Weitere Anwendungen der Newton’schen Axiome

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir die in Kapitel 3 eingeführten Newton’schen Axiome auch auf Reibungskräfte und Planetenbewegungen anwenden. Es war ein großes Verdienst von Newton zu erkennen, dass die Gleichungen, die Bewegungen von Gegenständen auf der Erde beschreiben, auch für die Beschreibung der Planetenbewegungen und Vorgänge im Weltall allgemein gültig sein müssen. Außerdem werden wir uns mit sogenannten Scheinkräften befassen, die auftreten, wenn man die Bewegung eines Objekts in einem Inertialsystem von einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem aus betrachtet.

Die Haftreibung, die die Straße auf die Räder ausübt, verhindert, dass das Auto in der Kurve radial nach außen wegrutscht. (© DaimlerChrysler AG.)

? Wie funktioniert das Antiblockiersystem (ABS)? (Siehe Beispiel 4.6.)

Appendices

Im Kontext: Bremsenquietschen und Erdbeben – Probleme von Reibungsinstabilitäten

Reibung ist ein Phänomen, das uns überall begegnet: egal ob wir „zu wenig“ Reibung haben, wenn die Autoreifen durchdrehen oder „zu viel“ Reibung, wenn wir eine Schraube nicht gelöst bekommen. Auch im industriellen Bereich gibt es unzählige Problemfelder, bei denen Reibungs- und Kontaktkräfte eine zentrale Rolle spielen: Lagerreibung, Schmierung, Verschleiß, Traktion und elektrische Schalter sind dabei einige Beispiele${}^{1}$. Typische Arbeitsfelder sind hier die Untersuchung von Gummireibeigenschaften für Reifenhersteller, der Kontakt zwischen Eisenbahnrad und Schiene oder Schmier- und Verschleißanalysen von Getrieben.

Reibungsphysik hat noch einiges mehr zu bieten als das Coulomb’sche Reibungsgesetz, das besagt, dass die Reibungskraft sich immer proportional zur Normalkraft verhält, so z. B. Reibungsinstabilitäten wie das plötzliche Losbrechen bestehender Reibungsverbindungen.

Diese Instabilitäten haben ihren Ursprung in der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibungskraft: In Ruhe ist die Reibungskraft in der Regel größer als bei einer Relativbewegung der Kontaktkörper.

Messung des Reibungskoeffizienten zwischen Gesteinen bei verschiedenen Relativgeschwindigkeiten sowie Fit mithilfe eines geschwindigkeitsabhängigen Reibungsgesetzes. (© Birthe Grzemba)

Dadurch kann sich eine zyklische Bewegung einstellen, die Schwingungen am Bauteil oder in der Maschine auslöst. Genau das kann bei Bremsprozessen passieren, bei denen durch Reibungsinstabilitäten die Bremsscheiben zum Schwingen angeregt werden, was sich auch akustisch äußert: Die Bremsen quietschen. Wir am deutschlandweit einzigen Lehrstuhl für Reibungsprozesse an der TU Berlin arbeiten an einem Projekt, in dem durch eine Anregung des Bremskontakts mit Ultraschallschwingungen die Instabilität und damit das Quietschen verhindert werden sollen${}^{2}$.

Solche Phänomene treten auch bei viel größeren Systemen auf: Erdbeben sind Ereignisse, die sehr plötzlich nach einer langen Ruhephase vermeintlich unvermittelt auftreten. Sie werden ausgelöst durch mechanische Spannungen, die sich zwischen den tektonischen Platten aufbauen und sich plötzlich und ruckartig durch Abgleiten lösen. Aus der Sicht eines Reibungsphysikers ist dieser Prozess eine Reibungsinstabilität, ein sogenannter Stick-Slip-Prozess, da er aus periodisch wechselnden Haft- und Gleitphasen besteht.

Um in Zukunft bessere Frühwarnsysteme für Erdbeben zu ermöglichen, forschen wir auch an der Vorhersagbarkeit von Reibungsinstabilitäten. Wir nutzen elementare Labormodelle, die sich sehr regulär verhalten und genau vermessen lassen, um daraus Methoden zu entwickeln, die den Zeitpunkt des Losbrechens der Instabilität vorhersagen können. Dabei interessiert uns im Besonderen der langsame Kriechprozess, der der Reibungsinstabilität vorausgeht und als Vorbote verwendet werden kann${}^{3}$. Wir hoffen, dass daraus in der Zukunft Methoden entwickelt werden können, die auch für die Anwendung auf größere, natürliche Systeme, wie Erdbeben oder Erdrutsche geeignet sind.

• 1. Popov, V. L., Kontaktmechanik und Reibung – von der Nanotribologie bis zur Erdbebendynamik, Springer, Heidelberg/New York, 2011

• 2. Teidelt, E., Starcevic J., Popov, V. L., „Influence of Ultrasonic Oscillation on Static and Sliding Friction“, Tribology Letters 48, Issue 1, October 2012, 51–62

• 3. Popov, V. L., Grzemba, B., Starcevic, J., Popov, M., „Rate and state dependent friction laws and the prediction of earthquakes: What can we learn from laboratory models?“, Tectonophysics, 2012, 532–535, 291–300.

Dipl.-Ing. Birthe Grzemba studierte Physikalische Ingenieurwissenschaften in Berlin und Stockholm. 2009 schloss sie das Diplomstudium mit Auszeichnung ab und arbeitet seitdem am Fachgebiet für Systemdynamik und Reibungsphysik an der TU Berlin. Ihr Forschungsschwerpunkt sind Reibungsinstabilitäten und ihre Vorhersagbarkeit.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 4.1 • 

Auf der Ladefläche eines LKW, der auf einer geraden, horizontalen Straße fährt, liegen verschiedene Gegenstände. Der LKW beschleunigt allmählich. Welche Kraft wirkt auf die Körper und führt dazu, dass sie ebenfalls beschleunigt werden? Erläutern Sie, weshalb einige Gegenstände auf dem Boden liegen bleiben könnten, während andere nach hinten rutschen.

1.1.2 4.2 • 

Ein Block mit der Masse m liegt auf einer unter einem Winkel θ zur Horizontalen geneigten Ebene. Welche Aussagen gelten dann für den Haftreibungskoeffizienten zwischen Block und Ebene? a) $\mu_{\mathrm{R,h}}\geq g$, b) $\mu_{\mathrm{R,h}}=\mathrm{tan\> }\theta$, c) $\mu_{\mathrm{R,h}}\leq\mathrm{tan\> }\theta$ oder d) $\mu_{\mathrm{R,h}}\geq\mathrm{tan\> }\theta$.

1.1.3 4. 3 • 

Richtig oder falsch? a) Damit das zweite Kepler’sche Gesetz (in gleichen Zeiten werden gleiche Flächen überstrichen) gilt, muss die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen einem gegebenen Planeten und der Sonne sein. b) Der am dichtesten an der Sonne gelegene Planet hat die kürzeste Umlaufdauer. c) Die Bahngeschwindigkeit der Venus ist größer als die Bahngeschwindigkeit der Erde. d) Aus der Umlaufzeit eines Planeten lässt sich die Planetenmasse genau bestimmen.

1.1.4 4.4 • 

Die Masse eines die Erde umkreisenden Satelliten wird verdoppelt, der Radius seiner Umlaufbahn soll jedoch gleich bleiben. Dazu muss sich die Geschwindigkeit des Satelliten a) um den Faktor 8 erhöhen, b) um den Faktor 2 erhöhen, c) nicht verändern, d) um den Faktor 8 verringern, e) um den Faktor 2 verringern.

1.1.5 4.5 • 

Zwei Sterne, die ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt umkreisen, werden als Doppelsternsystem bezeichnet. Was müsste mit ihrem Abstand geschehen, wenn die Masse jedes der beiden Planeten verdoppelt würde, aber dieselbe Gravitationskraft herrschen soll? Ihr Abstand müsste a) gleich bleiben, b) sich verdoppeln, c) sich vervierfachen, d) sich halbieren, e) mit den Angaben ist eine Antwort nicht möglich.

1.1.6 4.6 •• 

An einem Wintertag mit Glatteis ist der Haftreibungskoeffizient zwischen den Autoreifen und der Fahrbahn nur ein Viertel so groß wie an einem Tag, an dem die Fahrbahn trocken ist. Dadurch verringert sich die Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm{max,tr}}$, mit der ein Auto sicher durch eine Kurve mit dem Radius r fahren kann gegenüber dem Wert von $v_{\mathrm{max,tr}}$ bei trockener Fahrbahn. Die Maximalgeschwindigkeit $v_{\mathrm{max}}$ ist dann: a) $v_{\mathrm{max,tr}}$, b) $0{,}71v_{\mathrm{max,tr}}$, c) $0{,}50v_{\mathrm{max,tr}}$, d) $0{,}25v_{\mathrm{max,tr}}$, e) je nach der Masse des Autos unterschiedlich stark verringert?

1.1.7 4.7 •• 

Das folgende interessante Experiment können Sie auch zu Hause ausführen: Nehmen Sie einen Holzklotz und legen Sie ihn auf den Boden oder auf eine andere ebene Fläche. Befestigen Sie ein Gummiband an dem Klotz und ziehen Sie in horizontaler Richtung behutsam an dem Band. Bewegen Sie die Hand dabei mit konstanter Geschwindigkeit. Zu einem bestimmten Zeitpunkt beginnt sich der Klotz zu bewegen. Allerdings bewegt er sich nicht gleichmäßig, sondern beginnt sich zu bewegen, hält wieder an, beginnt sich erneut zu bewegen, hält wieder an usw. Erläutern Sie, weshalb sich der Klotz auf diese Weise bewegt. (Gelegentlich wird diese Art der Bewegung „Ruckgleiten “ genannt.)

1.1.8 4.8 •• 

Jemand möchte einen Rekord für die Endgeschwindigkeit beim Fallschirmspringen aufstellen. Bei der Planung des Vorhabens informiert er sich zunächst über die physikalischen Grundlagen. Danach beschließt er Folgendes: Er will (ausgerüstet mit einem Sauerstoffgerät) an einem warmen Tag aus so großer Höhe wie möglich abspringen. Dabei will er eine Stellung einnehmen, in der sein Körper mit den Händen voran senkrecht nach unten zeigt. Außerdem will er einen glatten Spezialhelm und einen abgerundeten Schutzanzug tragen. Erläutern Sie, inwiefern die einzelnen Faktoren das Vorhaben unterstützen.

1.1.9 4.9 •• 

Stellen Sie sich vor, Sie sitzen als Beifahrer in einem Rennauto, das mit hoher Geschwindigkeit auf einer kreisförmigen horizontalen Rennstrecke seine Runden dreht. Dabei „spüren“ Sie deutlich eine „Kraft“ , die Sie zur Außenseite der Rennstrecke drückt. In welche Richtung zeigt die Kraft, die auf Sie wirkt, tatsächlich? Woher kommt sie? (Es wird angenommen, dass sie auf Ihrem Sitz nicht rutschen.) Erläutern Sie aus Sicht der Newton’schen Axiome das Gefühl, dass auf Sie eine nach außen gerichtete Kraft wirkt.

1.1.10 4.10 •• 

Versetzen Sie sich in die 1960er - Jahre, als die NASA die Apollo-Mission zum Mond plante. Zeigen Sie, dass es einen bestimmten Punkt zwischen Erde und Mond gibt, an dem ein Raumschiff für einen kurzen Moment wirklich schwerelos ist. (Betrachten Sie für Ihre Rechnungen nur den Mond, die Erde und das Apollo-Raumschiff; alle anderen Gravitationskräfte werden vernachlässigt.) Erläutern Sie dieses Phänomen und bestimmen Sie, ob dieser Punkt – der Librationspunkt – näher am Mond, in der Mitte zwischen beiden Himmelskörpern oder näher an der Erde liegt.

1.1.11 4.11 •• 

Erläutern Sie, warum das Gravitationsfeld innerhalb einer massiven gleichförmigen Kugel direkt proportional zu r und nicht umgekehrt proportional zu r ist.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 4.12 • 

Schätzen Sie die Masse unserer Galaxis (der Milchstraße). Die Sonne umkreist das galaktische Zentrum mit einer Umlaufzeit von 250 Millionen Jahren in einer mittleren Entfernung von 30 000 Lichtjahren. Drücken Sie die Masse der Galaxis in Vielfachen der Sonnenmasse $m_{\mathrm{S}}$ aus. (Vernachlässigen Sie die Massen, die weiter vom galaktischen Zentrum entfernt sind als die Sonne; nehmen Sie außerdem an, dass die Massen, die näher am galaktischen Zentrum sind, ihre Gravitationskraft so ausüben, als wären sie im Zentrum in einem Punktteilchen derselben Masse vereint.)

1.2.2 4.13 •• 

Bestimmen Sie über eine Dimensionsanalyse die Einheiten und Dimensionen der Konstanten b in der Gleichung für die Widerstandskraft $b\,|v|^{n}$ für a) n = 1 und b) n = 2. c) Newton zeigte, dass der Luftwiderstand eines fallenden Körpers mit einer runden Querschnittsfläche (Fläche quer zur Bewegungsrichtung) ungefähr $\frac{1}{2}\rho\,\pi\,r^{2}\,v^{2}$ ist, wobei die Luftdichte $\rho=\text{1{,}20\,kg/m${}^{3}$}$ beträgt. Zeigen Sie, dass dies mit der Dimensionsbetrachtung aus Aufgabenteil b in Einklang steht. d) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers mit einer Masse von 56,0 kg? Nehmen Sie dabei näherungsweise seine Querschnittsfläche als eine Scheibe mit einem Radius von ca. 0,30 m an. Die Luftdichte in der Nähe der Erdoberfläche sei 1,20 kg/m${}^{3}$. e) Die Luftdichte über der Erdoberfläche nimmt nach oben hin ab; in 8,0 km Höhe beträgt sie nur noch 0,514 kg/m${}^{3}$. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit in dieser Höhe?

1.2.3 4.14 •• 

Schätzen Sie, in welchem Winkel man die Beine, ohne Kraftaufwand und ohne in einen „Spagat“ zu rutschen, auf einer trockenen Eisfläche spreizen kann. Der Haftreibungskoeffizient von Gummi auf Eis beträgt ungefähr 0,25.

1.3 Reibung

1.3.1 4.15 • 

Ein Holzklotz wird mit konstanter Geschwindigkeit an einem horizontalen Seil über eine horizontale Fläche gezogen. Dabei wird eine Kraft von 20 N aufgewendet. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen den Oberflächen beträgt 0,3. Ist die Reibungskraft a) ohne Kenntnis der Masse des Klotzes nicht zu bestimmen, b) ohne die Geschwindigkeit des Klotzes nicht zu bestimmen, c)  0,30 N, d)  6,0 N oder e)  20 N?

1.3.2 4.16 • 

Ein Block mit einem Gewicht von 20 N ruht auf einer horizontalen Oberfläche. Der Haftreibungskoeffizient ist $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}80$, während der Gleitreibungskoeffizient $\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}60$ ist. Nun wird an dem Block ein horizontaler Faden befestigt und daran mit einer konstanten Zugkraft $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|$ gezogen. Wie groß ist der Betrag der auf den Block wirkenden Reibungskraft bei a) $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|=\text{15\,N}$, b) $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{S}}|=\text{20\,N}$?

1.3.3 4.17 • 

Eine Kiste mit einer Masse von 100 kg steht auf einem dicken Florteppich. Ein Arbeiter beginnt, mit einer horizontalen Kraft von 500 N dagegenzudrücken. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Kiste und Teppich beträgt 0,600, während der Gleitreibungskoeffizient 0,400 beträgt. Berechnen Sie den Betrag der Reibungskraft, die der Teppich auf die Kiste ausübt.

1.3.4 4.18 • 

Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Reifen eines Autos und einer horizontalen Straße beträgt 0,60. Der Luftwiderstand und die Rollreibung sollen vernachlässigbar sein. a) Wie hoch ist die maximal mögliche Beschleunigung, wenn das Auto bremst? b) Wie groß ist der Bremsweg des Autos mindestens, wenn es zunächst mit 30 m/s fährt?

1.3.5 4.19 •• 

Ein schon mit verschiedenen Dingen vollbepackter Student versucht noch, ein dickes Physikbuch unter seinem Arm geklemmt zu halten (Abbildung 4.45). Die Masse des Buchs beträgt 3,2 kg, der Haftreibungskoeffizient zwischen Buch und Arm 0,320 und der zwischen Buch und T-Shirt 0,160. a) Welche horizontale Kraft muss der Student mindestens aufbringen, um zu verhindern, dass das Buch herunterfällt? b) Der Student kann nur eine Kraft von 61 N aufbringen. Wie groß ist in diesem Fall die Beschleunigung des Physikbuchs, während es unter dem Arm wegrutscht? Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Buch und Arm beträgt 0,200 und der zwischen Buch und T-Shirt 0,090.

Abb. 4.45

Zu Aufgabe 4.19.

1.3.6 4.20 •• 

An einem Tag, an dem bei Temperaturen um den Gefrierpunkt Schnee fällt, findet ein Autorennen statt. Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Autoreifen und der vereisten Straße beträgt 0,080. Der Rennleiter ist besorgt wegen einiger Hügel auf der Bahn und empfiehlt, Reifen mit Spikes zu verwenden. Um die Sache genauer zu betrachten, möchte er prüfen, welche der tatsächlich auf der Bahn vorkommenden Neigungswinkel ein Rennwagen schaffen kann. a) Welche maximale Steigung kann ein Auto mit Allradantrieb unter diesen Bedingungen mit konstanter Geschwindigkeit hinauffahren? b) Wie groß ist der steilste Neigungswinkel, den dieses Auto mit Allradantrieb mit konstanter Geschwindigkeit hinabfahren kann, wenn die Strecke vereist ist?

1.3.7 4.21 •• 

Eine 50-kg-Kiste, die auf ebenem Boden liegt, soll verschoben werden. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Kiste und dem Boden beträgt 0,60. Eine Möglichkeit, die Kiste zu verschieben, besteht darin, unter dem Winkel θ zur Horizontalen schräg nach unten auf die Kiste zu drücken. Eine andere Möglichkeit besteht darin, unter dem gleichen Winkel θ zur Horizontalen schräg nach oben an der Kiste zu ziehen. a) Erklären Sie, weshalb eines der Verfahren weniger Kraft erfordert als das andere. b) Berechnen Sie die Kraft, die bei dem jeweiligen Verfahren mindestens aufgewendet werden muss, um den Block zu verschieben. Dabei sei $\theta=30^{\circ}$. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen, die Sie in beiden Fällen für $\theta=0^{\circ}$ erhalten.

1.3.8 4.22 •• 

Das Gewicht eines Autos mit Hinterradantrieb liegt zu 40 % auf seinen beiden getriebenen Rädern. Das Auto hat auf einer horizontalen geraden Straße einen Haftreibungskoeffizienten von 0,70. a) Ermitteln Sie die maximal mögliche Beschleunigung des Autos. b) In welcher kürzestmöglichen Zeit kann das Auto eine Geschwindigkeit von 100 km/h erreichen? (Gehen Sie davon aus, dass der Motor eine unbeschränkte Leistung abgeben kann.)

1.3.9 4.23 •• 

Eine Schildkröte mit einer Masse von 12 kg liegt im LKW einer Zoohandlung auf der Ladefläche. Der LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h auf einer Landstraße. Als der Zoohändler auf der Straße ein Reh erblickt, bremst er und hält nach gleichförmiger Verzögerung innerhalb von 12 s an. Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient zwischen der Schildkröte und dem LKW-Boden mindestens sein, damit sie nicht zu rutschen beginnt?

1.3.10 4.24 •• 

Ein Auto fährt mit 30 m/s eine unter 15${}^{\circ}$ geneigte, gerade Straße hinauf. Der Haftreibungskoeffizient zwischen den Reifen und der Straße beträgt 0,70. a) Wie lang ist mindestens der Bremsweg? b) Wie lang wäre der Bremsweg mindestens, wenn das Auto bergab fahren würde?

1.3.11 4.25 •• 

Zwei durch ein Seil miteinander verbundene Blöcke (Abbildung 4.46) gleiten eine um 10${}^{\circ}$ geneigte Ebene hinab. Der Block 1 besitzt eine Masse $m_{1}=\text{0{,}80\,kg}$ und der Block 2 eine Masse $m_{2}=\text{0{,}25\,kg}$. Außerdem betragen die Gleitreibungskoeffizienten zwischen den Blöcken und der geneigten Ebene 0,30 für Block 1 und 0,20 für Block 2. Ermitteln Sie a) den Beschleunigungsbetrag der Blöcke und b) die Zugkraft des Seils.

Abb. 4.46

Zu den Aufgaben 4.25 und 4.26.

1.3.12 4.26 •• 

Zwei miteinander verbundene Blöcke mit den Massen m ₁ und m ₂, die durch einen masselosen Stab verbunden sind, gleiten eine geneigte Ebene hinab (Abbildung 4.46). Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Block und Oberfläche beträgt für Block 1 $\mu_{\mathrm{R,g,1}}$, während der für Block 2 gleich $\mu_{\mathrm{R,g,2}}$ ist. a) Bestimmen Sie die Beschleunigung der beiden Blöcke. b) Ermitteln Sie die Kraft, die der Stab auf die beiden Blöcke ausübt. Zeigen Sie, dass diese Kräfte für $\mu_{\mathrm{R,g,1}}=\mu_{\mathrm{R,g,2}}$ beide 0 sind, und geben Sie eine einfache, nichtmathematische Begründung hierfür.

1.3.13 4.27 •• 

Der Haftreibungskoeffizient zwischen einem Gummireifen und dem Straßenbelag sei 0,85. Welche maximale Beschleunigung kann ein allradgetriebener LKW mit einer Masse von 1000 kg maximal erreichen, wenn er eine Steigung unter einem Winkel von 12${}^{\circ}$ a) hinauffährt bzw. b) hinabfährt?

1.3.14 4.28 ••• 

Ein Block mit einer Masse von 10,0 kg liegt wie in Abbildung 4.47 gezeigt auf einem Winkelträger mit einer Masse von 5,0 kg. Der Winkelträger liegt auf einer reibungsfreien Fläche. Die Reibungskoeffizienten zwischen dem Block und dem Winkelträger sind $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}40$ und $\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}30$. a) Wie hoch ist die maximale Kraft $|\boldsymbol{F}|$, die auf den Block ausgeübt werden kann, damit er nicht auf dem Winkelträger gleitet? b) Wie hoch ist die ihr entsprechende Beschleunigung des Winkelträgers?

Abb. 4.47

Zu Aufgabe 4.28.

1.3.15 4.29 ••• 

Ein Block mit einer Masse von 100 kg auf einer Rampe ist wie in Abbildung 4.48 gezeigt über ein Seil mit einem weiteren Block mit der Masse m verbunden. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Block und Rampe beträgt $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}40$, während der Gleitreibungskoeffizient $\mu_{\mathrm{R,g}}=0{,}20$ beträgt. Der Rampenwinkel beträgt 18${}^{\circ}$ gegen die Horizontale. a) Ermitteln Sie den Wertebereich für die Masse m, bei dem sich der Block auf der Rampe nicht von selbst bewegt, während er nach einem kleinen Stoß die Rampe hinabgleitet. b) Ermitteln Sie den Wertebereich für die Masse m, bei dem sich der Block auf der Rampe nicht von selbst bewegt, während er nach einem kleinen Stoß die Rampe hinaufgleitet.

Abb. 4.48

Zu Aufgabe 4.29.

1.3.16 4.30 ••• 

Ein Block mit einer Masse von 0,50 kg liegt auf der schrägen Seite eines Keils mit einer Masse von 2,0 kg (Abbildung 4.49). Der Keil gleitet auf einer reibungsfreien Oberfläche, da auf ihn eine horizontale Kraft F wirkt. a) Der Haftreibungskoeffizient zwischen dem Keil und dem Block betrage $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}80$ und der Neigungswinkel gegen die Horizontale 35${}^{\circ}$. Zwischen welchem Mindest- und Höchstwert muss die ausgeübte Kraft liegen, wenn der Block nicht rutschen soll? b) Wiederholen Sie den Aufgabenteil a mit $\mu_{\mathrm{R,h}}=0{,}40$.

Abb. 4.49

Zu Aufgabe 4.30.

1.3.17 4.31 ••• 

Um den Gleitreibungskoeffizienten eines Holzklotzes auf einem horizontalen Holztisch zu bestimmen, wird Ihnen folgende Aufgabe gestellt: Nehmen Sie den Holzklotz und erteilen Sie ihm eine Anfangsgeschwindigkeit über die Oberfläche des Tischs. Messen Sie mit einer Stoppuhr die Zeit $\Updelta t$, die der Klotz gleitet, bis er zur Ruhe kommt, sowie die Gesamtverschiebung $\Updelta x$, die der Klotz nach dem Loslassen gleitet. a) Zeigen Sie ausgehend von den Newton’schen Axiomen und einem Kräftediagramm des Klotzes, dass der Ausdruck für den Gleitreibungskoeffizienten $\mu_{\mathrm{R,g}}=2\,\Updelta x/[(\Updelta t)^{2}\,g]$ lautet. b) Ermitteln Sie $\mu_{\mathrm{R,g}}$, wenn der Klotz bis zum Anhalten 1,37 m in 0,97 s zurückgelegt hat. c) Wie groß war die Anfangsgeschwindigkeit des Klotzes?

1.4 Widerstandskräfte

1.4.1 4.32 • 

Ein Schadstoffpartikel fällt bei Windstille mit einer Endgeschwindigkeit von 0,30 mm/s zu Boden. Die Masse des Partikels beträgt $1{,}0\cdot 10^{-10}$ g, und die auf es wirkende Widerstandskraft hat die Form $b\,v$. Wie groß ist b?

1.4.2 4.33 • 

Ein Tischtennisball besitzt eine Masse von 2,3 g und eine Endgeschwindigkeit von 9,0 m/s. Die Widerstandskraft besitzt die Form $b\,v^{2}$. Welchen Wert hat b?

1.4.3 4.34 ••• 

Kleine kugelförmige Teilchen erfahren bei langsamer Bewegung in einem Fluid eine Widerstandskraft, die durch das Stokes’sche Gesetz $|\boldsymbol{F}_{\mathrm{W}}|=6\,\pi\,\eta\,r\,v$ gegeben ist. Dabei ist r der Radius des Teilchens, v seine Geschwindigkeit und η die Viskosität des fluiden Mediums. a) Schätzen Sie in Luft (Viskosität $\eta=1{,}80\cdot 10^{-5}\text{\,N}\cdot\text{s/m${}^{2}$}$) die Endgeschwindigkeit eines kugelförmigen Schadstoffteilchens mit dem Radius $1{,}00\cdot 10^{-5}$ m und der Dichte 2000 kg/m${}^{3}$. b) Schätzen Sie, wie lange ein solches Teilchen braucht, um bei Windstille 100 m weit zu fallen.

1.4.4 4.35 ••• 

Bei einem Praktikum in Umweltchemie erhält der Praktikant eine Luftprobe mit Schadstoffpartikeln, die die gleiche Größe und Dichte wie in Aufgabe 4.34 haben. Die Probe wird in einem 8,0 cm langen Reagenzglas aufgefangen. Der Student setzt das Reagenzglas in eine Zentrifuge ein, wobei der Mittelpunkt des Reagenzglases 12 cm vom Drehpunkt entfernt ist. Dann stellt er die Zentrifuge auf eine Drehzahl von 800 Umdrehungen pro Minute ein. a) Schätzen Sie, in welcher Zeit sich nahezu alle Schadstoffpartikel am Ende des Reagenzglases abgesetzt haben. b) Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der Zeit, die es dauert, bis ein Schadstoffpartikel unter dem Einfluss der Schwerkraft und der in Aufgabe 4.34 gegebenen Widerstandskraft 8,0 cm fällt.

1.5 Die Kepler’schen Gesetze

1.5.1 4.36 • 

Der Radius der Erdbahn beträgt $1{,}496\cdot 10^{11}$ m, der Radius der Uranusbahn $2{,}87\cdot 10^{12}$ m. Welche Umlaufzeit hat der Uranus?

1.5.2 4.37 •• 

Im Apogäum , dem erdfernsten Punkt seiner Bahn, ist der Mittelpunkt des Monds 406 395 km vom Mittelpunkt der Erde entfernt, im Perigäum , dem erdnächsten Punkt, dagegen 357 643 km. Welche Bahngeschwindigkeit hat der Mond im Perigäum und welche im Apogäum? Die Umlaufzeit beträgt 27,3 d.

1.6 Das Newton’sche Gravitationsgesetz

1.6.1 4.38 • 

Die Saturnmasse beträgt $5{,}69\cdot 10^{26}$ kg. a) Berechnen Sie die Umlaufzeit des Saturnmonds Mimas, dessen mittlerer Bahnradius $1{,}86\cdot 10^{8}$ m beträgt. b) Berechnen Sie den mittleren Bahnradius des Saturnmonds Titan, der den Saturn innerhalb von $1{,}38\cdot 10^{6}$ s umrundet.

1.6.2 4.39 •• 

Sie haben ein Gravimeter, das Änderungen des Gravitationsfelds mit einer Empfindlichkeit $\Updelta G/G=1{,}00\cdot 10^{-11}$ bestimmen kann. a) Sie verstecken sich mit dem Gerät hinter einem Baum, während Ihr 80 kg schwerer Freund von der anderen Seite auf Sie zu kommt. Wie nah kann Ihr Freund an Sie herankommen, bevor das Messgerät durch seine Anwesenheit eine Änderung von G feststellt? b) Sie fahren in einem Heißluftballon und benutzen das Gerät, um Ihre Steiggeschwindigkeit zu messen (es wird angenommen, dass der Ballon eine konstante Beschleunigung erfährt). Welches ist die kleinste Höhenänderung, die Sie mit Ihrem Gerät im Gravitationsfeld der Erde bestimmen können?

1.6.3 4.40 •• 

Der Erdradius beträgt 6370 km, der Mondradius ist 1738 km. Die Fallbeschleunigung auf der Mondoberfläche ist 1,62 m/s${}^{2}$. In welchem Verhältnis steht die mittlere Monddichte zur mittleren Dichte der Erde?

1.7 Schwere Masse und träge Masse

1.7.1 4.41 • 

Ein Probekörper, dessen Masse zu exakt 1,00 kg definiert ist, hat ein messbares Gewicht von 9,81 N. In demselben Labor hat ein zweiter Körper mit unbekannter Masse ein Gewicht von 56,6 N. a)  Welche Masse hat der zweite Körper? b) Haben Sie in Teilaufgabe a die schwere oder die träge Masse bestimmt?

1.8 Das Gravitationsfeld

1.8.1 4.42 • 

Das Gravitationsfeld in einem bestimmten Punkt ist gegeben durch $\boldsymbol{G}=2{,}5\cdot 10^{-6}\,\boldsymbol{\widehat{y}}$ N/kg. Welche Kraft wirkt in diesem Punkt auf eine Masse von 0,0040 kg?

1.8.2 4.43 • 

Eine gleichförmige dünne Kugelschale hat einen Radius von 2,0 m und eine Masse von 300 kg. Wie groß ist das Gravitationsfeld bei folgenden Entfernungen vom Mittelpunkt der Kugelschale: a)  0,50 m, b)  1,9 m, c)  2,5 m?

1.8.3 4.44 •• 

Zeigen Sie, dass $a_{{\text{G}},x}$ bei dem Feld aus Beispiel 4.15 in den Punkten $x=\pm a\sqrt{2}$ seinen Maximalwert annimmt.

1.8.4 4.45 •• 

Zwei konzentrische, gleichförmige dünne Kugelschalen haben die Massen m ₁ und m ₂, ihre Radien sind a und $2\,a$ (Abbildung 4.50). Welchen Betrag hat die Gravitationskraft auf ein punktförmiges Teilchen der Masse m, das sich in einer Entfernung von a) $3\,a$, b) $1{,}9\,a$ bzw. c) $0{,}9\,a$ vom Mittelpunkt der Kugelschalen befindet?

Abb. 4.50

Zu den Aufgaben 4.45 und 4.46.

1.8.5 4.46 •• 

Die innere Kugelschale aus Aufgabe 4.45 wird so verschoben, dass sich ihr Mittelpunkt auf der x-Achse bei $x=0{,}8\,a$ befindet. Welchen Betrag hat die Gravitationskraft auf eine Punktmasse m, die sich auf der x-Achse bei a) $x=3\,a$, b) $x=1{,}9\,a$ bzw. c) $x=0{,}9\,a$ befindet?

1.8.6 4.47 •• 

Sie stehen auf einer Federwaage in einem Fahrstuhl, der mit konstanter Geschwindigkeit im senkrechten, tiefen Schacht einer Mine am Äquator hinabfährt. Fassen Sie die Erde als homogene Kugel auf. a) Zeigen Sie, dass die Kraft, die auf Sie allein aufgrund der Gravitation der Erde wirkt, proportional zur Ihrer Entfernung vom Erdmittelpunkt ist. b) Wiederholen Sie die Aufgabe, berücksichtigen Sie aber nun auch die Rotationsbewegung der Erde. Zeigen Sie, dass die Anzeige auf der Federwage proportional zu Ihrer Entfernung zum Erdmittelpunkt ist.

1.8.7 4.48 •• 

Ein Sternhaufen ist eine etwa kugelförmige Ansammlung von bis zu mehreren Millionen Sternen, die durch ihre gegenseitige Gravitation zusammengehalten werden. Die Astronomen können die Geschwindigkeiten der Sterne in dem Haufen messen, um eine Vorstellung von der Zusammensetzung und der Massenverteilung innerhalb des Haufens zu gewinnen. Nehmen Sie an, dass alle diese Sterne etwa dieselbe Masse haben und gleichförmig in dem Haufen verteilt sind. Zeigen Sie, dass die mittlere Geschwindigkeit eines Sterns auf einer kreisförmigen Bahn um den Mittelpunkt des Haufens linear mit seiner Entfernung vom Mittelpunkt zunehmen sollte.

1.8.8 4.49 •• 

Der Mittelpunkt einer gleichförmigen massiven Kugel mit dem Radius r ₀ befindet sich im Ursprung. Die Kugel hat eine gleichförmige Dichte $\rho_{0}$, außer in einem kugelförmigen Loch mit dem Radius $r=\frac{1}{2}\,r_{0}$, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse bei $x=\frac{1}{2}\,r_{0}$ liegt (Abbildung 4.51). Berechnen Sie das Gravitationsfeld für Punkte auf der x-Achse mit $|x|> r_{0}$. (Hinweis: Betrachten Sie das Loch als eine Kugel mit der Masse $m=(4/3)\,\uppi\,r^{3}\,\rho_{0}$ plus einer Kugel mit der „negativen“ Masse −m.)

Abb. 4.51

Zu Aufgabe 4.49.

1.8.9 4.50 ••• 

Die Dichte einer Kugel ist durch $\rho(r)=C/r$ definiert. Die Kugel hat einen Radius von 5,0 m und eine Masse von $1{,}0\cdot 10^{11}$ kg. a) Bestimmen Sie die Konstante C. b) Leiten Sie Ausdrücke für die Gravitationsfelder in den Bereichen 1) $r> \text{5{,}0 m}$ und 2) $r<\text{5{,}0 m}$ her.

1.8.10 4.51 ••• 

In die Kugel aus Aufgabe 4.50 wird ein dünnes, 2,0 m tiefes Loch gebohrt, das in Richtung auf den Mittelpunkt der Kugel weist. Sie lassen von der Oberfläche der Kugel aus eine kleine Masse in das Loch fallen. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der die kleine Masse auf dem Boden des Lochs aufschlägt.

1.9 Allgemeine Aufgaben

1.9.1 4.52 • 

Berechnen Sie die Masse der Erde aus den bekannten Werten von $\varGamma$, g und $r_{\mathrm{E}}$.

1.9.2 4.53 •• 

Ein Flugkörper mit einer Masse von 100 kg umkreist die Erde auf einer kreisförmigen Bahn in einer Höhe $h=2\,r_{\mathrm{E}}$. a) Welche Umlaufzeit hat der Flugkörper?

1.9.3 4.54 •• 

Eine Münze mit einem Gewicht von 100 g liegt auf einer horizontalen Drehscheibe, die sich mit genau 1,00 Umdrehungen pro Sekunde um ihre Achse dreht. Die Münze liegt 10 cm vom Drehpunkt der Scheibe entfernt. a) Wie groß ist die Reibungskraft, die auf die Münze wirkt? b) Wie groß ist der Haftreibungskoeffizient zwischen der Münze und der Drehscheibe, wenn die Münze bei einer Entfernung von mehr als 16,0 cm vom Drehpunkt heruntergeschleudert wird?

1.9.4 4.55 •• 

Stellen Sie sich vor, Sie fahren auf einer horizontalen Fläche mit dem Fahrrad auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 20 m. Die Gesamtkraft, die die Straße auf das Fahrrad ausübt und die sich aus Normalkraft und Reibungskraft zusammensetzt, bildet einen Winkel von 15${}^{\circ}$ gegen die Vertikale. a) Wie hoch ist Ihr Geschwindigkeitsbetrag? b) Die Reibungskraft auf das Fahrrad ist halb so groß wie der maximal mögliche Wert. Wie groß ist der Haftreibungskoeffizient?

1.9.5 4.56 •• 

Eine Spedition soll eine Bücherkiste mithilfe einiger Bohlen, die eine Neigung von 30${}^{\circ}$ haben, auf einen LKW verladen. Die Masse der Kiste beträgt 100 kg und der Gleitreibungskoeffizient zwischen Kiste und Bohlen 0,500. Die Spediteure drücken horizontal mit einer Kraft F gegen die Kiste. Wie groß muss $|\boldsymbol{F}|$ sein, damit die Kiste mit konstanter Geschwindigkeit weitergeschoben wird, nachdem sie erst einmal in Bewegung versetzt wurde?

1.9.6 4.57 •• 

Sally behauptet, Flughörnchen würden gar nicht richtig fliegen, sondern nur springen und die Hautfalten, die ihre Vorder- und Hinterbeine verbinden, wie einen Fallschirm einsetzen, um von Ast zu Ast gleiten zu können. Liz glaubt dies nicht recht und möchte Sallys Behauptung nachprüfen und berechnet dazu die Endgeschwindigkeit eines ausgestreckten fallenden Flughörnchens. Verwenden Sie die Ergebnisse aus Beispiel 4.8 sowie sinnvolle Annahmen über die Größe des Flughörnchens, um seine (nach unten gerichtete) Endgeschwindigkeit zu schätzen. Die Konstante b in der Widerstandskraft soll proportional zur Fläche des Körpers sein, auf den der Luftwiderstand wirkt. Unterstützt die Berechnung von Liz Sallys Behauptung?

1.9.7 4.58 •• 

Ein Neutronenstern ist der hochverdichtete Überrest eines schweren Sterns in der letzten Phase seiner Entwicklung. Er besteht aus Neutronen (daher der Name), denn die Gravitationskraft des Sterns ist so hoch, dass Elektronen und Protonen zu Neutronen „verschmolzen“ sind. Nehmen Sie hypothetisch an, unsere Sonne werde zum Ende ihrer Lebenszeit zu einem Neutronenstern mit 12,0 km Radius kollabieren, ohne bei dem Prozess Masse zu verlieren. (Dieser Prozess wird tatsächlich nicht auftreten, da die Sonne dafür nicht genug Masse hat.) a) Berechnen Sie das Verhältnis aus der Fallbeschleunigung auf der Oberfläche nach diesem Kollaps und dem Wert auf der heutigen Sonnenoberfläche. b) Berechnen Sie das Verhältnis aus der Fluchtgeschwindigkeit für die „Neutronensonne“ und für die heutige Sonne.

1.9.8 4.59 •• 

Ein Satellit umkreist den Mond (Radius 1700 km) unmittelbar über der Oberfläche mit der Geschwindigkeit v. Ein Geschoss wird mit derselben Anfangsgeschwindigkeit v von der Mondoberfläche senkrecht nach oben geschossen. Wie hoch wird das Geschoss steigen?

1.9.9 4.60 •• 

Uranus , der siebte Planet des Sonnensystems, wurde erst 1781 von dem deutschstämmigen britischen Astronomen Friedrich Wilhelm (William) Herschel (1738–1822) entdeckt. Die Umlaufbahn des Planeten wurde mithilfe der Kepler’schen Gesetze untersucht. Zu Beginn der 1840er Jahre wurde aus den Beobachtungen klar, dass seine wahre Umlaufbahn so stark von den Berechnungen abweicht, dass sich die Fehler nicht durch die Beobachtungsunsicherheit erklären ließen. Man schloss daraus, dass über den Einfluss der Sonne und der im Inneren der Uranusbahn liegenden Planeten hinaus noch eine weitere Kraft auf Uranus wirken müsse. Diese Kraft sollte auf einen hypothetischen achten Planeten zurückgehen, dessen Bahn 1845 von zwei Personen unabhängig berechnet und angegeben wurde: von dem englischen Astronomen John Couch Adams (1819–1892) und dem französischen Mathematiker Urbain Le Verrier (1811–1877). Im September 1846 suchte der deutsche Astronom Johann Gottfried Galle (1812–1910) in dem von ihnen angegebenen Bereich und entdeckte den Planeten Neptun . Uranus und Neptun umrunden die Erde innerhalb von 84,0 bzw. 164,8 Jahren. Um den Effekt von Neptun auf Uranus anzugeben, bestimmen Sie das Verhältnis der Gravitationskräfte zwischen Neptun und Uranus sowie zwischen Uranus und Sonne, und zwar für den Zeitpunkt der dichtesten Annäherung von Neptun und Uranus (d. h. wenn sie von der Sonne gesehen aus auf einer Linie hintereinander liegen). Die Massen von Sonne, Uranus und Neptun sind 333 000, 14,5 bzw. 17,1 Erdmassen.

1.9.10 4.61 •• 

Eine dicke Kugelschale mit der Masse $m_{\text{K}}$ und einer homogenen Dichte hat den Innenradius r ₁ und den Außenradius r ₂. Geben Sie das Gravitationsfeld G der Kugelschale als Funktion von r für $0<r<\infty$ an. Skizzieren Sie den Verlauf von $G(r)$.

1.9.11 4.62 ••• 

Ein Bauingenieur soll einen Kurvenabschnitt einer Straße planen. Er erhält folgende Vorgaben: Bei vereister Straße, d. h. bei einem Haftreibungskoeffizienten von 0,080 zwischen Straße und Gummi, darf ein stehendes Auto nicht in den Straßengraben im Inneren der Kurve rutschen. Andererseits dürfen Autos, die mit bis zu 60 km/h fahren, nicht aus der Kurve getragen werden. Luftwiderstand und Rollreibung sind zu vernachlässigen. Welchen Radius muss die Kurve mindestens besitzen, und unter welchem Winkel sollte sie überhöht sein?

1.9.12 4.63 ••• 

Bei einer Attraktion in einem Freizeitpark stehen die Fahrgäste mit dem Rücken zur Wand in einer Trommel, die sich dreht. Plötzlich wird der Boden abgesenkt, wobei die Reibung verhindert, dass die Fahrgäste hinabfallen. a) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm eines Fahrgasts. b) Bestimmen Sie anhand dieses Kräftediagramms sowie der Newton’schen Axiome die auf einen Fahrgast mit einer Masse von 75 kg wirkende Reibungskraft. c) Der Zylinder hat einen Radius von 4,0 m, und der Haftreibungskoeffizient zwischen Fahrgast und Wand beträgt 0,55. Mit wie vielen Umdrehungen pro Minute muss sich der Zylinder drehen, damit die Fahrgäste nicht herunterfallen? Fallen schwerere Fahrgäste schon eher herunter?

1.9.13 4.64 ••• 

Eine wichtige Frage in der frühen Planetologie ist, ob die einzelnen Ringe um den Saturn massiv sind oder aus vielen kleinen Teilen bestehen, die sich jeweils auf ihrer eigenen Umlaufbahn bewegen . Man kann dies mit einer einfachen Beobachtung entscheiden, indem man die Geschwindigkeiten des inneren Teilrings und des äußeren Teilrings misst. Ist der innere Teilring langsamer als der äußere, dann ist der Ring massiv; trifft das Gegenteil zu, dann besteht er aus vielen Einzelteilen. Wir wollen hier von einem theoretischen Standpunkt aus beurteilen, warum das so ist. Die radiale Breite eines bestimmten Rings (es gibt viele) ist $\Updelta r$, der mittlere Abstand dieses Rings vom Mittelpunkt des Saturn ist $r_{\mathrm{R}}$, die mittlere Geschwindigkeit des Rings ist $v_{\mathrm{m}}$. a) Zeigen Sie, dass für einen massiven Ring die Geschwindigkeitsdifferenz $\Updelta v$ zwischen den äußersten und den innersten Teilen durch den Ausdruck $\Updelta v=v_{\mathrm{a}}-v_{\mathrm{i}}\approx v_{\mathrm{m}}(\Updelta r/r_{\mathrm{R}})$ gegeben ist. Dabei ist $v_{\mathrm{a}}$ die Geschwindigkeit des äußersten und $v_{\mathrm{i}}$ die Geschwindigkeit des innersten Ringteils. b) Sollte der Ring jedoch aus vielen kleinen Einzelteilen bestehen, gilt der Zusammenhang $\Updelta v\approx-\tfrac{1}{2}v_{\mathrm{m}}(\Updelta r/r_{\mathrm{R}})$. Zeigen Sie dies. (Nehmen Sie an, dass $\Updelta r\ll r_{\mathrm{R}}$ ist.)