Anwendungen der Schrödinger-Gleichung

Zusammenfassung

In Kapitel 32 haben wir festgestellt, dass Elektronen und andere Teilchen Welleneigenschaften haben und daher durch eine Wellenfunktion ${\varPsi}(x,t)$ beschrieben werden können. Wir haben die Schrödinger-Gleichung als die Gleichung kennengelernt, die diese Wellenfunktionen erfüllen. Nun wollen wir uns mit einigen Anwendungsbeispielen dieser Gleichung und den sich daraus ergebenden Lösungen beschäftigen. Dabei werden wir feststellen, dass die in Kapitel 12 behandelten stehenden Wellen eine große Rolle spielen.

Mit dem Rastertunnelelektronenmikroskop können einzelne Atome auf einer Oberfläche bewegt und abgebildet werden. Besonders faszinierend sind Bilder von Quantenkäfigen, also kreisförmigen oder elliptischen Anordnungen an der Oberfläche. In ihnen können die Wellen sichtbar gemacht werden, die den Elektronen nahe der Substratoberfläche entsprechen. Dieses Bild, entstanden in den Forschungslabors der IBM, zeigt 36 Kobaltatome, die auf einer Kupferoberfläche elliptisch angeordnet sind. Ein weiteres Kobaltatom wurde an einem Brennpunkt der Ellipse platziert und verursacht Wechselwirkungen mit den Elektronenwellen an der Oberfläche. Die Wellen scheinen auch mit einem „virtuellen“ Kobaltatom am anderen Brennpunkt wechselzuwirken, das sich dort jedoch gar nicht befindet. (© IBM Corporation.)

? Könnte das nicht vorhandene Kobaltatom durch Reflexionen von Wellen an der Käfigwand der Kobaltatome vorgetäuscht werden? (Siehe Abschnitt 33.4.)

Appendices

Im Kontext: Spinnetzwerke und -schäume: Auf der Suche nach einer Quantisierung der Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie (ART) beschreibt die gravitative Wechselwirkung durch die Geometrie der vierdimensionalen Raumzeit: Massen krümmen Zeit und Raum, und diese Krümmung beeinflusst wiederum die Bahn von Teilchen bzw. die Ausbreitung von Feldern.

Dabei ist die ART immer noch eine „klassische“ Theorie, d. h., sie berücksichtigt keinerlei Quanteneffekte. Genau wie die anderen drei Grundkräfte müsste die Gravitation allerdings – allein schon aus Gründen der Konsistenz – auch den Regeln der Quantenphysik gehorchen. Seit vielen Jahren sind Physiker daher auf der Suche nach einer Quantentheorie der gravitativen Wechselwirkung, die die ART als klassischen Grenzfall enthält.

© Benjamin Bahr, Wikimedia Commons, Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

Die Gravitation unterscheidet sich dabei in einem Punkt radikal von den anderen drei Wechselwirkungen: Anders als diese wird sie nicht durch ein Feld beschrieben, das auf einer Raumzeit mit festgelegter Geometrie propagiert, sondern durch die Geometrie der Raumzeit selbst, repräsentiert durch die Lorentz’sche Metrik $g_{\mu\nu}$. Die ART ist daher „hintergrundunabhängig“, was sich auch im Prinzip der allgemeinen Kovarianz widerspiegelt.

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Seit dem Ende des 20. Jahrhunderts wird fieberhaft daran geforscht, das Konzept der Hintergrundunabhängigkeit mit den fundamentalen Prinzipien der Quantentheorie zu vereinen. Eine vielversprechende Kandidatin hierfür ist die Schleifenquantengravitation (loop quantum gravity, LQG). Der dreidimensionale Raum ist der LQG zufolge kein Kontinuum aus Punkten, sondern ein sogenanntes Spinnetzwerk. Die Knoten dieses Netzwerks sind demzufolge „gequantelter Raum“, und die Verbindungen geben an, welche Raumbereiche benachbart sind und welche nicht. Ein Spinnetzwerk enthält zusätzliche Quantenzahlen (ähnlich wie die Wellenfunktion des Elektrons im Wasserstoffatom), aus der man geometrische Größen wie Volumina und Flächen ablesen kann. Interessanterweise ist diese Geometrie notwendigerweise gequantelt, d. h., es gibt z. B. einen kleinsten nichtverschwindenden Flächeninhalt (von ungefähr einer Planckfläche, also $l_{\mathrm{p}}^{2}=2{,}6\cdot 10^{-70}\,\text{m}^{2}$).

Die zeitliche Entwicklung – und damit die Dynamik – eines Spinnetzwerks beschreibt einen sogenannten Spinschaum (spin foam), der seinen Namen aus der Ähnlichkeit mit einer Ansammlung unzähliger kleiner Seifenhäute bezieht. Eines der drängenden Probleme, mit denen sich unsere Arbeitsgruppe am II. Institut für Theoretische Physik der Universität Hamburg beschäftigt, ist die Renormierung der LQG. Dabei geht es um die Frage, wie man die Dynamik eines Spinnetzwerks beschreiben kann, das über extrem viele Knoten verfügt. Damit verbunden ist die folgende Frage: Verhält sich die LQG im klassischen Grenzfall wie die ART? Aus zahlreichen Beispielen weiß man, dass sich Systeme mit extrem vielen einfachen Freiheitsgraden oft sehr komplex verhalten: So ordnen sich 10²³ Atome – in Abhängigkeit von äußeren Parametern wie Druck und Temperatur – entweder als Flüssigkeit oder als Festkörper an. Genauso können sich Spinnetzwerke auf großen Skalen entweder wie vierdimensionale, glatte Raumzeiten verhalten oder aber völlig ungeometrisch. Es ist daher wichtig sicherzustellen, dass sie sich aufgrund der Dynamik bevorzugt in „geometrischen Phasen“ anordnen. Nur so ist die Verbindung zur ART gewährleistet.

Es gibt verschiedene Hinweise, auch aus verwandten Ansätzen zur Quantengravitation, dass das Verhalten der Spinschäume deutlich komplizierter ist als ursprünglich angenommen. So konnte man mithilfe von kausalen dynamischen Triangulierungen zeigen, dass die Dimension der vom Spinschaum beschriebenen Raumzeit von der Skala abhängt: Auf kleinen Abständen (in der Größenordnung einiger Plancklängen) faltet sich der Spinschaum so, dass es effektiv nur eine Raum- und eine Zeitdimension gibt. Erst über größere Abstände gemittelt sieht ein Spinschaum überhaupt vierdimensional aus. Was die Ursache dieses Phänomens der dimensionalen Reduktion ist, ist – wie auch viele andere Aspekte der LQG – noch nicht verstanden.

Dr. Benjamin Bahr wurde 1980 in Eckernförde geboren und hat sich schon früh für die Grundlagen der Physik interessiert. Er studierte Physik in Kaiserslautern, Göttingen sowie Cambridge und schloss seine Doktorarbeit am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik in der Schleifenquantengravitation ab. Er war Research Fellow am Peterhouse College der Universität Cambridge und leitet zur Zeit eine Emmy-Noether-Nachwuchsforschungsgruppe am II. Institut für Theoretische Physik an der Universität Hamburg.

© Benjamin Bahr, Wikimedia Commons, Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication.

Perez, A., „Introduction to Loop Quantum Gravity and Spin Foams“, http://arxiv.org/abs/grqc/0409061 (Stand: Juni 2013).

Rovelli, C., Quantum Gravity (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

Thiemann, T., Modern Canonical Quantum General Relativity (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). Cambridge University Press, Cambridge, 2008.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 33.1 • 

Skizzieren Sie für den Zustand n = 4 eines Teilchens in einem Kasten mit endlich hohem Potenzial a) die Wellenfunktion und b) die Wahrscheinlichkeitsdichte.

1.2 Die Schrödinger-Gleichung

1.2.1 33.2 •• 

Angenommen, $\psi_{1}(x)$ und $\psi_{2}(x)$ sind Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. Zeigen Sie, dass dann auch $\psi_{3}(x)=\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)$ eine Lösung ist. Diese Beziehung beschreibt das sogenannte Superpositionsprinzip, das für die Lösungen aller linearen Differenzialgleichungen gilt.

1.3 Der harmonische Oszillator

1.3.1 33.3 •• 

Mit dem Modell des harmonischen Oszillators kann man auch Schwingungen in Molekülen annähernd beschreiben. Beispielsweise weist das Wasserstoffmolekül H${}_{2}$ äquidistante Energieniveaus der Schwingung auf, deren Abstand $8{,}7\cdot 10^{-20}\,\text{J}$ beträgt. Wie hoch wäre dabei die Federkonstante, wenn man sich das halbe Molekül als einzelnes Wasserstoffatom vorstellt, das über eine Feder mit einer festen Wand verbunden ist? Hinweis: Der Abstand der Energieniveaus dieses halben Moleküls ist halb so groß wie der Abstand der Energieniveaus des vollständigen Moleküls. Außerdem ist die Kraftkonstante einer Feder umgekehrt proportional zu ihrer Länge im entspannten Zustand; wenn also die Hälfte der Feder die Kraftkonstante $k_{\textrm{F}}$ hat, dann hat die gesamte Feder die Kraftkonstante $\frac{1}{2}\,k_{\textrm{F}}$.

1.3.2 33.4 •• 

Zeigen Sie, dass für den Grundzustand des harmonischen Oszillators mit der Wellenfunktion $\psi_{0}(x)=A_{0}\> \mathrm{e}^{-ax^{2}}$ und der Normierungskonstante $A_{0}=(2\,m\,\omega_{0}/h)^{1/4}$ gilt:

$$\langle x^{2}\rangle=\int x^{2}\,|\psi|^{2}\,{\,\mathrm{d}}x=\frac{\hbar}{2\,m\,\omega_{0}}=\frac{1}{4\,a}\,.$$

Zeigen Sie damit, dass die mittlere potenzielle Energie gleich der halben Gesamtenergie ist.

1.3.3 33.5 ••• 

Nach den Gesetzen der klassischen Physik ist die mittlere kinetische Energie des harmonischen Oszillators gleich seiner mittleren potenziellen Energie. Nehmen Sie an, dass dies auch für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator gilt. Bestimmen Sie unter Verwendung des Ergebnisses von Aufgabe 33.4 den Erwartungswert von $p_{x}^{2}$ (wobei $p_{x}=m\,v_{x}$ ist) für den Grundzustand des eindimensionalen harmonischen Oszillators.

1.4 Reflexion und Transmission von Elektronenwellen: Barrierendurchdringung

1.4.1 33.6 •• 

Ein Teilchen mit der Energie E trifft auf eine Potenzialbarriere der Höhe W ₀. Wie hoch muss der Quotient $E/W_{0}$ sein, damit der Reflexionskoeffizient gleich $\frac{1}{2}$ ist?

1.4.2 33.7 •• 

Ein Elektron mit der kinetischen Energie 10 eV trifft auf eine Potenzialbarriere der Höhe 25 eV und der Breite 1,0 nm. a) Berechnen Sie mit Gleichung 33.25 die Größenordnung der Wahrscheinlichkeit, mit der das Elektron durch die Barriere tunnelt. b) Wiederholen Sie die Berechnung für eine Barrierenbreite von 0,10 nm.

1.5 Die Schrödinger-Gleichung in drei Dimensionen

1.5.1 33.8 •• 

Ein Teilchen ist in einem dreidimensionalen Kasten mit den Kantenlängen d ₁ und $d_{2}=2\,d_{1}$ sowie $d_{3}=3\,d_{1}$ eingeschlossen. a) Ermitteln Sie die Quantenzahlen n ₁, n ₂ und n ₃ des Teilchens für die zehn energetisch niedrigsten Quantenzustände. (Hierfür kann ein Tabellenkalkulationsprogramm hilfreich sein.) b) Gibt es Quantenzahlen, die entarteten Energieniveaus entsprechen, und welche sind dies gegebenenfalls? c) Geben Sie eine Wellenfunktion für den fünften angeregten Zustand an. (Es gibt nur fünf Zustände, die Energien unterhalb des Energieniveaus des fünften angeregten Zustands haben.)

1.5.2 33.9 •• 

Ein Teilchen ist darauf beschränkt, sich innerhalb eines zweidimensionalen Gebiets frei zu bewegen, das definiert ist durch $0\leq x\leq d$ und $0\leq y\leq d$. Ermitteln Sie a) die Wellenfunktionen, die diese Bedingungen erfüllen und Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, b) die diesen Wellenfunktionen entsprechenden Energien, c) die Quantenzahlen der zwei energetisch niedrigsten entarteten Zustände, d) die Quantenzahlen der drei energetisch niedrigsten Zustände mit gleichen Energien.

1.6 Die Schrödinger-Gleichung für zwei identische Teilchen

1.6.1 33.10 • 

Wie hoch ist die Energie des Grundzustands von sieben identischen, nicht wechselwirkenden Fermionen in einem eindimensionalen Kasten der Länge d? (Da die mit dem Spin korrelierte Quantenzahl zwei Werte haben kann, kann jeder räumliche Zustand zwei Fermionen enthalten.)

1.7 Orthogonalität von Wellenfunktionen

Das Integral zweier Funktionen über dasselbe Raumintervall weist Analogien zum Skalarprodukt zweier Vektoren auf. Wenn dieses Integral null ist, dann bezeichnet man die Funktionen als orthogonal (was zwei aufeinander senkrecht stehenden Vektoren entspricht). Die folgende Aufgabe illustriert das Prinzip, nach dem zwei Wellenfunktionen orthogonal sind, die verschiedenen Energiezuständen im selben Potenzial entsprechen. Hinweis: Das Integral $\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)$ ist gleich null, wenn x ₁ gleich $-x_{2}$ ist und wenn $f(x)$ gleich $-f(-x)$ ist.

1.7.1 33.11 •• 

Die Wellenfunktionen $\psi_{n}(x)=A\mathrm{sin\> }(n\uppi x/d)$, mit $n=1{,}2,3,\ldots$, entsprechen einem Teilchen in einem Kasten, der sich von 0 bis d erstreckt und ein unendlich hohes Potenzial hat. Zeigen Sie, dass hierfür gilt: $\int_{0}^{d}\psi_{m}(x)\,\psi_{n}(x)\,{\,\mathrm{d}}x=0$, wenn m und n ganze positive Zahlen sind und $m\neq n$ ist. Mit anderen Worten: Zeigen sie, dass die Wellenfunktionen orthogonal sind.

1.8 Allgemeine Aufgaben

1.8.1 33.12 •• 

Ein Teilchen ist in einem zweidimensionalen Kasten eingeschlossen, wobei folgende Randbedingungen gelten: $E_{\mathrm{pot}}(x,y)=0$ für $-d/2\leq x\leq d/2$ und $-3\,d/2\leq y\leq 3\,d/2$ sowie $E_{\mathrm{pot}}=\infty$ außerhalb dieser Bereiche. a) Bestimmen Sie die Energien der drei energetisch niedrigsten Zustände. Sind unter ihnen entartete Zustände? b) Ermitteln Sie die Quantenzahlen der zwei energetisch niedrigsten entarteten Zustände und berechnen Sie deren Energie.

1.8.2 33.13 ••• 

In dieser Aufgabe soll der Ausdruck für die Energie des Grundzustands des harmonischen Oszillators hergeleitet werden, und zwar mit der exakten Formulierung der Heisenberg’schen Unschärferelation: $\Updelta x\,\Updelta p_{x}\geq\hbar/2$. Darin sind $\Updelta x$ und $\Updelta p_{x}$ als die Standardabweichungen definiert:

$$(\Updelta x)^{2}=\langle(x-\langle x\rangle)^{2}\rangle$$

und

$$(\Updelta p_{x})^{2}=\langle(p_{x}-\langle p_{x}\rangle)^{2}\rangle\,.$$

Gehen Sie folgenermaßen vor:

• 1. Stellen Sie den klassischen Ausdruck für die Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Position x und vom Impuls p _x auf. Verwenden Sie dabei die Beziehungen $E_{\mathrm{pot}}(x)=\frac{1}{2}\,m\,\omega_{0}^{2}\,x^{2}$ und $E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}\,p_{x}^{2}/m$.

• 2. Zeigen Sie, dass gilt:

  $$(\Updelta x)^{2}=\langle(x-\langle x\rangle)^{2}\rangle=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}$$

  und

  $$(\Updelta p_{x})^{2}=\langle(p_{x}-\langle p_{x}\rangle)^{2}\rangle=\langle p_{x}^{2}\rangle-\langle p_{x}\rangle^{2}\,.$$

  Hinweis: Siehe Gleichungen 1.12a und 1.12b.

• 3. Zeigen Sie anhand der Symmetrie der Funktion der potenziellen Energie, dass $\langle x\rangle$ und $\langle p_{x}\rangle$ null sein müssen, sodass gilt: $(\Updelta x)^{2}=\langle x^{2}\rangle$ und $(\Updelta p_{x})^{2}=\langle p_{x}^{2}\rangle$.

• 4. Setzen Sie $\Updelta p_{x}\,\Updelta x=\hbar/2$ und eliminieren Sie damit $\langle p_{x}^{2}\rangle$ aus dem Ausdruck

  $$\langle E\rangle=\langle{\textstyle\frac{1}{2}}\,p_{x}^{2}/m+{\textstyle\frac{1}{2}}\,m\,\omega_{0}^{2}\,x^{2}\rangle={\textstyle\frac{1}{2}}\,\langle p_{x}^{2}\rangle/m+{\textstyle\frac{1}{2}}\,m\,\omega_{0}^{2}\langle x^{2}\rangle$$

  für die mittlere Energie. Schreiben Sie für die mittlere Energie: $\langle E\rangle=\hbar^{2}/(8\,m\,Z)+\frac{1}{2}\,m\,\omega_{0}^{2}\,Z$, wobei $Z=\langle x^{2}\rangle$ ist.

• 5. Setzen Sie ${\,\mathrm{d}}E/{\,\mathrm{d}}Z=0$, um den Wert von Z zu ermitteln, für den E ein Minimum hat.

• 6. Zeigen Sie, dass die minimale mittlere Energie gegeben ist durch $\langle E\rangle_{\mathrm{min}}=+\frac{1}{2}\,\hbar\,\omega_{0}$.

1.8.3 33.14 ••• 

Ein Teilchen mit der Masse m, das sich nahe der Erdoberfläche bei z = 0 befindet, hat folgende potenzielle Energie:

$$\begin{aligned}E_{\mathrm{pot}}=m\,g\,z&\quad\text{f{\"u}r}\quad z> 0\\ E_{\mathrm{pot}}=\infty&\quad\text{f{\"u}r}\quad z<0\,.\end{aligned}$$

Skizzieren Sie die Abhängigkeit der potenziellen Energie $E_{\mathrm{pot}}$ von der Höhe z und zeichnen Sie für irgendeinen positiven Wert der Gesamtenergie E das nach den klassischen Gesetzen erlaubte Gebiet ein. Skizzieren Sie auch die Abhängigkeit der klassischen kinetischen Energie von z. Die Schrödinger-Gleichung ist in diesem Fall schwierig zu lösen. Bewerten Sie ähnlich wie in Abschnitt 33.2 die Krümmung der Wellenfunktion, wie sie durch die Schrödinger-Gleichung gegeben ist. Skizzieren Sie den Verlauf der Wellenfunktion für den Grundzustand und für die beiden ersten angeregten Zustände.