Atome

Zusammenfassung

Bisher wurden 118 chemische Elemente entdeckt, von denen 92 in der Natur vorkommen. Jedes Element ist dadurch charakterisiert, dass seine Atome Z Protonen und ebenso viele Elektronen sowie N Neutronen enthalten. Die Anzahl der Protonen nennt man Ordnungszahl oder auch Kernladungszahl Z. Die chemischen und physikalischen Eigenschaften eines Elements werden durch die Anzahl und die Anordnung der Elektronen bestimmt. Da Elektronen und Protonen gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen haben, sind die Atome elektrisch neutral. Atome, die eines oder mehrere Elektronen abgegeben oder aufgenommen haben, sind elektrisch geladen und werden Ionen genannt.

Der Sternhaufen RCW 38 ist mit 6000 Lichtjahren Entfernung von der Erde ein recht nahes Sternentstehungsgebiet. Diese Aufnahme zeigt einen rund fünf Lichtjahre großen Bereich mit Tausenden heißer, sehr junger Sterne, die vor weniger als einer Million Jahren gebildet wurden. Röntgenstrahlung aus den heißen äußeren Schichten von 190 dieser Sterne wurde vom Röntgenteleskop Chandra, das die Erde umkreist, aufgenommen. Die Quelle dieser Röntgenstrahlung ist noch nicht bekannt. Sie kann durch stark abgebremste Elektronen entstehen, aber auch durch Anregung von Elektronenübergängen in den Atomen – Prozesse, die man auf der Erde durch Beschuss einer Metallelektrode mit Elektronen erzeugt. Das Röntgenspektrum kann Aufschluss über das Material geben, aus dem die Elektrode – oder die Strahlungsquelle – besteht. (© NASA/CXC/CfA/ S. Wolk u. a.)

? Wie kann die Ordnungszahl eines chemischen Elements aus seinem Spektrum ermittelt werden? (Siehe Beispiel 34.8.)

Appendices

Im Kontext: Superschwere Elemente

Auf der Basis des erstmalig 1935 von C. F. von Weizsäcker vorgeschlagenen Tröpfchenmodells wurde bei $Z\approx 106$ die Instabilität des Atomkerns gegen prompte Spaltung und damit das Ende des Periodensystems erwartet. Dann ergaben aber um 1966 vorgestellte Extrapolationen des 1948 von M. Goeppert-Mayer entwickelten Schalenmodells des Atomkerns abgeschlossene, sphärische Protonen- und Neutronenschalen bei Z = 114 und N = 184. Diese sollten den Atomkernen eine erhöhte Stabilität verleihen, die quantitativ in Form von „Schaleneffekten“ ausgedrückt wurde. Diese ergeben sich als Differenz des Grundzustands-Massendefekts und des für ein „Tröpfchen“ erwarteten Werts. In der folgenden Abbildung sind sie für die schwersten Elemente in Abhängigkeit von Z und N dargestellt.

Darstellung der Schaleneffekte ($\Updelta E_{\mathrm{gs}}$), berechnet auf der Basis der oft verwendeten „makroskopisch-mikroskopischen“ Beschreibung (nach R. Smolanczuk und A. Sobiczewski). Bei ihr wird der Atomkern im Wesentlichen als Tröpfchen beschrieben, der Einfluss der Schalenstruktur als kleine Korrektur berücksichtigt. Neben den sphärischen Schalen bei $Z=\text{114}$ und $N=\text{184}$ werden auch Schalen bei $Z=\text{108}$ und $N=\text{162}$ vorausgesagt, die allerdings deformierten Kernformen entsprechen. Die derzeit bekannten Atomkerne sind als Quadrate gekennzeichnet; die blauen Quadrate bezeichnen jene Atomkerne, die in Reaktionen von ${}^{\text{48}}$Ca-Projektilen mit Aktinidentargets erzeugt wurden. (©Fritz-Peter Heßberger)

Aufgrund dieser Schalenstabilisierung lieferten theoretische Studien sehr lange Halbwertszeiten bis hin zu vielen Millionen Jahren. Das war insofern sensationell, da alle Isotope des damals schwersten bekannten Elements, Lawrencium (Z = 103), Halbwertszeiten kleiner als 1 min aufwiesen und ein weiteres Abfallen der Lebensdauern zu höherem Z hin erwartet wurde. Dies führte zu dem allegorischen Bild einer „Insel der Stabilität“ bei Z = 114 und N = 184 inmitten eines Meers der Instabilität.

Schon bald setzten intensive Bemühungen ein, diese „superschweren Elemente“ zu finden. In zahlreichen Experimenten wurde versucht, sie mittels Reaktionen zweier Atomkerne im Labor zu erzeugen. Wegen der vorausgesagten langen Halbwertszeiten schien es sogar aussichtsreich, sie in der Natur zu finden. Beide Wege führten nicht zum Erfolg.

Mitte der 1970er Jahre traten nach Inbetriebnahme des Schwerionenbeschleunigers UNILAC bei der Gesellschaft für Schwerionenforschung mbH (GSI) in Darmstadt auch Forschergruppen in Deutschland in das Rennen um die superschweren Elemente ein, das bisher vornehmlich von Forschern am amerikanischem Lawrence Berkeley Laboratory (LBL) und am sowjetischen Joint Institute of Nuclear Reactions in Dubna ausgetragen worden war.

Unter Federführung der GSI und des LBL wurde schließlich in den Jahren 1982/83 in mehreren in Berkeley und in Darmstadt durchgeführten Experimenten noch einmal ein groß angelegter Versuch unternommen, mit der als am aussichtsreichsten geltenden Reaktion ${}^{\mathrm{48}}\text{Ca}+^{\mathrm{248}}\text{Cm}$ das superschwere Element 116 zu erzeugen. Auch diese Anstrengung lieferte kein positives Ergebnis.

Erfolgreich dagegen erwies sich das Konzept der schrittweisen Annäherung an den Bereich der superschweren Elemente mittels „kalter“ Fusion, unter Verwendung von Blei- oder Wismutisotopen als Targetmaterial und mittelschweren Projektilen, z. B. ${}^{\mathrm{54}}$Cr, ${}^{\mathrm{58}}$Fe. Am Geschwindigkeitsfilter SHIP bei der GSI gelang die Entdeckung der Elemente Bohrium (Z = 107; 1981), Meitnerium (Z = 109; 1982), Hassium (Z = 108; 1984) und nach Aufrüstung der Anlage die der Elemente Darmstadtium (Z = 110; 1994), Roentgenium (Z = 111; 1994) und Copernicium (Z = 112; 1996). Die Bildungsraten sanken allerdings von etwa einem Atom pro Tag für Bohrium auf etwa ein Atom pro sechs Wochen für Copernicium. Versuche, Element 113 mittels der Reaktion ${}^{\mathrm{70}}\text{Zn}+^{\mathrm{209}}$Bi zu synthetisieren, blieben erfolglos. Dies gelang schließlich einem Team am japanischen Forschungszentrum RIKEN in Wako nahe Tokio. In einer sich über einen Zeitraum von neun Jahren erstreckenden Serie von Experimenten mit einer Bestrahlungszeit von insgesamt 553 Tagen wurden drei von dem Nuklid ${}^{\mathrm{278}}$113 ausgehende radioaktive Zerfallsketten beobachtet.

Ende der 1990er Jahre wurden in Dubna die Syntheseexperimente unter Verwendung des besonders neutronenreichen Projektilkerns ${}^{\mathrm{48}}$Ca und Aktinidentargets wie z. B. ${}^{\mathrm{248}}$Cm wieder aufgenommen. Dank verbesserter Experimenttechnik und höherer zur Verfügung stehender Projektilstrahlintensitäten konnten die Messungen nun wesentlich empfindlicher durchgeführt werden als in den 1970er und 1980er Jahren, und so wurde nach und nach die Entdeckung der Elemente Z = 113 bis Z = 118 gemeldet. Die Halbwertszeiten der Isotope betrugen bis zu einige Sekunden. Ein Teil der Ergebnisse wurde mittlerweile am SHIP und dem gasgefüllten Separator TASCA bei der GSI sowie in Berkeley reproduziert. Die Entdeckung zweier Elemente wurde 2011 von der IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry) offiziell anerkannt. Sie wurden auf die Namen Flerovium (Z = 114) und Livermorium (Z = 116) getauft.

Bei der GSI konzentrierten sich in den letzten Jahren die Arbeiten auf Versuche zur Synthese der Elemente Z = 119 und Z = 120 in Bestrahlungen von ${}^{\mathrm{249}}$Bk und ${}^{\mathrm{249}}$Cf mit ${}^{\mathrm{50}}$Ti – Ionen für die Elemente Z = 119 und Z = 120 an TASCA sowie von ${}^{\mathrm{248}}$Cm mit ${}^{\mathrm{54}}$Cr und von ${}^{\mathrm{238}}$U mit ${}^{\mathrm{64}}$Ni für Element 120 an SHIP. Trotz monatelanger Bestrahlungen brachten sie bisher kein positives Ergebnis.

Mittlerweile wurden auch neuere theoretische Arbeiten auf der Basis selbstkonsistenter Hartree-Fock-Bogoliubov-Rechnungen und relativistischer Mean-Field-Modelle publiziert. Sie liefern, abweichend von den früheren Rechnungen, nun überwiegend Z = 120 oder gar Z = 126 und neben N = 184 auch N = 172 als Schalenabschlüsse.

Somit gilt heute zwar als sicher, dass der Rand der Insel der Stabilität erreicht ist, wie man auch aus der Abbildung erkennt. Wo nun genau das Zentrum liegt und wie stabil die Atomkerne dort sind, ist jedoch noch offen.

Dr. Fritz-Peter Heßberger (Jahrgang 1952) studierte Physik an der (damals noch) Technischen Hochschule Darmstadt. Nach einem Jahr Tätigkeit bei der Firma Kraftwerk Union AG wechselte er 1979 zur GSI. Seit 2009 leitet er dort kommissarisch die Abteilung SHE-Physik und in Personalunion die Sektion SHE-Physik am Helmholtz-Institut Mainz.

1. Hofmann, S., Münzenberg, G., „The discovery of heaviest elements“ Rev. Mod. Phys. 72, 2000, 733.

2. Oganessian, Y. T., „Synthesis of the heaviest elements in Ca-induced reactions“ Radiochim. Acta 99, 2011, 429.

3. Heßberger, F. P., „Discovery of the heaviest elements“ Chem. Phys. Chem 14, 2013, 483.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 34.1 • 

Steigt oder sinkt im Wasserstoffatom bei zunehmender Hauptquantenzahl n der Abstand aufeinanderfolgender Energieniveaus?

1.1.2 34.2 • 

Wie groß ist die Energie des Grundzustands des doppelt ionisierten Lithiumatoms (mit Z = 3), wobei $E_{0}=13{,}6\,{\text{eV}}$ ist? a) $-9\,E_{0}$, b) $-3\,E_{0}$, c) $-E_{0}/3$, d) $-E_{0}/9$.

1.1.3 34.3 • 

Ist gemäß dem Bohr’schen Atommodell die Gesamtenergie eines Elektrons höher oder geringer, wenn es sich auf einer Bahn mit größerem Radius befindet? Ist seine kinetische Energie dann größer oder kleiner?

1.1.4 34.4 • 

Der Radius der Bahn mit n = 1 ist im Bohr’schen Atommodell $a_{0}=0{,}053\,\text{nm}$. Wie groß ist der Radius der Bahn mit n = 5? a) $25\,a_{0}$, b) $5\,a_{0}$, c) a ₀, d) $a_{0}/5$, e) $a_{0}/25$.

1.1.5 34.5 • 

Welche Werte sind bei der Hauptquantenzahl n = 3 für die Quantenzahlen $\ell$ und $m_{\ell}$ jeweils möglich?

1.1.6 34.6 •• 

Warum ist im Natriumatom die Energie des 3s-Zustands deutlich geringer als die des 3p-Zustands, während im Wasserstoffatom beide Energien ähnlich hoch sind?

1.1.7 34.7 •• 

Mit dem Bohr’schen Atommodell und mit dem quantenmechanischen Modell (unter Verwendung der Schrödinger-Gleichung) ergeben sich beim Wasserstoffatom dieselben Energiewerte. Diskutieren Sie die Vorteile und die Nachteile beider Ansätze.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 34.8 •• 

a) Für ein Atom in einem Gas mit der Temperatur T kann man eine thermische De-Broglie-Wellenlänge $\lambda_{T}$ definieren. Dabei entspricht die Geschwindigkeit des Atoms der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit bei der jeweiligen Temperatur. (Die mittlere kinetische Energie eines Atoms ist $\frac{3}{2}\,k_{\mathrm{B}}\,T$, wobei $k_{\mathrm{B}}$ die Boltzmann-Konstante ist. Berechnen Sie damit die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit $v_{\mathrm{rms}}$ der Atome.) Zeigen Sie, dass gilt:

$$\lambda_{T}=\sqrt{\frac{h^{2}}{3\,m\,k_{\mathrm{B}}\,T}}\,,$$

wobei m die Masse des Atoms ist. b) Neutrale Atome bilden bei tiefer Temperatur ein sogenanntes Bose-Kondensat (einen besonderen Materiezustand), wenn ihre thermische De-Broglie-Wellenlänge größer wird als ihr mittlerer Abstand. Schätzen Sie anhand dieses Kriteriums die Temperatur ab, auf die abgekühlt werden muss, damit in einem Gas aus ${}^{85}$Rb-Atomen ein Bose-Kondensat entsteht, wenn die Anzahldichte der Atome $10^{12}\,\text{cm}^{-3}$ beträgt.

1.3 Das Bohr’sche Modell des Wasserstoffatoms

1.3.1 34.9 • 

Wie hoch ist jeweils die Energie eines Photons bei den drei größten Wellenlängen der Balmer-Serie des Wasserstoffatoms? Wie groß sind diese Wellenlängen?

1.3.2 34.10 •• 

Die Pickering-Serie im Spektrum des einfach ionisierten Heliumatoms (He${}^{+}$) besteht aus Linien, die von Übergängen in die Elektronenschale mit $n_{2}=4$ herrühren. Experimentell zeigt sich, dass jede zweite Linie der Pickering-Serie sehr nahe bei einer Linie der Balmer-Serie (also bei einem Übergang zu $n_{2}=2$) des Wasserstoffatoms liegt. a) Zeigen Sie, warum dies der Fall ist. b) Berechnen Sie die Wellenlänge beim Übergang von $n_{1}=6$ zu $n_{2}=4$ bei He${}^{+}$ und zeigen Sie, dass sie einer Wellenlänge der Balmer-Serie entspricht.

1.4 Quantenzahlen in Polarkoordinaten

1.4.1 34.11 • 

Ermitteln Sie für die Bahndrehimpulsquantenzahl $\ell=1$ eines Elektrons in einem Atom a) den Betrag L des Drehimpulses und b) die möglichen Werte der magnetischen Quantenzahl $m_{\ell}$. c) Zeichnen Sie ein maßstabsgerechtes Vektordiagramm, aus dem die möglichen Orientierungen von L relativ zur +z-Richtung hervorgehen.

1.4.2 34.12 •• 

Ermitteln Sie für einen Zustand eines Elektrons in einem Atom mit $\ell=2$:  a) das Betragsquadrat L ² des Drehimpulses, b) den Maximalwert von $L_{z}^{2}$ und c) den kleinstmöglichen Wert von $L_{x}^{2}+L_{y}^{2}$.

1.5 Quantentheorie des Wasserstoffatoms

1.5.1 34.13 •• 

Berechnen Sie für den Grundzustand des Wasserstoffatoms die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Bereich zwischen r und $r+\Updelta r$ (mit $\Updelta r=0{,}03\,a_{0}$) anzutreffen, und zwar a) bei $r=a_{0}$ bzw. b) bei $r=2\,a_{0}$.

1.5.2 34.14 •• 

Zeigen Sie, dass die Wellenfunktion

$$\psi_{1{,}0,0}=\frac{1}{\sqrt{\uppi}}\left(\frac{Z}{a_{0}}\right)^{\!3/2}\,\mathrm{e}^{-Zr/a_{0}}$$

für den Grundzustand des Wasserstoffatoms (Gleichung 34.32) eine Lösung der folgenden Schrödinger-Gleichung ist:

$$\begin{aligned}&\displaystyle-\frac{\hbar^{2}}{2\,m\,r^{2}}\;\frac{\partial}{{\,\mathrm{d}}r}\!\left(r^{2}\,\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)\\ &\displaystyle{}-\,\frac{\hbar^{2}}{2\,m\,r^{2}}\,\left[\frac{1}{\mathrm{sin\> }\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\mathrm{sin\> }\theta\,\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\text{sin}^{2}\,\theta}\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\phi^{2}}\right]\\ &\displaystyle{}+\,E_{\mathrm{pot}}(r)\;\psi=E\,\psi\,.\end{aligned}$$

Dabei ist die Abstandsabhängigkeit der potenziellen Energie durch Gleichung 34.25 gegeben:

$$E_{\mathrm{pot}}(r)=-\frac{1}{4\uppi\varepsilon_{0}}\,\frac{Z\,e^{2}}{r}\,.$$

1.5.3 34.15 •• 

Die radiale Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einem Ein-Elektronen-Atom im Grundzustand kann als $P(r)=C\,r^{2}\,\mathrm{e}^{-2Zr/a_{0}}$ ausgedrückt werden, wobei C eine Konstante ist. Zeigen Sie, dass $P(r)$ bei $r=a_{0}/Z$ maximal ist.

1.5.4 34.16 ••• 

Zeigen Sie, dass für die Hauptquantenzahl n im Wasserstoffatom die Anzahl der möglichen Zustände gleich $2\,n^{2}$ ist.

1.6 Spin-Bahn-Kopplung und Feinstruktur

1.6.1 34.17 • 

Die potenzielle Energie eines magnetischen Moments $\boldsymbol{\mu}{}$ in einem äußeren Magnetfeld B ist $E_{\mathrm{pot}}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\boldsymbol{B}$. a) Berechnen Sie die Energiedifferenz zwischen den beiden möglichen Orientierungen eines Elektrons im Magnetfeld $\boldsymbol{B}=(1{,}50\,\text{T})\,\boldsymbol{\widehat{z}}$. b) Wenn dieses Elektronen mit Photonen beschossen wird, deren Energie gleich dieser Energiedifferenz ist, dann kann ihr Spin „umklappen“. Ermitteln Sie die Wellenlänge der Photonen, die solche Übergänge bewirken können. Dieses Phänomen nennt man Elektronenspinresonanz.

1.6.2 34.18 • 

Skizzieren Sie ein maßstabsgerechtes Vektordiagramm und zeigen Sie daran, wie die Kombination des Bahndrehimpulses L und des Spindrehimpulses S beim Zustand mit $\ell=3$ des Wasserstoffatoms zwei mögliche Werte für den gesamten Drehimpuls J ergibt.

1.7 Das Periodensystem der Elemente

1.7.1 34.19 • 

Geben Sie die Elektronenkonfiguration im Grundzustand a) des Kohlenstoffatoms und b) des Sauerstoffatoms an.

1.8 Optische Spektren und Röntgenspektren

1.8.1 34.20 • 

Die optischen Spektren von Atomen mit zwei Elektronen in der Elektronenschale mit der höchsten Energie ähneln sich sehr. Sie unterscheiden sich jedoch wegen der Wechselwirkung dieser beiden Elektronen stark von den Spektren von Atomen mit nur einem Außenelektron in jeweils derselben Schale. Teilen Sie die nachfolgend genannten Elemente in zwei Gruppen mit jeweils ähnlichen Atomspektren ein: Lithium, Beryllium, Natrium, Magnesium, Kalium, Calcium, Chrom, Nickel, Cäsium und Barium.

1.8.2 34.21 • 

a) Berechnen Sie die beiden nächstgrößeren Wellenlängen nach derjenigen der K${}_{\alpha}$-Linie in der K-Serie des Molybdäns. b) Wie groß ist die kleinste Wellenlänge in dieser Serie?

1.8.3 34.22 •• 

Das einfach ionisierte Heliumatom ist ein wasserstoffähnliches Atom, hat jedoch die Kernladung $2\,e$. Seine Energieniveaus sind gegeben durch $E_{n}=-4\,E_{0}/n^{2}$, wobei $n=1{,}2,\ldots$ und $E_{0}=13{,}6\,{\text{eV}}$ ist. Nehmen Sie an, sichtbares weißes Licht tritt durch Heliumgas hindurch, dessen Atome sämtlich einfach ionisiert sind. Bei welchen Wellenlängen treten im Spektrum des durchgelassenen Lichts dunkle Linien auf? (Sämtliche Ionen sollen sich vor der Einstrahlung im Zustand E ₁ befinden.)

1.9 Laser

1.9.1 34.23 • 

Ein Puls von einem Rubinlaser hat eine mittlere Leistung von 10 MW und eine Dauer von 1,5 ns. a) Wie hoch ist seine Gesamtenergie? b) Wie viele Photonen werden bei diesem Puls emittiert?

1.10 Allgemeine Aufgaben

1.10.1 34.24 • 

Die Wellenlänge einer Spektrallinie des Wasserstoffatoms beträgt 97,254 nm. Welchem Übergang, der zum Grundzustand führt, entspricht sie?

1.10.2 34.24 • 

Im Jahre 1947 zeigten Lamb und Retherford, dass zwischen den Zuständen 2S${}_{1/2}$ und 2P${}_{1/2}$ eine geringe Energiedifferenz besteht. Lamb ermittelte die inzwischen nach ihm benannte Lamb-Verschiebung experimentell, wobei er mithilfe elektromagnetischer Strahlung sehr großer Wellenlänge Übergänge zwischen diesen Zuständen auslöste. Die Lamb-Verschiebung beträgt $4{,}372\cdot 10^{-6}\,{\text{eV}}$ und wird in der Quantenelektrodynamik mit Fluktuationen im Energieniveau des Vakuums erklärt. a) Welche Frequenz hat ein Photon, dessen Energie derjenigen der Lamb-Verschiebung entspricht? b) Wie groß ist seine Wellenlänge, und zu welchem Spektralbereich gehört es?

1.10.3 34.26 • 

Unter einem Rydberg-Atom versteht man ein Atom, in dem ein äußeres Elektron in einen sehr hoch angeregten Zustand ($n\approx 40$ oder höher) versetzt ist. Solche Atome sind nützlich, wenn man den Übergang vom quantenmechanischen zum klassischen Verhalten experimentell untersuchen will. Derartige angeregte Zustände haben eine extrem lange Lebensdauer (d. h., die Elektronen befinden sich sehr lange in ihnen). Nehmen Sie an, bei einem Wasserstoffatom ist n = 45. a) Wie hoch ist die Ionisierungsenergie des Atoms in diesem Zustand? b) Wie groß ist der Energieunterschied (in eV) zwischen diesem Zustand und dem mit n = 44? c) Wie groß ist die Wellenlänge eines Photons, das Resonanz mit dem Übergang zwischen diesen beiden Zuständen zeigt? d) Wie groß ist der Radius des Atoms im Zustand mit n = 45?

1.10.4 34.27 •• 

Der Ausdruck $\alpha=\frac{1}{4\uppi\varepsilon_{0}}\,e^{2}/(\hbar\,c)$ mit der Coulomb-Konstante $1/(4\uppi\varepsilon_{0})$ wird in der Atomphysik als Feinstrukturkonstante bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass α dimensionslos ist. b) Zeigen Sie, dass im Bohr’schen Modell des Wasserstoffatoms gilt: $v_{n}=c\,\alpha/n$, wobei v _n die Geschwindigkeit des Elektrons im Zustand mit der Quantenzahl n ist.

1.10.5 34.28 •• 

Damit im Röntgenspektrum eines Elements eine K-Linie beobachtet werden kann, muss zunächst eines der Elektronen der K-Schale (mit n = 1) aus dem Atom entfernt werden. Dazu beschießt man das Metall gewöhnlich mit Elektronen, deren Energie so hoch ist, dass ein solches stark gebundenes Elektron herausgeschlagen wird. Welche Elektronenenergie ist mindestens nötig, damit die K-Linien bei a) Wolfram, b) Molybdän bzw. c) Kupfer beobachtet werden können?