Moleküle

Zusammenfassung

In den meisten Fällen kommen Atome nicht isoliert vor, sondern treten zu Molekülen oder zu Festkörperkristallen zusammen. Moleküle dagegen können einzeln existieren, beispielsweise in gasförmigem O${}_{2}$ oder N${}_{2}$, aber sie können sich auch zu Flüssigkeiten oder Festkörpern vereinigen. Ein Atom bzw. ein Molekül ist der kleinste Baustein einer Substanz, der ihre chemischen Eigenschaften beibehält.

Mikroskopaufnahme von Natriumfluoridkristallen. Häufig wird dem Trinkwasser Natriumfluorid zugesetzt, weil das Spurenelement Fluor der Zahngesundheit zuträglich ist. (© National Institutes of Health/Photo Researchers.)

? Wie viel Energie wird bei der Bildung von Natriumfluorid aus den Elementen umgesetzt? (Siehe Beispiel 35.1.)

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 35.1 • 

Die Atome welcher Elemente haben in den beiden äußersten (energetisch höchsten) Unterschalen dieselbe Elektronenkonfiguration wie Kohlenstoff? Erwarten Sie für diese Elemente dieselbe Art der Hybridisierung wie beim Kohlenstoff?

1.1.2 35.2 • 

Erklären Sie, warum das Trägheitsmoment eines zweiatomigen Moleküls mit zunehmendem Drehimpuls leicht ansteigt.

1.1.3 35.3 • 

Warum absorbiert ein Atom elektromagnetische Strahlung bei Raumtemperatur normalerweise nur im Grundzustand, während zweiatomige Moleküle gewöhnlich Strahlung absorbieren, wenn sie sich in verschiedenen Rotationszuständen befinden?

1.1.4 35.4 •• 

Die (gasförmigen) Elemente der Gruppe VIII, also in der rechten Spalte des Periodensystems, nennt man Edelgase, weil sie in einem weiten Temperatur- und Druckbereich gasförmig sind und praktisch keine chemische Reaktionen zu Molekülen oder ionischen Verbindungen eingehen. Jedoch können Moleküle, wie beispielsweise das ArF, gebildet werden, wenn sie in einem elektronisch angeregten Zustand vorliegen. In diesem Fall schreibt man das Molekül als ArF${}^{\ast}$ und spricht von einem Excimer (abgleitet vom englischen Ausdruck excited dimer, angeregtes Dimer). Wie sieht für das Molekül ArF ein Energieniveaudiagramm wie in Abbildung 35.13 aus, wenn sein Grundzustand instabil, jedoch sein angeregter Zustand ArF${}^{\ast}$ stabil ist? (Excimere werden übrigens in bestimmten Lasertypen angewandt.)

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 35.5 •• 

Trägt man die potenzielle Energie der Atome eines zweiatomigen Moleküls gegen den Abstand auf, so zeigt die Kurve ein Minimum (siehe Abbildung 35.13). In der Nähe dieses Minimums kann die Abstandsabhängigkeit durch eine Parabel angenähert werden; sie entspricht der eines harmonischen Oszillators, der hier also als Näherung für das zweiatomige Molekül betrachtet werden kann. Bei einer besseren Näherung, die man anharmonischen Oszillator nennt, ist die Beziehung

$$\textstyle E_{\mathrm{vib}}=\left(v+\frac{1}{2}\right)\,h\,\nu\,,{\qquad}v=0,1,2,\,\ldots$$

(Gleichung 35.18) modifiziert. Sie lautet dann

$$\textstyle E_{\mathrm{vib}}=\left(v+\frac{1}{2}\right)\,h\,\nu-\left(v+\frac{1}{2}\right)^{2}\,h\,\nu\,\alpha\,,{\qquad}v=0,1,2,\,\ldots$$

Beim Molekül O${}_{2}$ haben die Parameter die folgenden Werte: $\nu=4{,}74\cdot 10^{13}\,\text{s}^{-1}$ und $\alpha=7{,}6\cdot 10^{-3}$. Schätzen Sie den kleinsten Wert der Quantenzahl v ab, bei der das Ergebnis der modifizierten Gleichung um 10 % von dem der nicht modifizierten Gleichung 35.18 abweicht.

1.2.2 35.6 •• 

Hier soll illustriert werden, dass es bei vielen makroskopischen Systemen nicht nötig ist, quantenmechanische Ansätze zu verwenden. Nehmen Sie an, eine massive Kugel mit der Masse $m=300\,\text{g}$ und dem Radius $r=3\,\text{cm}$ rotiert mit 20 Umdrehungen pro Sekunde um ihre Achse. Schätzen Sie die Rotationsquantenzahl J und den Abstand benachbarter Rotationsenergieniveaus ab. (Hinweis: Ermitteln Sie die Quantenzahl J, mit der die Beziehung $E_{\mathrm{rot}}=J\,(J+1)\,\hbar^{2}/(2\,I)$, mit $J=0,1,2,\,\ldots$ (Gleichung 35.12), die richtige Rotationsenergie des Systems ergibt, und berechnen Sie dann die Differenz zum nächsthöheren Energieniveau der Rotation.)

1.3 Chemische Bindung

1.3.1 35.7 • 

Im HF-Molekül beträgt der Gleichgewichtsabstand der Atome 0,0917 nm, und sein Dipolmoment wurde zu $6{,}40\cdot 10^{-30}\text{\,C}\cdot\text{m}$ gemessen. Zu welchem prozentualen Anteil ist die Bindung ionisch?

1.3.2 35.8 •• 

Im KCl-Kristall beträgt der Gleichgewichtsabstand der Ionen K${}^{+}$ und Cl${}^{-}$ rund 0,267 nm. a) Berechnen Sie die potenzielle Energie der Anziehung zwischen den Ionen, wobei Sie sie als Punktladungen im gegebenen Abstand ansehen. b) Die Ionisierungsenergie von Kalium beträgt 4,34 eV, und Chlor hat eine Elektronenaffinität von $-3{,}62\,{{\text{eV}}}$. Ermitteln Sie – unter Vernachlässigung jeglicher Abstoßungsenergie – die Dissoziationsenergie von KCl (siehe Abbildung 35.1). c) Die gemessene Dissoziationsenergie beträgt 4,49 eV. Wie hoch ist die Abstoßungsenergie der Ionen bei ihrem Gleichgewichtsabstand?

1.3.3 35.9 •• 

a) Berechnen Sie die potenzielle Energie der Anziehung zwischen den Ionen Na${}^{+}$ und Cl${}^{-}$ bei ihrem Gleichgewichtsabstand $r_{0}=0{,}236\,\text{nm}$. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der in Abbildung 35.1 angegebenen Dissoziationsenergie. b) Wie groß ist die Abstoßungsenergie der Ionen bei ihrem Gleichgewichtsabstand?

1.4 Energieniveaus und Spektren zweiatomiger Moleküle

1.4.1 35.10 • 

Die Rotationskonstante (die charakteristische Rotationsenergie) B des N${}_{2}$-Moleküls beträgt $2{,}48\cdot 10^{-4}\,{{\text{eV}}}$. Berechnen Sie damit den Abstand der Stickstoffatome (genauer gesagt: der Atomkerne) im Molekül.

1.4.2 35.11 •• 

Das CO-Molekül hat eine Bindungsenergie von rund 11 eV. Ermitteln Sie die Schwingungsquantenzahl v, bei der die Schwingungsenergie diesen Wert erreichen und das Molekül somit „zerrissen“ würde.

1.4.3 35.12 •• 

Leiten Sie die Beziehung $I=m_{\mathrm{red}}\,r_{0}^{2}$ (Gleichung 35.14) her, die in Verbindung mit Gleichung 35.15 gilt und den Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und reduzierter Masse eines zweiatomigen Moleküls beschreibt.

1.4.4 35.13 ••• 

Berechnen Sie die reduzierten Massen der Moleküle H${}^{35}$Cl und H${}^{37}$Cl sowie ihre relative Differenz $\Updelta m_{\mathrm{red}}/m_{\mathrm{red}}$. Zeigen Sie, dass in einer Mischung beider Molekülsorten beim Übergang von einem Rotationszustand in einen anderen Spektrallinien mit der relativen Frequenzdifferenz $\Updelta\nu/\nu=-\Updelta m_{\mathrm{red}}/m_{\mathrm{red}}$ auftreten. Berechnen Sie $\Updelta\nu/\nu$ und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Abbildung 35.17.

1.5 Allgemeine Aufgaben

1.5.1 35.14 • 

Zeigen Sie, dass die reduzierte Masse eines zweiatomigen Moleküls ungefähr gleich der Masse des leichteren Atoms ist, wenn das schwerere Atom eine wesentlich größere Masse hat.

1.5.2 35.15 •• 

Die effektive Kraftkonstante der Bindung im H${}_{2}$-Molekül liegt bei 580 N/m. Ermitteln Sie die Energien der vier niedrigsten Schwingungszustände der Moleküle H${}_{2}$, HD und D${}_{2}$(wobei D für Deuterium steht) sowie die Wellenlängen der Photonen, die bei Übergängen zwischen benachbarten Schwingungsenergieniveaus dieser Moleküle jeweils absorbiert oder emittiert werden.

1.5.3 35.16 •• 

Die Abhängigkeit der potenziellen Energie der Atome von deren Abstand r in einem Molekül kann durch das sogenannte Lennard-Jones-Potenzial (oder 6-12-Potenzial)

$$E_{\mathrm{pot}}=E_{\mathrm{pot,0}}\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{\!12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{\!6}\right]$$

beschrieben werden. Darin sind a und $E_{\mathrm{pot,0}}$ Konstanten. Ermitteln Sie die Abhängigkeit des Gleichgewichtsabstands r ₀ der Atome vom Parameter a. (Hinweis: Bei diesem Abstand hat die potenzielle Energie ein Minimum.) Stellen Sie einen Ausdruck für den Minimalwert $E_{\mathrm{pot,min}}$ bei $r=r_{0}$ auf. Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 35.4 Zahlenwerte von r ₀ und $E_{\mathrm{pot,0}}$ für das H${}_{2}$-Molekül. Geben Sie Ihre Ergebnisse in Nanometer bzw. in Elektronenvolt an.

1.5.4 35.17 •• 

In dieser Aufgabe soll die Abstandsabhängigkeit der Van-der-Waals-Kräfte zwischen einem polaren und einem unpolaren Molekül berechnet werden. Das polare Molekül befindet sich im Ursprung, sein Dipolmoment weist in +x-Richtung, und es hat vom unpolaren Molekül den Abstand x. a) Wie hängt die von einem Dipol hervorgerufene elektrische Feldstärke in der angegebenen Richtung vom Abstand x ab? b) Die potenzielle Energie eines elektrischen Dipols mit dem Dipolmoment $\boldsymbol{\wp}$ in einem elektrischen Feld E ist $E_{\mathrm{pot}}=-\boldsymbol{\wp}\cdot\boldsymbol{E}$, und der Betrag des im unpolaren Molekül induzierten Dipolmoments $\boldsymbol{\wp}^{\,\prime}$ ist in Richtung von E proportional zu dessen Betrag. Berechnen Sie mithilfe dieser Angaben die potenzielle Wechselwirkungsenergie der beiden Moleküle in Abhängigkeit von ihrem Abstand x. c) Berechnen Sie mithilfe der Beziehung $F_{x}=-{\,\mathrm{d}}E_{\mathrm{pot}}/{\,\mathrm{d}}x$, wie die Kraft zwischen den zwei Molekülen von deren Abstand x abhängt.