Elektrische Eigenschaften von Festkörpern

Zusammenfassung

Bei klassischer Beschreibung des spezifischen Widerstands und der elektrischen Leitfähigkeit verschiedener Materialien ergibt sich eine Diskrepanz zwischen gemessenen und theoretisch berechneten Werten. Erst die quantenmechanische Beschreibung erlaubt korrekte Vorhersagen zu treffen und die Materialien in Leiter, Nichtleiter und Halbleiter einzuteilen.

Metallisches Arsen ist ein Halbmetall, das für seine giftige Wirkung in löslichen Verbindungen oder im Oxid an der Oberfläche bekannt ist. Weniger bekannt ist die Tatsache, dass eine geringe Konzentration von Arsenatomen in Siliciumkristallen den spezifischen Widerstand verringert (im Vergleich zu reinem Silicium). Dem Halbleiter Galliumarsenid verleiht Arsen Festkörpereigenschaften, die für ein Lasermedium geeignet sind. (© The Natural History Museum, Alamy.)

? Wissen Sie, wie viele Arsenatome nötig sind, um die Ladungsträgerdichte in reinem Silicium auf das Fünfmillionenfache zu erhöhen? (Siehe Beispiel 37.6.)

Appendices

Im Kontext: Supraleitung und Magnetismus

Neben der Fähigkeit des widerstandslosen Stromtransports zeichnen sich Supraleiter durch diamagnetisches Verhalten aus. So wird ein angelegtes Magnetfeld aus dem Inneren eines Supraleiters verdrängt. Die Entdeckung dieses Effekts durch Meißner und Ochsenfeld vor mehr als 80 Jahren ebnete den Weg zu einer ersten phänomenologischen Beschreibung der Supraleitung${}^{\mathrm{1}}$. Erhöht man das angelegte Magnetfeld, so bricht die Supraleitung zusammen, sobald die benötigte Feldverdrängungsenergie den Energiegewinn bei der Bildung der Cooper-Paare, die Kondensationsenergie, übersteigt. In ähnlicher Weise bewirkt eine Zulegierung magnetischer Fremdatome, z. B. einiger Atom-% Gadolinium in Lanthan, eine Unterdrückung der Supraleitung${}^{\mathrm{2}}$. Spätestens nach Entdeckung dieser paramagnetischen Paarbrechung in den späten 1950er Jahren beschränkte sich die Suche nach neuen Supraleitern auf Verbindungen aus nichtmagnetischen Bestandteilen, da Magnetismus und Supraleitung als antagonistische Phänomene angesehen wurden.

Umso überraschender war Ende der 1970er Jahre die Entdeckung von Supraleitung in einer Verbindung mit konzentrierten magnetischen Bestandteilen${}^{\mathrm{3}}$. In $\mathrm{CeCu}_{2}\mathrm{Si}_{2}$ sind die CeAtome sowohl für magnetische als auch supraleitende Eigenschaften verantwortlich. Die Bildung supraleitender Cooper-Paare wird in elementaren Supraleitern durch Gitterschwingungen ermöglicht. Für „unkonventionelle“ Supraleiter wie $\mathrm{CeCu}_{2}\mathrm{Si}_{2}$ kann dieser Mechanismus ausgeschlossen werden. Stattdessen spielen interne fluktuierende magnetische Felder eine wichtige Rolle. Diese entstehen aus der Unterdrückung langreichweitiger magnetischer Ordnung durch Dotierung oder äußeren Druck und bewirken ein anomales metallisches Verhalten, aus dem sich die Supraleitung entwickelt.

Konkurrenz von Supraleitung und Magnetismus im schematischen Phasendiagramm für unkonventionelle Supraleiter (©Philipp Gegenwart)

Mittlerweile wurde eine Reihe von unterschiedlichen Substanzklassen (z. B. Kuprat-Hochtemperatursupraleiter, Eisenpniktidsupraleiter, Schwere-Fermionen und organische Supraleiter) entdeckt${}^{\mathrm{4}}$, in denen Supraleitung in unmittelbarer Nähe zu Magnetismus auftritt, entgegen der etablierten Vorstellung, dass Magnetismus für Supraleitung schädlich ist!

Die Suche nach neuen Supraleitern schlägt seither völlig neue Wege ein und erfordert neue Methoden. Oft konzentriert man sich zunächst auf den „normalleitenden“ Zustand oberhalb der kritischen Temperatur, der alles andere als normal und dessen theoretische Beschreibung bislang völlig unklar ist. Die Elektronen können hier nicht als voneinander unabhängige Ladungsträger angesehen werden, sondern zeigen stark korreliertes Verhalten. Die Energieskalen dieser Elektronenkorrelationen können sehr groß sein, sodass es keinen prinzipiellen Grund gibt Supraleitung bei noch höheren Temperaturen, selbst Zimmertemperatur, auszuschließen. Deren Entdeckung ist ein sehr spekulatives Fernziel. Mittelfristig steht vor allem ein besseres Verständnis des komplexen Verhaltens korrelierter Elektronen im Vordergrund, das die Entwicklung und den Ausbau vielfältiger neuer experimenteller und theoretischer Techniken antreibt. Da bislang zuverlässige quantitative Vorhersagen zur Supraleitung unmöglich sind, ist es ein nicht zuletzt für Experimentatoren besonders interessantes und spannendes Gebiet, in dem in den letzten Jahren immer wieder überraschende Entdeckungen gemacht wurden.

Prof. Dr. Philipp Gegenwart studierte Physik an der TU Darmstadt, wo er 1998 bei Frank Steglich über unkonventionelle Supraleiter promovierte. Danach wechselte er an das Max-Planck-Institut für Chemische Physik fester Stoffe in Dresden und war als Gastwissenschaftler in St. Andrews, Schottland. Von 2006 bis 2013 war er Professor für Experimentalphysik (Tieftemperaturphysik) in Göttingen. Seit März 2014 leitet er einen Lehrstuhl am Zentrum für Elektronische Korrelationen und Magnetismus der Universität Augsburg.

1 Joas, C., Waysand, G. „Von Leitungsketten zur Paarhypothese“ Physik Journal 10, 2011 23.

2 Matthias, B. T., Suhl, H., Corenzwit, E., „Spin Exchange in Superconductors“ Phys. Rev. Lett. 1, 1958 92.

3 Steglich, F. et al., „Superconductivity in the Presence of Strong Pauli Paramagnetism: CeCu2Si2“ Phys. Rev. Lett. 431979 1892.

4 Schmalian, J., „Unkonventionell und komplex“ Physik Journal 10 2011 37.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 37.1 • 

Im klassischen Modell der elektrischen Leitfähigkeit verliert ein Elektron im Schnitt bei jedem Stoß Energie, indem es die seit dem letzten Stoß aufgenommene Driftgeschwindigkeit verliert. Wo tritt diese Energie in Erscheinung?

1.1.2 37.2 • 

Senkt man die Temperatur einer Probe aus reinem Kupfer von 300 K auf 4 K, so nimmt der spezifische Widerstand um ein Vielfaches mehr ab, als es bei einer Probe aus Messing der Fall wäre. Wie kommt das?

1.1.3 37.3 • 

Aus welchem Grund ist ein Metall ein guter elektrischer Leiter? a) Weil das Valenzband leer ist. b) Weil das Valenzband nur teilweise gefüllt ist. c) Weil das Valenzband zwar gefüllt ist, die Energielücke zum nächsthöheren leeren Band aber klein ist. d) Weil das Valenzband vollständig gefüllt ist. e) Keiner dieser Gründe trifft zu.

1.1.4 37.4 • 

Wie ändert sich der spezifische Widerstand von Kupfer verglichen mit dem von Silicium, wenn die Temperatur erhöht wird?

1.1.5 37.5 • 

Welche der folgenden Elemente eignen sich als Akzeptoratome in Germanium? a) Brom, b) Gallium, c) Silicium, d) Phosphor, e) Magnesium.

1.1.6 37.6 • 

Welche der folgenden Elemente können als Donatoratome in Germanium dienen? a) Brom, b) Gallium, c) Silicium, d) Phosphor, e) Magnesium.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 37.7 • 

Ein Bauelement wird als „ohmsch“ bezeichnet, wenn die Strom-Spannungs-Kennlinie eine Gerade durch den Ursprung ist; der Widerstand $R_{\Upomega}$ des Bauelements entspricht dann der reziproken Steigung dieser Gerade. Ein pn-Übergang ist ein Beispiel für ein nichtohmsches Bauelement, wie man Abbildung 37.17 entnehmen kann. Für nichtohmsche Bauelemente definiert man gelegentlich den differenziellen Widerstand als reziproke Steigung der Kurve, die entsteht, wenn man I gegen U aufträgt. Betrachten Sie die Kurve in Abbildung 37.17 und schätzen Sie den differenziellen Widerstand des pn-Übergangs für Vorspannungen von −20 V, $+0{,}2$ V, $+0{,}4$ V, $+0{,}6$ V und $+0{,}8$ V ab.

1.3 Mikroskopische Betrachtung der elektrischen Leitfähigkeit

1.3.1 37.8 • 

Ein Maß für die Dichte der freien Elektronen in einem Metall ist der Abstand $r_{\text{k}}$, der definiert ist als Radius derjenigen Kugel, deren Volumen dem Volumen pro Leitungselektron entspricht. a) Zeigen Sie, dass gilt: $r_{\text{k}}=(3/(4\,\uppi\,(n_{\text{e}}/V)))^{1/3}$, wobei $n_{\text{e}}/V$ die Teilchenzahldichte der freien Elektronen ist. b) Wie groß ist $r_{\text{k}}$ (in nm) für Kupfer?

1.4 Freie Elektronen im Festkörper

1.4.1 37.9 • 

Berechnen Sie die Teilchenzahldichte freier Elektronen in a) Silber ($\rho=10{,}5$ g/cm${}^{3}$) und b) Gold ($\rho=19{,}3$ g/cm${}^{3}$) unter der Annahme eines freien Elektrons pro Atom. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den in Tabelle 37.1 aufgeführten Werten.

1.4.2 37.10 • 

Berechnen Sie die Fermi-Temperatur für a) Magnesium, b) Mangan und c) Zink.

1.4.3 37.11 • 

Welche Geschwindigkeit hat ein Leitungselektron in a) Natrium, b) Gold bzw. c) Zinn, wenn seine Energie jeweils gleich der Fermi-Energie $E_{\text{F}}$ für dieses Material ist?

1.4.4 37.12 •• 

Silicium hat die molare Masse 28,09 g/mol und die Dichte $2{,}41\cdot 10^{3}$ kg/m${}^{3}$. Jedes Siliciumatom hat vier Valenzelektronen, die Fermi-Energie für Silicium beträgt 4,88 eV. a) Berechnen Sie den spezifischen Widerstand bei Raumtemperatur. Die mittlere freie Weglänge bei dieser Temperatur ist $\lambda=27{,}0$ nm. b) Silicium hat bei Raumtemperatur den Widerstand 640 $\Upomega\cdot\text{m}$. Vergleichen Sie diesen allgemein anerkannten Wert mit dem von Ihnen berechneten Wert.

1.4.5 37.15 •• 

Zwischen dem Druck p eines monoatomaren idealen Gases und der mittleren Energie $\langle E\rangle$ der Gasteilchen besteht die Beziehung $p\,V=\frac{2}{3}\,n\,\langle E\rangle$. Dabei ist n die Zahl der Teilchen. Berechnen Sie mithilfe dieser Beziehung den Druck der freien Elektronen in einer Probe aus Kupfer (in der Einheit N/m${}^{2}$) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem atmosphärischen Druck, der ungefähr 10⁵ N/m${}^{2}$ beträgt. (Hinweis: Um die Einheiten möglichst leicht in den Griff zu bekommen, empfiehlt es sich, die folgenden Umwandlungsfaktoren zu benutzen: 1 N/m${}^{2}=1$ J/m${}^{3}$ und 1 eV $=1{,}602\cdot 10^{-19}$ J.)

1.4.6 37.16 •• 

Der Kompressionsmodul K eines Materials kann folgendermaßen definiert werden:

$$K=-V\,\frac{\partial p}{\partial V}.$$

a) Zeigen Sie mithilfe der Formel $p\,V=\frac{2}{3}\,n\,\langle E\rangle$ für monoatomare ideale Gase und der Gleichungen 37.15 und 37.16, dass gilt:

$$p=\frac{2\,n\,E_{\text{F}}}{5\,V}=C\,V^{-5/3}.$$

Dabei ist C eine von V unabhängige Konstante. b) Zeigen Sie, dass für den Kompressionsmodul der freien Elektronen in einem Metall somit gilt:

$$K=\frac{5}{3}\,p=\frac{2\,n\,E_{\text{F}}}{3\,V}.$$

c) Berechnen Sie den Kompressionsmodul (in N/m${}^{2}$) für die freien Elektronen in einer Probe aus Kupfer und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem gemessenen Wert von $140\cdot 10^{9}$ N/m${}^{2}$.

1.5 Die Quantentheorie der elektrischen Leitfähigkeit

1.5.1 37.17 • 

Die spezifischen Widerstände von Natrium, Gold und Zinn betragen bei T = 273 K: 4,2 $\upmu\Upomega\cdot\text{cm}$, 2,04 $\upmu\Upomega\cdot\text{cm}$ und 10,6 $\upmu\Upomega\cdot\text{cm}$, ihre Fermi-Geschwindigkeiten $1{,}07\cdot 10^{6}$ m/s, $1{,}39\cdot 10^{6}$ m/s und $1{,}89\cdot 10^{6}$ m/s. Berechnen Sie daraus die mittlere freie Weglänge λ der Leitungselektronen in den drei Metallen.

1.6 Das Bändermodell der Festkörper

1.6.1 37.18 •• 

Ein Photon der Wellenlänge 3,35 $\upmu$m hat gerade genügend Energie, um ein Elektron vom Valenzband in das Leitungsband einer Probe aus Bleisulfid anzuregen. a) Berechnen Sie die Energielücke zwischen den beiden Bändern. b) Berechnen Sie die Temperatur T, für die der Wert von $k_{\text{B}}T$ gerade der Energielücke entspricht.

1.7 Halbleiter

1.7.1 37.19 •• 

Eine dünne Schicht eines halbleitenden Materials wird monochromatischer Strahlung ausgesetzt. Bei Wellenlängen oberhalb von 1,85 $\upmu$m wird die Strahlung größtenteils transmittiert, bei kleineren Wellenlängen jedoch größtenteils absorbiert. Wie groß ist die Bandlücke bzw. die Energielücke in diesem Halbleiter?

1.7.2 37.20 •• 

Im Leitungsband einer Probe aus dotiertem n-Silicium befinden sich $1{,}00\cdot 10^{16}$ Elektronen/cm${}^{3}$. Die Temperatur beträgt 300 K, der spezifische Widerstand $5{,}00\cdot 10^{-3}\,\Upomega\cdot\text{m}$. Berechnen Sie die mittlere freie Weglänge der Elektronen. Verwenden Sie als Masse des Elektrons die effektive Masse von $0{,}2\,m_{\text{e}}$. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der mittleren freien Weglänge von Leitungsbandelektronen in Kupfer bei 300 K.

1.7.3 37.21 ••• 

Der Hall-Koeffizient $A_{\text{H}}$ ist definiert gemäß $A_{\text{H}}=E_{y}/(j_{x}\,B_{z})$ mit j _x als Strom pro Flächeneinheit in +x-Richtung, B _z als Stärke des Magnetfelds in +z-Richtung und E _y als resultierendem Hall-Feld in −y-Richtung (Kapitel 23). Der gemessene Hall-Koeffizient einer dotierten Siliciumprobe beträgt bei Raumtemperatur $0{,}0400\,\text{V}\cdot\text{m}/(\text{A}\cdot\text{T})$. Nehmen Sie an, dass alle Fremdatome ihren Anteil an der Gesamtzahl der Ladungstäger in der Probe beigetragen haben. a) Wurde die Probe mit Donator- oder Akzeptoratomen dotiert? b) Berechnen Sie die Konzentration der Fremdatome.

1.8 Halbleiterübergänge und Bauelemente

1.8.1 37.22 •• 

Ein einfaches Modell beschreibt den Strom I an einem pn-Übergang als Funktion der Vorspannung U folgendermaßen:

$$I=I_{0}\,({\text{e}}^{eU/(k_{\text{B}}T)}-1).$$

Skizzieren Sie I als Funktion von U für positive und negative U-Werte.

1.8.2 37.23 •• 

Nehmen Sie an, dass für den pnp-Transistorverstärker in Abbildung 37.24 gilt: $R_{\text{B}}=2{,}00$ k$\Upomega$ und $R_{\text{V}}=10{,}0$ k$\Upomega$. Weiterhin soll gelten, dass ein 10,0-$\upmu$A-Wechselstrom $\Updelta I_{\text{B}}$ an der Basis einen 0,500-mA-Wechselstrom $\Updelta I_{\text{C}}$ am Kollektor erzeugt. Wie groß ist die Spannungsverstärkung, wenn der innere Widerstand zwischen Basis und Emitter vernachlässigt werden kann?

1.8.3 37.24 •• 

Skizzieren Sie die Valenz- und Leitungsbandkanten sowie die Lage des Fermi-Energieniveaus einer a) in Durchlassrichtung bzw. b) in Sperrrichtung geschalteten pn-Diode.

1.9 Die BCS-Theorie

1.9.1 37.25 • 

a) Berechnen Sie mithilfe von Gleichung 37.30 die Supraleiterenergielücke $E_{\text{g}}$ für Zinn und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem gemessenen Wert von $6{,}00\cdot 10^{-4}$ eV. b) Berechnen Sie aus dem gemessenen Wert, welche Wellenlänge ein Photon hat, das gerade genug Energie besitzt, um die Bindung eines Cooper-Paars in Zinn bei T = 0 K aufzubrechen. Zinn hat die kritische Temperatur $T_{\text{c}}=3{,}72$ K.

1.10 Die Fermi-Dirac-Verteilung

1.10.1 37.26 •• 

Wie viele Energiezustände stehen den Elektronen in einem Silberwürfel mit einer Kantenlänge von 1,00 mm im Energiebereich zwischen 2,00 eV und 2,20 eV ungefähr zur Verfügung?

1.10.2 37.27 •• 

Um wie viel unterscheiden sich die Energien, für die der Fermi-Faktor bei 300 K gerade 0,9 bzw. 0,1 ist, im Fall von a) Kupfer, b) Kalium und c) Aluminium?

1.10.3 37.28 •• 

Führen Sie in der Formel für die mittlere Energie $\langle E\rangle=\frac{1}{n_{\text{e}}}\int_{0}^{E_{\mathrm{F}}}E\,g(E)\,\,\mathrm{d}E$ das Integral aus und zeigen Sie, dass die mittlere Energie bei T = 0 K gerade $\smash{\frac{3}{5}\,E_{\text{F}}}$ beträgt.

1.10.4 37.29 •• 

In einem Eigenhalbleiter liegt das Fermi-Energieniveau ungefähr in der Mitte des verbotenen Bands zwischen der Oberkante des Valenzbands und der Unterkante des Leitungsbands. In Germanium hat das verbotene Band eine Breite von 0,70 eV. Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion der Elektronen im Leitungsband bei Raumtemperatur durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegeben ist.