Wechselstromkreise

Zusammenfassung

Über 99 % der Elektroenergie werden heute weltweit von Generatoren als Wechselstrom erzeugt. Die Energie lässt sich in Hochspannungsleitungen nahezu verlustfrei über große Entfernungen transportieren, denn bei hohen Spannungen und damit verbundenen niedrigen Stromstärken sind die Leistungsverluste in Form von Joule’scher Wärme minimal. Für die Verteilung vor Ort und den Gebrauch im Haushalt wird die Energie wieder auf Niederspannung (und entsprechend höhere Stromstärke) umgesetzt. Zur Umwandlung der Stromstärken und Spannungen dienen Transformatoren. Sie arbeiten auf der Grundlage der magnetischen Induktion genauso wie Wechselstromgeneratoren.

Die junge Radiohörerin stellt ihren Lieblingssender ein. Durch das Drehen am Abstimmknopf ändert sich die Resonanzfrequenz eines elektrischen Schwingkreises im Tuner, und nur das Signal des ausgewählten Senders wird verstärkt. (© Roger Ressmeyer/Corbis.)

? Welche Eigenschaft des Schwingkreises wird durch das Drehen des Wahlknopfs beeinflusst? (Siehe Beispiel 26.11.)

Appendices

Im Kontext: Das elektrische Leitungsnetz: Vom Kraftwerk bis zur Steckdose

Die Mehrheit der Weltbevölkerung ist heute von einer zuverlässig funktionierenden Stromversorgung abhängig. Zum verlustarmen Transport von Elektroenergie über weite Entfernungen ist ein Netz aus Generatoren, Umspannwerken, Transformatorstationen und Leitungen erforderlich.${}^{1}$ 2005 umfasste das deutsche Energieversorgungsnetz rund 1,7 Millionen Kilometer – davon waren 36 000 km Höchstspannungsleitungen (220 oder 380 kV) zur überregionalen Stromverteilung – und außerdem mehr als eine halbe Million Transformatorstationen.${{}^{2}}$ Da das Stromnetz weltweit ständig wächst${}^{3{,}4,5}$ und immer komplizierter wird, nimmt auch die Zahl der Schwachstellen zu. Das deutsche Versorgungsnetz gehört europaweit zu den stabilsten; im Jahr 2006 entfielen auf jeden Kunden nur 21,53${}^{6}$ Minuten Unterbrechungszeit.

Diese Satellitenaufnahmen von Nordamerika und Kanada zeigen die Auswirkungen des Stromausfalls am 14. August 2003, einem Donnerstagabend. Das obere Bild wurde 20 Stunden vor dem Blackout aufgezeichnet, das untere sieben Stunden danach. (© Mit freundlicher Genehmigung von Chris Eldridge/U.S. Airforce.)

Die meisten Netzprobleme sind lokaler Natur: Wetterphänomene, Tiere${{}^{7}}$ oder das Versagen technischer Geräte${{}^{8}}$ führen zu kleineren, schnell behebbaren Ausfällen, die ihrerseits Rückschlüsse auf generelle Schwächen des Netzes zulassen. Die wichtigste Ursache für Stromausfälle sind Spannungsspitzen in Leitungen und Transformatoren. Um den Schaden zu begrenzen, werden dann die betroffenen Leitungsabschnitte durch Schaltschütze abgeschaltet. Gelegentlich kommt es auch durch kurzzeitige Überlastung der örtlichen Kraftwerke zu Stromausfällen.

Die eigentlich zur örtlichen Schadensbegrenzung gedachten Mechanismen können in ungünstigen Fällen zu einer kaskadenartigen Ausbreitung des Stromausfalls im amerikanischen oder europäischen Netz führen. In einem Wasserkraftwerk im Süden Ontarios wurde im November 1965 ein Relais ausgelöst. Der Strom der betroffenen Leitung wurde auf fünf andere Leitungen umgeleitet, deren Relais daraufhin ebenfalls ausgelöst wurde. Durch den dramatischen Lastabfall beschleunigten die Generatoren – die Generatorspannung war dann mit der Netzspannung, die andere Einspeiser lieferten, nicht mehr phasengleich.${}^{9}$ Innerhalb weniger Minuten schaltete sich Leitung für Leitung ab. Zahlreiche Generatoren liefen ohne Last und gingen außer Betrieb. Nach vier Sekunden hatte die Abschaltungswelle den gesamten Nordosten der Vereinigten Staaten erfasst; nach fünf Minuten standen die meisten Generatoren still, und über 30 Millionen Menschen hatten stundenlang keinen elektrischen Strom. Nach diesem Blackout wurde ein Gremium zur Überwachung des amerikanischen Versorgungsnetzes bestellt, der National Electric Reliability Council.${}^{10}$ In Kontinentaleuropa übernimmt solche Aufgaben vor allem die UCTE (Union for the Coordination of Transmission of Electricity). Im deutschen Versorgungsnetz wird durch staatliche Auflagen eine hohe Netzstabilisierung erzwungen, historisch auch dadurch bedingt, dass die öffentlichen Versorger zunehmend nach amerikanischem Vorbild privatisiert wurden.

Maßnahmen zur Koordinierung der Einspeiser und Abnehmer konnten seitdem viele, aber nicht alle großräumigen Stromausfälle verhindern.${}^{11{,}12}$ Im Juli 1977 schlug ein Blitz in eine Überlandleitung in New York ein, und die Schutzschalter lösten aus. Der Netzbetreiber reagierte nur langsam${}^{13}$, und ganz New York City musste drei Tage ohne Strom auskommen. ${}^{14}$ Im August 2003 führte das unglückliche Zusammentreffen eines Kurzschlusses durch einen nicht zurückgeschnittenen Baum mit einer hohen Netzlast und unzureichender Kommunikation zu einem Stromausfall im Nordosten der Vereinigten Staaten bis nach Kanada. 50 Millionen Abnehmer saßen teils mehrere Tage lang im Dunkeln.${}^{15}$

Um solche dramatischen Ausfälle zu verhindern, sucht man ständig nach Möglichkeiten zur technischen Verbesserung des Versorgungsnetzes. Nützlich in diesem Zusammenhang ist Software, die eine zeitnahe Überwachung und flexible Steuerung${}^{16}$ der Auslastung einzelner Netzsegmente erlaubt. Hinzu kommen optimierte Wartungsmethoden, Übertragungsleitungen mit höherer Kapazität und verbesserte Umspannanlagen.${}^{17{,}18}$

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• 1. The Electricity Delivery System. United States Department of Energy, Office of Electricity Delivery and Energy Reliability, Februar 2006. http://www.energetics.com/gridworks/pdfs/factsheet.pdf (Stand: April 2009).

• 2. http://www.fair-pr.com/background/deutsches-hochspannungsnetz.php.

• 3. Harris, J. L. et al., „Peak Demand and Energy Projection Bandwidths 2005–2014 Regional and National“, National Energy Reliability Council, 14. September 2005. http://www.nerc.com/docs/pc/lfwg/Final_NERC_2005-2014_REGIONAL_BANDWIDTH_REPORT.pdf (Stand: April 2009).

• 4. „Towards National Power Grid“, Prayas Energy Group. http://www.prayaspune.org/peg/publications/Nat1_whshp_mar07_086A01.pdf (Stand: März 2007).

• 5. Chow, J., Kopp, R. und Portney, P., „Energy Resources and Global Development“, Science, 28. November 2003, 302, S. 1528–1531.

• 6. Bundesnetzagentur, „Monitoringbericht 2008 – Entwicklung des Strom- und Gasmarkts“. Abzurufen bei www.bundesnetzagentur.de.

• 7. Orso, J., „Bangor Hit with Power Outage“, La Crosse Tribune, 16. Juli 2006.

• 8. Chowdhury, A. et al., „MAPP Bulk Transmission System Outage Report“, Mid-Continent Area Power Pool, Juni 2001. http://www.mapp.org/assets/pdf/BTOR19_1.PDF (Stand: April 2009).

• 9. U.S. Federal Power Commission, „Northeast Power Failure: November 9 and 10, 1965“, Washington, DC: U.S. Government Printing Office. http://blackout.gmu.edu/archive/pdf/fpc_65.pdf (Stand: April 2009).

• 10. Blackout History Project, „The Great Northeast Blackout of 1965“, http://www.blackout.gmu.edu/events/tl1965.html (Stand: April 2009).

• 11. California Independent System Operator, „Load Reduction Programs“, California Independent System Operator Procedure E-511, 7. April 2009. http://www.caiso.com/docs/2000/06/15/200006151111359621.pdf (Stand: April 2009).

• 12. „Emergency Manual Load Shedding“, California Independent System Operator Procedure E-502, 12. September 2008. http://www.caiso.com/docs/1998/12/02/1998120218100812000.pdf (Stand: April 2009).

• 13. Boffey, P. M., „Investigators Agree N. Y. Blackout of 1977 Could Have Been Avoided“, Science, 15. September 1978, 201, Nr. 4360, S. 994–998.

• 14. Metz, W. D., „New York Blackout: Weak Links Tie Con Ed to Neighboring Utilities.“ Science, 29. Juli 1977, 197, Nr. 4302, S. 441–442.

• 15. U.S.-Canada Power System Outage Task Force, „Final Report on the August 14, 2003 Blackout in the United States and Canada: Causes and Recommendations“, http://www.nerc.com/docs/docs/blackout/ch1-3.pdf (Stand: April 2009).

• 16. Brown, E., „Creating Stability in a World of Unstable Electricity Distribution“, Logos, Argonne National Laboratories, Frühjahr 2004, 22, Nr. 1. http://www.anl.gov/Media_Center/logos22-1/electricity.htm (Stand: April 2009).

• 17. Office of Electric Transmission and Distribution, „GridWorks Multi-Year Plan“, United States Department of Energy. http://www.oe.energy.gov/DocumentsandMedia/multiyearplan_final.pdf (Stand: April 2009).

• 18. U.S.-Canada Power System Outage Task Force, „The August 14, 2003 Blackout One Year Later: Actions Taken in the United States and Canada to Reduce Blackout Risk“, Natural Resources Canada and the U.S. Department of Energy, 13. August 2004. http://www.nerc.com/docs/docs/blackout/Blackout-OneYearLater.pdf (Stand: April 2009).

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 26.1 • 

Was geschieht mit der maximalen Spannung in einem Wechselstromkreis, wenn man die effektive Spannung verdoppelt? a) Sie verdoppelt sich auch. b) Sie halbiert sich. c) Sie nimmt um den Faktor $\sqrt{2}$ zu. d) Sie verändert sich nicht.

1.1.2 26.2 • 

Betrachten Sie den Stromkreis in Abbildung 26.27. Wie ändert sich der induktive Blindwiderstand der Spule, wenn die Frequenz der Wechselspannung verdoppelt wird? a) Er verdoppelt sich auch. b) Er ändert sich nicht. c) Er halbiert sich. d) Er vervierfacht sich.

Abb. 26.27

Zu Aufgabe 26.2.

1.1.3 26.3 • 

Betrachten Sie den Stromkreis in Abbildung 26.28. Wie ändert sich der kapazitive Blindwiderstand des Kreises, wenn die Frequenz der Wechselspannung verdoppelt wird? a) Er verdoppelt sich auch. b) Er ändert sich nicht. c) Er halbiert sich. d) Er vervierfacht sich.

Abb. 26.28

Zu Aufgabe 26.3.

1.1.4 26.4 • 

Wenn Sie mit dem Auto zwischen zwei Städten unterwegs sind, können Sie auf der eingestellten Empfangsfrequenz Ihres Autoradios manchmal zwei Sender gleichzeitig hören. Erklären Sie, wie es dazu kommt.

1.1.5 26.5 • 

Richtig oder falsch? a) Bei Frequenzen weit oberhalb oder weit unterhalb der Resonanzfrequenz eines RLC-Reihenschwingkreises ist der Gütefaktor nahezu null. b) Der Gütefaktor eines RLC-Reihenschwingkreises ist umso größer, je größer dessen Bandbreite ist. c) Die Bandbreite eines RLC-Reihenschwingkreises nimmt mit dem Ohm’schen Widerstand des Kreises zu.

1.1.6 26.6 • 

Betrachten Sie einen idealen Transformator mit n ₁ Windungen auf der Primär- und n ₂ Windungen auf der Sekundärspule. Bei gegebener Primärspannung U ₁ werde an einem Lastwiderstand R im Sekundärkreis eine mittlere Leistung P ₂ umgesetzt. Fließt in der Primärspule dann der Strom a) $P_{2}/U_{1}$, b) $\left(n_{1}/n_{2}\right)\left(P_{2}/U_{1}\right)$, c) $\left(n_{2}/n_{1}\right)\left(P_{2}/U_{1}\right)$ oder d) $\left(n_{2}/n_{1}\right)^{2}\left(P_{2}/U_{1}\right)$?

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

1.2.1 26.7 •• 

Die in Motoren, Transformatoren und Elektromagneten enthaltenen Spulen haben Ohm’sche Widerstände und induktive Blindwiderstände. Eine große Industrieanlage nehme bei Volllast eine elektrische Leistung von $2{,}3\,\mathrm{MW}$ auf. Der Phasenwinkel der Gesamtimpedanz der Anlage betrage dann $25^{\circ}$. Die Energieversorgung der Anlage übernimmt ein $4{,}5\,\mathrm{km}$ entferntes Umspannwerk; geliefert wird eine Netzspannung mit einem Effektivwert von $40\,\mathrm{kV}$ und einer Frequenz von $60\,\mathrm{Hz}$. Der Widerstand der Freileitung zwischen Umspannwerk und Anlage beträgt $5{,}2\,\Upomega$. Eine Kilowattstunde Elektroenergie kostet 20 Eurocent, wobei der Betreiber der Anlage nur für die tatsächlich aus dem Netz entnommene Energie bezahlen muss. a) Geben Sie den Ohm’schen Widerstand und den induktiven Blindwiderstand der gesamten Anlage bei Volllastbetrieb an. b) Welche Stromstärke fließt durch die Zuleitungen? Wie groß muss die effektive Spannung am Umspannwerk sein? c) Wie groß sind die Leistungsverluste bei der Übertragung? d) Durch Einbau eines Kondensatorblocks (in Reihenschaltung zum Lastwiderstand) wird der Phasenwinkel, um den der Strom der anliegenden Spannung nacheilt, auf $18^{\circ}$ abgesenkt. Wie viel Geld spart der Betreiber pro Monat, wenn die Anlage täglich 16 Stunden lang unter Volllast betrieben wird? e) Wie groß muss die Kapazität des Kondensatorblocks sein, um diese Änderung des Phasenwinkels erreichen zu können?

1.3 Wechselspannung an Ohm’schen Widerständen, Spulen und Kondensatoren

1.3.1 26.8 • 

Ein Schutzschalter („Sicherung“) ist für eine effektive Stromstärke von $15\,\mathrm{A}$ bei einer effektiven Spannung von $120\,\mathrm{V}$ ausgelegt. a) Wie groß darf $I_{\max}$ höchstens sein, damit der Stromkreis gerade noch geschlossen bleibt? b) Welche mittlere Leistung kann dem Stromkreis entnommen werden?

1.3.2 26.9 • 

Eine Spule hat einen Blindwiderstand von $100\,\Upomega$, wenn eine Wechselspannung mit einer Frequenz von $80\,\mathrm{Hz}$ anliegt. a) Geben Sie die Induktivität der Spule an. b) Wie groß ist der Blindwiderstand, wenn die Frequenz der Spannung $160\,\mathrm{Hz}$ beträgt?

1.3.3 26.10 • 

Wie groß muss die Frequenz einer anliegenden Wechselspannung sein, damit die Blindwiderstände eines Kondensators mit $C=10\,\upmu\mathrm{F}$ und einer Spule mit $L=1{,}0\,\mathrm{mH}$ gleich sind?

1.4 Stromkreise mit Kondensatoren, Spulen und Widerständen ohne Wechselspannungsquelle

1.4.1 26.11 •• 

Wir betrachten drei LC-Stromkreise: Kreis 1 mit der Kapazität C ₁ und der Induktivität L ₁, Kreis 2 mit der Kapazität $C_{2}=\tfrac{1}{2}\,C_{1}$ und $L_{2}=2\,L_{1}$ sowie Kreis 3 mit der Kapazität $C_{3}=2\,C_{1}$ und der Induktivität $L_{3}=\tfrac{1}{2}\,L_{1}$. a) Zeigen Sie, dass die Frequenzen der drei Schwingkreise gleich sind. b) Nehmen Sie an, die drei Kondensatoren werden auf das gleiche maximale Potenzial U aufgeladen. In welchem Stromkreis wäre die maximale Stromstärke dann am größten?

1.4.2 26.12 •• 

Abbildung 26.29 zeigt einen Stromkreis mit einem Kondensator und einer Spule. Bei geöffnetem Schalter sei die Ladung auf der linken Kondensatorplatte gleich q ₀. Nun wird der Schalter geschlossen. a) Skizzieren Sie den Verlauf von q und von I als Funktion der Zeit in einem Diagramm und erläutern Sie anhand der beiden Kurven, woran man erkennt, dass der Strom der Ladung um $90^{\circ}$ vorauseilt. b) Die Ausdrücke für Strom und Ladung sind durch Gleichung 26.38 bzw. 26.39 gegeben. Zeigen Sie, dass der Strom der Ladung um $90^{\circ}$ vorauseilt; nehmen Sie trigonometrische Beziehungen zu Hilfe.

Abb. 26.29

Zu Aufgabe 26.12.

1.5 RL-Kreise mit Wechselspannungsquelle

1.5.1 26.13 •• 

Durch eine zweiadrige Leitung werden simultan zwei Wechselspannungssignale übertragen, $U_{1}(t)=\left(10{,}0\,\mathrm{V}\right)\,\mathrm{cos\> }\left(\omega_{1}\,t\right)$ und $U_{2}(t)=\left(10{,}0\mathrm{\ V}\right)\,\mathrm{cos\> }\left(\omega_{2}\,t\right)$ mit $\omega_{1}=100\,\mathrm{rad/s}$ und $\omega_{2}=10\,000\,\mathrm{rad/s}$. Der Potenzialunterschied zwischen den beiden Leitern ist gegeben durch $U=U_{1}+U_{2}$. Wie in Abbildung 26.30 gezeigt, ist eine Spule mit $L=1{,}00\,\mathrm{H}$ in Reihe zu den Spannungsquellen geschaltet. Zusätzlich ist ein Nebenschlusswiderstand $R=1{,}00\,\mathrm{k}\Upomega$ eingebaut. Die Schaltung sei am Ausgang mit einem Lastwiderstand verbunden, durch den ein vernachlässigbar geringer Strom fließt. a) Beschreiben Sie das Spannungssignal $U_{\mathrm{A}}$, das sich am Ausgang der Schaltung abgreifen lässt. b) Geben Sie das Verhältnis der Amplituden des niederfrequenten und des hochfrequenten Signals am Ausgang an.

Abb. 26.30

Zu Aufgabe 26.13.

1.5.2 26.14 •• 

Wir betrachten eine Parallelschaltung aus einer Spule und einem Ohm’schen Widerstand mit einer idealen Wechselspannungsquelle ($U(t)=U_{\mathrm{\max}}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$; Abbildung 26.31). Zeigen Sie: a) Durch den Ohm’schen Widerstand fließt der Strom $I_{R}(t)=(U_{\mathrm{\max}}/R)\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$. b) Durch die Spule fließt der Strom $I_{L}(t)=(U_{\mathrm{\max}}/X_{L})\,\mathrm{cos\> }\left(\omega\,t-90^{\circ}\right)$. c) Für den Gesamtstrom aus der Spannungsquelle gilt $I(t)=I_{R}(t)+I_{L}(t)=I_{\max}\,\mathrm{cos\> }\left(\omega\,t-\delta\right)$ mit $I_{\mathrm{\max}}=U_{\mathrm{\max}}/Z$.

Abb. 26.31

Zu Aufgabe 26.14.

1.6 Filter und Gleichrichter

1.6.1 26.15 •• 

Den in Abbildung 26.32 gezeigten Stromkreis nennt man RC-Hochpassfilter: Er lässt Signale mit hoher Frequenz verlustarm durch, Signale mit niedriger Frequenz hingegen werden unterdrückt. Gegeben sei eine Eingangsspannung $U_{\mathrm{E}}(t)=U_{\mathrm{\max}}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$. Zeigen Sie, dass die Ausgangsspannung dann $U_{\mathrm{A}}(t)=U_{\mathrm{H}}\,\mathrm{cos\> }\left(\omega\,t-\delta\right)$ ist, mit

$$U_{\mathrm{H}}=\frac{U_{\max}}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{\omega\,R\,C}\right)^{2}}}\,.$$

(Nehmen Sie an, der Ausgang ist mit einem Lastwiderstand verbunden, durch den ein vernachlässigbar geringer Strom fließt.) Zeigen Sie, dass dieses Resultat die Bezeichnung „Hochpassfilter“ rechtfertigt.

Abb. 26.32

Zu Aufgabe 26.15.

1.6.2 26.16 •• 

Betrachten Sie noch einmal den Hochpassfilter aus Aufgabe 26.15. Das Eingangssignal sei eine niederfrequente Wechselspannung $U(t)$. (Niederfrequent bedeutet hier, dass sich während einer Zeitkonstante RC die Spannung nicht signifikant ändert.) Zeigen Sie, dass das Ausgangssignal dieser sogenannten Differenziationsschaltung dann durch die Ableitung des Eingangssignals nach der Zeit gegeben ist.

1.6.3 26.17 •• 

In der Dezibel-Skala können wir das Ausgangssignal aus dem in Aufgabe 26.15 besprochenen Hochpassfilter wie folgt beschreiben:

$$\beta=\left(20\,\mathrm{dB}\right)\,\mathrm{log\> }_{10}\;\frac{U_{\mathrm{H}}}{U_{\max}}\,.$$

Zeigen Sie, das für $U_{\mathrm{H}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,U_{\max}$ gilt $\beta=3{,}0\,\mathrm{dB}$. Die Frequenz, für die dies zutrifft, wird als 3-db-Frequenz $\nu_{\mathrm{3dB}}$ eines Hochpassfilters bezeichnet. Zeigen Sie, dass das Ausgangssignal für $\nu\ll\nu_{\mathrm{dB}}$ mit jeder Halbierung der Frequenz ν um 6 dB schwächer wird.

1.6.4 26.18 •• 

Den in Abbildung 26.33 gezeigten Stromkreis nennt man Tiefpassfilter: Er unterdrückt Signale mit hoher Frequenz. Der Ausgang der Schaltung sei mit einem Lastwiderstand verbunden, durch den ein vernachlässigbar geringer Strom fließt. a) Gegeben ist eine Eingangsspannung $U_{\mathrm{E}}(t)=U_{\mathrm{\max}}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$. Zeigen Sie, dass die Ausgangsspannung dann $U_{\mathrm{A}}(t)=U_{\mathrm{T}}\,\mathrm{cos\> }\left(\omega\,t-\delta\right)$ ist mit

$$U_{\mathrm{T}}=\frac{U_{\max}}{\sqrt{1+\left(\omega\,R\,C\right)^{2}}}\,.$$

b) Diskutieren Sie das Verhalten der Ausgangsspannung in den Grenzfällen $\omega\rightarrow 0$ und $\omega\rightarrow\infty$.

Abb. 26.33

Zu Aufgabe 26.18.

1.6.5 26.19 ••• 

Abbildung 26.34 zeigt einen Gleichrichter, der eine Wechselspannung in eine (pulsierende) Gleichspannung umwandelt. Die Diode können Sie sich wie ein „Einwegventil“ für den Strom vorstellen: Es fließt nur dann ein Strom in Pfeilrichtung, wenn gilt $U_{\mathrm{E}}-U_{\mathrm{A}}\geq+0{,}60\,\mathrm{V}$; andernfalls geht der Widerstand der Diode gegen unendlich. Zeichnen Sie die zeitlichen Verläufe von $U_{\mathrm{E}}$ und $U_{\mathrm{A}}$ gemeinsam in ein Koordinatensystem (jeweils zwei Perioden) für ein Eingangssignal $U_{\mathrm{E}}(t)=U_{\mathrm{\max}}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$.

Abb. 26.34

Zu Aufgabe 26.19.

1.6.6 26.20 ••• 

Das Ausgangssignal des in Aufgabe 26.19 besprochenen Gleichrichters kann man durch Nachschaltung eines Tiefpassfilters glätten (Abbildung 26.35a). So erhält man eine Gleichspannung mit nur noch geringfügigen zeitlichen Schwankungen (Abbildung 26.35b). Gegeben sind die Frequenz $\nu=60\,\mathrm{Hz}$ des Eingangssignals sowie $R=1{,}00\,\mathrm{k}\Upomega$. Wie groß muss C sein, damit das Ausgangssignal im Laufe einer Periode um weniger als $5\,\%$ seines Mittelwerts schwankt?

Abb. 26.35

Zu Aufgabe 26.20.

1.7 LC-Stromkreise mit Wechselspannungsquelle

1.7.1 26.21 •• 

Wir betrachten den Stromkreis in Abbildung 26.36. Gegeben ist die Generatorspannung $U_{\mathrm{G}}(t)=\left(100\,\mathrm{V}\right)\break\mathrm{cos\> }\left(2\,\uppi\,\nu\,t\right)$. a) Geben Sie für jeden Zweig des Stromkreises die Amplitude des Stroms sowie den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung an. b) Wie groß muss die Kreisfrequenz ω sein, damit der Generatorstrom null wird? c) Wie groß sind in diesem Resonanzfall die Stromstärken in der Spule und im Kondensator? Formulieren Sie Ihr Ergebnis in Abhängigkeit von der Zeit. d) Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm zur Verdeutlichung der Beziehungen zwischen anliegender Spannung sowie den Strömen durch Generator, Kondensator und Spule für den Fall, dass der induktive Blindwiderstand größer ist als der kapazitive.

Abb. 26.36

Zu Aufgabe 26.21.

1.8 RLC-Stromkreise mit Wechselspannungsquelle

1.8.1 26.22 • 

Ein Kondensator ($C=20\,\upmu\mathrm{F}$) und ein Ohm’scher Widerstand ($R=80\,\Upomega$) sind in Reihe mit einem idealen Wechselspannungsgenerator geschaltet, der eine Maximalspannung von $20\,\mathrm{V}$ bei einer Kreisfrequenz von $400\,\mathrm{rad/s}$ liefert. Die Induktivität des Stromkreises ist null. Berechnen Sie a) den Leistungsfaktor, b) die effektive Stromstärke und c) die mittlere Leistung des Generators.

1.8.2 26.23 •• 

Zeigen Sie, dass die Beziehung $\left\langle P\right\rangle=R\,U_{\mathrm{eff}}^{2}/Z^{2}$ das richtige Ergebnis für einen Stromkreis liefert, der neben einem idealen Wechselspannungsgenerator a) nur einen Ohm’schen Widerstand (also C = 0 und L = 0), b) nur einen Kondensator (R = 0 und L = 0) und c) nur eine Spule (R = 0 und C = 0) enthält. In der genannten Beziehung ist $\left\langle P\right\rangle$ die mittlere vom Generator abgegebene Leistung und $U_{\mathrm{eff}}$ die effektive Generatorspannung.

1.8.3 26.24 •• 

Zwischen den Trägerfrequenzen einzelner UKW-Sendestationen liegt ein Abstand von $0{,}20\,\mathrm{MHz}$. Damit man nicht gleichzeitig die Signale benachbarter Stationen hört, wenn man ein Rundfunkgerät auf eine Station einstellt (etwa bei $100{,}1\,\mathrm{MHz}$), sollte die Bandbreite des Schwingkreises im Empfänger wesentlich kleiner sein als $0{,}20\,\mathrm{MHz}$. Wie groß ist der Gütefaktor eines Schwingkreises, der bei $\nu_{0}=100{,}1\,\mathrm{MHz}$ eine Bandbreite von $\Updelta\nu=0{,}050\,\mathrm{MHz}$ aufweist?

1.8.4 26.25 •• 

Wir betrachten eine Parallelschaltung aus einem Kondensator und einem Ohm’schen Widerstand an einer idealen Wechselspannungsquelle ($U(t)=U_{\mathrm{\max}}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$; Abbildung 26.37). Zeigen Sie: a) Durch den Ohm’schen Widerstand fließt der Strom $I_{R}(t)=(U_{\mathrm{\max}}/R)\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$. b) Durch den Kondensator fließt der Strom $I_{C}(t)=(U_{\mathrm{\max}}/X_{C})\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t+90^{\circ})$. c) Durch den Generator fließt der Strom $I(t)=I_{\max}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t+\delta)$ mit $\mathrm{tan\> }\delta=R/X_{C}$ und $I_{\mathrm{\max}}=U_{\mathrm{\max}}/Z$.

Abb. 26.37

Zu Aufgabe 26.25.

1.8.5 26.26 •• 

In dem Stromkreis aus Abbildung 26.38 beträgt die effektive Spannung des Generators $115\mathrm{\ V}$ bei $60\,\mathrm{Hz}$. Geben Sie den effektiven Spannungsabfall zwischen den Punkten a) A und B, b) B und C, c) C und D, d) A und C sowie e) B und D an.

Abb. 26.38

Zu Aufgabe 26.26.

1.8.6 26.27 •• 

Skizzieren Sie den Verlauf der Impedanz als Funktion von ω für a) eine RL-Reihenschaltung, b) eine RC-Reihenschaltung und c) einen RLC-Reihenschwingkreis (alle mit Wechselspannungsquelle).

1.8.7 26.28 •• 

Die Induktivität einer Spule kann man folgendermaßen messen: Man schaltet die Spule in Reihe mit einer bekannten Kapazität, einem bekannten Ohm’schen Widerstand, einem Wechselstrom-Amperemeter und einem durchstimmbaren Frequenzgenerator. Die Frequenz des Signals wird bei konstanter Spannung variiert, bis die Stromstärke maximal ist. Für eine solche Anordnung ist gegeben $C=10\,\upmu\mathrm{F}$, $U_{\mathrm{\max}}=10\,\mathrm{V}$, $R=100\,\Upomega$, und die effektive Stromstärke wird maximal bei $\omega=5000\,\mathrm{rad/s}$. a) Wie groß ist L? b) Wie groß ist $I_{\max}$?

1.8.8 26.29 •• 

Betrachten Sie eine RLC-Reihenschaltung aus einer Spule mit einer Induktivität von 10 mH, einem Kondensator mit einer Kapazität von $2{,}0\,\upmu\mathrm{F}$, einem Ohm’schen Widerstand von $5{,}0\,\Upomega$ und einer idealen Wechselspannungsquelle mit einer Maximalspannung von 100 V. Berechnen Sie a) die Resonanzfrequenz und b) die effektive Stromstärke im Resonanzfall. Berechnen Sie dann für eine Frequenz von 8000 rad/s c) den kapazitiven und den induktiven Blindwiderstand, d) die Impedanz, e) die effektive Stromstärke und f) den Phasenwinkel.

1.8.9 26.30 •• 

Für die in Aufgabe 26.29 beschriebene Schaltung ist zu berechnen a) der Gütefaktor und b) die Bandbreite. c) Wie groß ist der Leistungsfaktor bei $\omega=8000\,\mathrm{rad/s}$?

1.8.10 26.31 •• 

Eine Spule ist an einen Wechselspannungsgenerator angeschlossen, der eine maximale Spannung von 100 V mit einer Frequenz von 60 Hz abgibt. Bei dieser Frequenz beträgt die Impedanz der Spule $10\,\Upomega$ und der induktive Blindwiderstand $8{,}0\,\Upomega$. a) Berechnen Sie die maximale Stromstärke in der Spule. b) Wie groß ist der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung? c) Ein Kondensator werde mit der Spule und dem Generator in Reihe geschaltet. Welche Kapazität muss er haben, damit der Strom mit der Generatorspannung in Phase ist? d) Welche Spannung fällt maximal am Kondensator ab?

1.8.11 26.32 •• 

Ein RLC-Stromkreis enthält einen Ohm’schen Widerstand von $60{,}0\,\Upomega$, einen Kondensator mit einer Kapazität von $8{,}00\,\upmu\mathrm{F}$ und eine ideale Wechselspannungsquelle mit einer Maximalspannung von 200 V und einer Kreisfrequenz von 2500 rad/s. Die Induktivität der Spule lässt sich durch Verschieben eines Eisenkerns zwischen 8,00 mH und 40,0 mH variieren. Die Spannung am Kondensator soll 150 V nicht übersteigen. a) Wie groß darf in diesem Fall der maximale Strom sein? b) In welchem Bereich darf die Induktivität liegen?

1.8.12 26.33 ••• 

Zeigen Sie durch Einsetzen, dass Gleichung 26.43b,

$$L\,\frac{\,\mathrm{d}^{2}q}{\,\mathrm{d}t^{2}}+R\,\frac{\,\mathrm{d}q}{\,\mathrm{d}t}+\frac{1}{C}\,q=0\,,$$

erfüllt wird von

$$q(t)=q_{0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}\,\mathrm{cos\> }(\omega^{\prime}t)$$

mit

$$\tau=2L/R$$

und

$$\omega^{\prime}=\sqrt{\left(1/L\,C\right)-\left(1/\tau\right)^{2}}\,.$$

q ₀ ist die Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt t = 0.

1.8.13 26.34 ••• 

Die magnetische Suszeptibilität einer Probe kann man z. B. mithilfe eines LC-Schwingkreises messen, der eine Zylinderspule ohne Kern (gefüllt mit Luft) und einen Kondensator enthält. Man ermittelt die Resonanzfrequenz des Kreises einmal ohne die Probe und einmal, nachdem die Probe in die Zylinderspule gebracht wurde. Die Spule sei $4{,}00\,\mathrm{cm}$ lang, habe 400 Windungen aus dünnem Draht und einen Durchmesser von $3{,}00\,\mathrm{mm}$. Das zu vermessende Materialstück sei ebenfalls $4{,}00\,\mathrm{cm}$ lang und fülle das Innere der Spule exakt aus. Randeffekte sollen vernachlässigt werden. a) Wie groß ist die Induktivität der luftgefüllten Spule? b) Wie groß muss die Kapazität des Kondensators sein, damit die Resonanzfrequenz des Schwingkreises (ohne Probe) bei exakt $6{,}0000\,\mathrm{MHz}$ liegt? c) Nachdem die Probe in die Spule gebracht wurde, sinkt die Resonanzfrequenz auf $5{,}9989\,\mathrm{MHz}$. Wie groß ist die Suszeptibilität des Materials?

1.9 Der Transformator

1.9.1 26.35 • 

Ein Bauelement mit einer Impedanz von $12\,\Upomega$ soll mit einer Spannung von 24 V betrieben werden. a) Wie muss das Windungsverhältnis des Transformators lauten, mit dem sich das Gerät am Haushaltsnetz (230 V) betreiben lässt? b) Nehmen Sie an, das Netzteil sei falsch verschaltet, sodass die Primärwindung am Gerät und die Sekundärwindung am 230-Volt-Netz angeschlossen ist. Wie groß ist dann die effektive Stromstärke in der Primärspule?

1.9.2 26.36 • 

Wir betrachten einen Transformator mit 400 Windungen auf der Primär- und acht Windungen auf der Sekundärspule. a) Transformiert er die Spannung herauf oder herunter? b) Geben Sie die Leerlaufspannung des Sekundärkreises an, wenn an der Primärspule eine effektive Spannung von $120\,\mathrm{V}$ anliegt. c) Im Primärkreis fließe ein Strom von $0{,}100\,\mathrm{A}$. Wie groß ist die Stromstärke im Sekundärkreis, wenn man den Magnetisierungsstrom und Leistungsverluste vernachlässigen kann?

1.10 Allgemeine Aufgaben

1.10.1 26.37 •• 

In Abbildung 26.39 ist der zeitliche Verlauf einer sogenannten Rechteckspannung skizziert. Gegeben sei $U_{0}=12\,\mathrm{V}$. a) Wie groß ist die effektive Spannung für diese Wellenform? b) Die Welle soll durch Entfernung der negativen Abschnitte gleichgerichtet werden. Wie groß ist die effektive Spannung für die entstehende Wellenform?

Abb. 26.39

Zu Aufgabe 26.37.

1.10.2 26.38 •• 

Geben Sie jeweils die mittlere und die effektive Stromstärke an, wenn die Zeitabhängigkeit des Stroms durch die Funktionen in Abbildung 26.40 beschrieben wird.

Abb. 26.40

Zu Aufgabe 26.38.

1.10.3 26.39 •• 

Für den Stromkreis in Abbildung 26.41 sei gegeben: $U_{1}(t)=\left(20\,\mathrm{V}\right)\,\mathrm{cos\> }\left(2\,\uppi\,\nu\,t\right)$, $\nu=180\,\mathrm{Hz}$, $U_{2}=18\,\mathrm{V}$ und $R=36\,\Upomega$. Geben Sie die maximale, die minimale, die effektive und die mittlere Stromstärke im Ohm’schen Widerstand an.

Abb. 26.41

Zu den Aufgaben 26.39 und 26.40.

1.10.4 26.40 •• 

Wiederholen Sie Aufgabe 26.39, wobei Sie den Ohm’schen Widerstand R gegen einen Kondensator mit $C=2{,}0\,\upmu\mathrm{F}$ austauschen.

1.10.5 26.41 ••• 

Betrachten Sie eine Reihenschaltung aus einem Wechselspannungsgenerator, einem Kondensator und einer idealen Spule. Die Generatorspannung ist gegeben durch $U(t)=U_{\max}\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$. a) Zeigen Sie, dass die Ladung des Kondensators die Gleichung

$$L\,\frac{\,\mathrm{d}^{2}q}{\,\mathrm{d}t^{2}}+\frac{q}{C}=U_{\max}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)$$

erfüllt. b) Zeigen Sie durch Einsetzen, dass die Gleichung erfüllt ist durch

$$q(t)=q_{\max}\,\mathrm{cos\> }(\omega\,t)\quad\text{mit}\quad q_{\max}=-\frac{U_{\max}}{L\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)}\,.$$

c) Zeigen Sie, dass man den Strom in der Form $I(t)=I_{\max}\,\mathrm{cos\> }\left(\omega\,t-\delta\right)$ aufschreiben kann mit

$$I_{\max}=\frac{\omega\,U_{\max}}{L\,|\omega^{2}-\omega_{0}^{2}|}=\frac{U_{\max}}{|X_{L}-X_{C}|}\,,$$

$\delta=-90^{\circ}$ für $\omega<\omega_{0}$ und $\delta=90^{\circ}$ für $\omega> \omega_{0}$; $\omega_{0}$ ist die Resonanzfrequenz.