigkeiten $v_{1,\mathrm{E}}$ und $v_{2,\mathrm{E}}$ gilt:

$$\begin{aligned}v_{1,\mathrm{E}}&=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}+\frac{2\,m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2,\mathrm{A}}\\ v_{2,\mathrm{E}}&=\frac{2\,m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1,\mathrm{A}}+\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{2,\mathrm{A}}\,.\end{aligned}$$

und

1.5.7 6.24 •• 

Eine Kugel der Masse m ₁ trifft horizontal mit der Geschwindigkeit v ₀ auf den Pendelkörper eines ballistischen Pendels der Masse m ₂. Der Pendelkörper ist an einem Ende einer sehr leichten Stange der Länge l befestigt, die am anderen Ende um eine horizontale Achse frei drehbar aufgehängt ist. Die Kugel bleibt in dem Pendelkörper stecken. Welchen Wert muss die Geschwindigkeit v ₀ der Kugel mindestens haben, damit der Pendelkörper eine komplette Umdrehung ausführt?

1.5.8 6.25 •• 

Das Berylliumisotop ${}^{8}$Be ist instabil und zerfällt in zwei Alphateilchen der Masse $m_{\alpha}=6{,}64\cdot 10^{-27}$ kg, wobei eine Energie von $1{,}5\cdot 10^{-14}$ J frei wird. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der beiden Alphateilchen, die aus dem Zerfall des anfangs ruhenden Berylliumkerns hervorgehen; nehmen Sie an, dass sämtliche Energie als kinetische Energie der Teilchen frei wird.

1.6 *Stöße in mehr als einer Raumrichtung

1.6.1 6.26 •• 

In Abschnitt 6.5 wurde auf geometrische Weise bewiesen, dass die Geschwindigkeitsvektoren zweier Teilchen gleicher Masse, von denen eines anfangs in Ruhe ist, nach einem elastischen Stoß im rechten Winkel zueinander stehen. In dieser Aufgabe sollen Sie diese Aussage auf einem anderen Weg beweisen, bei dem der Nutzen der Vektorschreibweise deutlich wird. a) Gegeben sind drei Vektoren A, B, C, für die gilt: $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}$ (A, B und C sind die Beträge der Vektoren). Quadrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung (d. h. bilden Sie das Skalarprodukt jeder Seite mit sich selbst) und zeigen Sie, dass $A^{2}=B^{2}+C^{2}+2\,\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}$. b) Der Impuls des sich anfänglich bewegenden Teilchens ist p, die Impulse der Teilchen nach dem Stoß sind $\boldsymbol{p}_{1}$ und $\boldsymbol{p}_{2}$. Schreiben Sie die Vektorgleichung für die Impulserhaltung auf und quadrieren Sie beide Seiten (d. h. bilden Sie das Skalarprodukt jeder Seite mit sich selbst). Vergleichen Sie diesen Ausdruck mit der Gleichung, die Sie aus der Bedingung für den elastischen Stoß erhalten (die kinetische Energie bleibt erhalten), und zeigen Sie, dass aus diesen beiden Gleichungen $\boldsymbol{p}_{1}\cdot\boldsymbol{p}_{2}=0$ folgt.

1.6.2 6.27 •• 

Bei einer Billardpartie stößt der Spielball mit 5,0 m/s elastisch auf eine ruhende andere Kugel. Nach dem Stoß bewegt sich die andere Kugel nach rechts in einem Winkel von 30${}^{\circ}$ von der ursprünglichen Richtung des Spielballs fort. Beide Kugeln sollen dieselbe Masse haben. a) Geben Sie die Bewegungsrichtung des Spielballs unmittelbar nach dem Stoß an. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln unmittelbar nach dem Stoß.

1.6.3 6.28 •• 

Ein Puck der Masse 5,0 kg und der Geschwindigkeit 2,0 m/s stößt auf einen identischen Puck, der auf einer reibungsfreien Eisfläche liegt. Nach dem Stoß entfernt sich der erste Puck mit der Geschwindigkeit v ₁ im Winkel von 30${}^{\circ}$ zu seiner ursprünglichen Richtung; der zweite Puck entfernt sich mit v ₂ im Winkel von 60${}^{\circ}$ (Abbildung 6.31). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v ₁ und v ₂. b) War der Stoß elastisch?

Abb. 6.31

Zu Aufgabe 6.28.

1.6.4 6.29 •• 

Ein Teilchen hat eine Anfangsgeschwindigkeit v ₀. Es stößt mit einem ruhenden Teilchen derselben Masse zusammen und wird um einen Winkel ϕ abgelenkt. Seine Geschwindigkeit nach dem Stoß ist v. Das zweite Teilchen erlebt einen Rückstoß, und seine Richtung bildet einen Winkel θ mit der ursprünglichen Richtung des ersten Teilchens. a) Zeigen Sie, dass $\mathrm{tan\> }\,\theta=({v\,\mathrm{sin\> }\phi})/({v_{0}-v\,\mathrm{cos\> }\phi)}$ gilt. b) Zeigen Sie, dass für den Fall eines elastischen Stoßes $v=v_{0}\,\mathrm{cos\> }\phi$ gilt.

1.6.5 6.30 ••• 

Das Borisotop ${}^{9}$B ist instabil und zerfällt in ein Proton und zwei Alphateilchen. Dabei werden $4{,}4\cdot 10^{-14}$ J als kinetische Energie der Zerfallsprodukte frei. Bei einem solchen Zerfall wird die Geschwindigkeit des Protons mit $6{,}0\cdot 10^{6}$ m/s gemessen, wenn der Borkern anfangs in Ruhe ist. Nehmen Sie an, dass beide Alphateilchen gleiche Energien haben. Berechnen Sie, wie schnell und in welche Richtungen bezüglich der Richtung des Protons sich die beiden Alphateilchen bewegen.

1.7 Elastizitätszahl

1.7.1 6.31 • 

Sie haben die Aufgabe, die Elastizitätszahl einer neuen Stahllegierung zu messen. Sie überzeugen Ihre Kollegen, den Wert einfach dadurch zu bestimmen, dass sie aus der Legierung eine Kugel und eine Platte fertigen und die Kugel einfach auf die Platte fallen lassen. Die Kugel fällt aus 3,0 m Höhe und springt bis in eine Höhe von 2,5 m zurück. Wie hoch ist dann die Elastizitätszahl?

1.7.2 6.32 •• 

Ein Block von 2,0 kg bewegt sich mit 5,0 m/s nach rechts und stößt mit einem Block von 3,0 kg zusammen, der sich mit 2,0 m/s in derselben Richtung bewegt. Nach dem Stoß bewegt sich der schwerere Block mit 4,2 m/s nach rechts. Berechnen Sie a) die Geschwindigkeit des leichteren Blocks nach dem Stoß und b) die Elastizitätszahl zwischen den beiden Blöcken.

1.8 Allgemeine Aufgaben

1.8.1 6.33 • 

Ein Auto von 1500 kg fährt mit 70 km/h nach Norden. An einer Kreuzung stößt es mit einem Auto von 2000 kg zusammen, das mit 55 km/h nach Westen fährt. Die beiden Autos verkeilen sich ineinander und bleiben aneinander haften. a) Wie groß ist der Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß? b) Berechnen Sie Betrag und Richtung der Geschwindigkeit der beiden verkeilten Wracks unmittelbar nach dem Stoß.

1.8.2 6.34 •• 

Eine Frau von 60 kg steht auf einem 6,0 m langen Floß von 120 kg auf einem stehenden Gewässer. Das Floß kann sich reibungsfrei auf der ruhigen Wasseroberfläche bewegen, jetzt aber ruht es in 0,50 m Entfernung von einem festen Pier (Abbildung 6.32). a) Die Frau geht zum Ende des Floßes und hält an. Wie weit ist sie jetzt von dem Pier entfernt? b) Während die Frau läuft, hat sie eine konstante Geschwindigkeit von 3,0 m/s relativ zum Floß. Berechnen Sie die kinetische Gesamtenergie des Systems (Frau + Floß) und vergleichen Sie diesen Wert mit der kinetischen Energie, die sich ergibt, wenn die Frau mit 3,0 m/s auf einem am Pier vertäuten Floß laufen würde. c) Woher kommt die Energie und wohin geht sie, wenn die Frau am Ende des Floßes stoppt? d) An Land kann die Frau einen Beutel mit Bleischrot 6,0 m weit werfen. Sie steht jetzt am hinteren Ende des Floßes, zielt über das Floß und wirft den Schrot so, dass er ihre Hand mit derselben Geschwindigkeit verlässt wie bei einem Wurf an Land. Geben Sie näherungsweise an, wo der Schrot landet.

Abb. 6.32

Zu Aufgabe 6.34.

1.8.3 6.35 ••• 

Bei der sogenannten Swing-by-Technik wird die Energieübertragung bei einem elastischen Stoß ausgenützt, um die Energie einer Raumsonde so stark zu erhöhen, dass sie das Sonnensystem verlassen kann. Alle Geschwindigkeiten sind in einem Inertialsystem angegeben, bei dem der Sonnenmittelpunkt in Ruhe ist. Abbildung 6.33 zeigt eine Raumsonde, die sich mit 10,4 km/s dem Planeten Saturn nähert, der ihr mit näherungsweise 9,6 km/s entgegenkommt. Wegen der Anziehungskraft zwischen Saturn und der Sonde schwingt die Sonde um den Planeten herum und rast mit einer Geschwindigkeit $v_{\mathrm{E}}$ in etwa entgegengesetzter Richtung weiter. a) Fassen Sie diesen Vorgang als elastischen Stoß in einer Dimension auf, wobei die Saturnmasse sehr viel größer ist als die Masse der Raumsonde. Berechnen Sie $v_{\mathrm{E}}$. b) Um welchen Faktor nimmt die kinetische Energie der Raumsonde zu? Wo kommt die Energie her?

Abb. 6.33

Zu Aufgabe 6.35.

1.8.4 6.36 ••• 

Ein Neutron der Masse $m_{\text{n}}$ stößt zentral elastisch mit einem ruhenden Atomkern der Masse $m_{\text{K}}$ zusammen. a) Zeigen Sie, dass für die kinetische Energie des Kerns $E_{\mathrm{kin,K}}=(4\,m_{\text{n}}\,m_{\text{K}}/(m_{\text{n}}+m_{\text{K}})^{2})\,E_{\mathrm{kin,n}}$ gilt, wobei $E_{\mathrm{kin,n}}$ die kinetische Anfangsenergie des Neutrons angibt. b) Zeigen Sie, dass für den anteiligen Energieverlust des Neutrons bei diesem Stoß gilt:

$$\frac{-\Updelta E_{\mathrm{kin,n}}}{E_{\mathrm{kin,n}}}=\frac{4\,(m_{\text{n}}/m_{\text{K}})}{(1+[m_{\text{n}}/m_{\text{K}}])^{2}}\,.$$

c) Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck sowohl für $m_{\mathrm{n}}\ll m_{\mathrm{K}}$ als auch für $m_{\mathrm{n}}=m_{\mathrm{K}}$ plausible Ergebnisse liefert. Welche Art von ruhenden Kernen sollte man verwenden, wenn es das Ziel ist, dass die Neutronen bei dem Stoß möglichst viel ihrer kinetischen Energie verlieren?

1.8.5 6.37 ••• 

Die Masse eines Kohlenstoffkerns ist etwa zwölfmal so groß wie die eines Neutrons. a) Zeigen Sie mithilfe des Ergebnisses aus der vorangegangenen Aufgabe, dass die kinetische Energie eines Neutrons nach n zentralen Stößen mit einem ruhenden Kohlenstoffkern nur noch etwa $0{,}716^{\,n}$ seiner anfänglichen kinetischen Energie $E_{\mathrm{kin,0}}$ beträgt. b) Die Neutronen, die bei der Spaltung eines Urankerns frei werden, haben eine kinetische Energie von etwa 2,0 MeV. Damit ein solches Neutron in einem Reaktor einen weiteren Urankern spalten kann, muss seine kinetische Energie auf etwa 0,020 eV verringert werden. Wie viele zentrale Stöße mit ruhenden Kohlenstoffkernen braucht man für diesen Energieverlust?