Die magnetische Induktion

Zusammenfassung

Spannungen und Ströme, die von einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld hervorgerufen werden, bezeichnen wir als induzierte Spannungen und induzierte Ströme, der Vorgang selbst ist die magnetische Induktion. Michael Faraday und Joseph Henry entdeckten diesen Effekt unabhängig voneinander in den 1830er Jahren und stellten weiterhin fest, dass auch in statischen Magnetfeldern ein Strom induziert wird, wenn sich der magnetische Fluss durch eine Fläche ändert, die von einer bewegten Leiterschleife umschlossen ist.

Die induzierte Spannung im Demonstrationsversuch: Bewegt man den Magneten in die Spule hinein oder aus ihr heraus, so wird in der Spule eine Spannung induziert – Sie erkennen dies am Ausschlag des Galvanometers. Wird der Magnet nicht bewegt, so schlägt das Messgerät nicht aus. (© Richard Megna/Fundamental Photographs.)

? Wie berechnet man die in einer Spule induzierte Spannung? (Siehe Beispiel 25.2.)

Appendices

Im Kontext: Moderne Bremstechnik im Zug

Wie in diesem Kapitel gezeigt, werden im Inneren von Metallstücken Wirbelströme induziert, wenn sich der magnetische Fluss durch die Fläche des Metallstücks ändert. Diese Wirbelströme wirken aufgrund der Lenz’schen Regel der Bewegung entgegen, d. h., die Wirbelströme bremsen das Metallstück. Entscheidend für die Wirkung ist dabei nur die Relativbewegung zwischen Leiter und Magnetfeld. Bewegt man einen Magneten über einen ruhenden, fixierten Leiter, beobachtet man das gleiche Phänomen; in diesem Fall wird der Magnet in seiner Bewegung gebremst.

Wirbelstrombremse an einem Zugwaggon. (© S. Terfloth)

Dieses Konzept wird seit dem Jahr 2000 in der neuen Generation Schnellzüge, dem ICE 3, der Deutschen Bahn umgesetzt${}^{1}$: Zwischen den Radsätzen aufgehängte Elektromagnete werden zum Bremsen über die Schiene abgesenkt und erzeugen ein zu den Schienen paralleles Magnetfeld, sodass in den Schienen starke Wirbelströme entstehen, die die Geschwindigkeit des Zugs verringern. Die kinetische Energie des Zugs wird so in Wärmeenergie in den Schienen umgewandelt. Im Gegensatz zu mechanischen Bremsen, deren Bremswirkung auf Reibungskräften beruht, sind Wirbelstrombremsen berührungs- und damit verschleißfrei, da keine Reibung zwischen dem Elektromagneten und den Schienen auftritt.

Um nicht die gesamte Energie beim Bremsvorgang in nicht mehr nutzbare Wärmeenergie umzuwandeln, arbeitet die Wirbelstrombremse im ICE 3 mit einer zweiten, unabhängigen generatorischen Bremse, auch Motorbremse genannt, zusammen. Diese ermöglicht es, einen Teil der Bremsenergie wieder zurück ins Stromnetz einzuspeisen. So speist der ICE 3 auf der Schnellfahrstrecke von Würzburg nach Hannover bei Geschwindigkeiten von maximal 280 km/h rund 10 % der verbrauchten Energie wieder ins Bahnstromnetz zurück. Die Bremsenergierückspeisung liegt bei 800 GWh insgesamt im Personen- und Güterverkehr, was einer Jahresleistung von 130 modernen Windkraftanlagen entspricht.${}^{2}$ Zusätzlich zur Wirbelstrom- und Motorbremse wird das Bremssystem des ICE 3 noch durch eine pneumatische Bremse unterstützt, die bei geringeren Geschwindigkeiten eingesetzt wird.

• 1. http://www.deutschebahn.com/site/ice__europaweit/de/ice/fahrzeuge/ice3/ice3.html

• 2. http://www.deutschebahn.com/site/ice__europaweit/de/umweltaspekte/bremstechnik/bremstechnik.html

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 25.1 • 

Zwei Leiterschleifen sind parallel zueinander angeordnet (Abbildung 25.34). In der Schleife A fließt, von links gegen die Ebenen der Schleifen gesehen, ein Strom entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn. In welcher Richtung fließt der Strom in Schleife B, wenn die Stromstärke in A zunimmt? Entscheiden Sie, ob die Schleifen einander abstoßen oder anziehen; erläutern Sie Ihre Antwort.

Abb. 25.34

Zu Aufgabe 25.1.

1.1.2 25.2 • 

Ein Stabmagnet ist so am Ende einer Spiralfeder befestigt, dass er eine einfache harmonische Bewegung entlang der Achse einer Leiterschleife ausführt (Abbildung 25.35). Der Magnet befindet sich im Gleichgewicht, wenn sein Mittelpunkt in der Ebene der Schleife liegt. a) Skizzieren Sie den Verlauf des Flusses $\varPhi_{\mathrm{mag}}$ durch die Schleife in Abhängigkeit von der Zeit. Markieren Sie die Zeitpunkte t ₁ und t ₂, zu denen sich der Magnet gerade auf halbem Wege durch die Schleife befindet. b) Skizzieren Sie den Verlauf des Stroms I in der Schleife als Funktion der Zeit. Die Uhrzeigerrichtung, von oben gesehen, soll zu positiven Werten von I gehören.

Abb. 25.35

Zu Aufgabe 25.2.

1.1.3 25.3 • 

Der magnetische Äquator ist die Linie entlang der Erdoberfläche, auf der das Erdmagnetfeld senkrecht steht. Wie müsste man dort ein Blatt Papier halten, damit der Betrag des magnetischen Flusses durch die Papierebene a) maximal und b) minimal wird?

1.1.4 25.4 • 

Ein Stabmagnet wird senkrecht in ein langes Rohr hineingeworfen. Besteht das Rohr aus einem Metall, so erreicht der Magnet rasch seine Endgeschwindigkeit; besteht das Rohr aus Pappe, so fällt der Magnet mit konstanter Beschleunigung. Erklären Sie diesen Unterschied.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 25.5 • 

Vergleichen Sie die im elektrischen Feld und im Magnetfeld der Erde (jeweils in der Nähe der Erdoberfläche) gespeicherten Energiedichten.

1.2.2 25.6 •• 

Stellen Sie sich ein typisches, in der Luft befindliches Passagierflugzeug vor und schätzen Sie a) die durch die Bewegung im Erdmagnetfeld hervorgerufene, maximal zwischen den Spitzen der Tragflächen induzierte Spannung. b) Wie groß ist dabei die elektrische Feldstärke zwischen den Spitzen der Tragflächen?

1.3 Der magnetische Fluss

1.3.1 25.7 • 

Betrachten Sie eine kreisrunde Spule mit 25 Windungen und einem Radius von 5,0 cm, die sich in der Nähe des Äquators befindet. Das Erdmagnetfeld hat dort eine Stärke von $0{,}70\,\mathrm{G}$ und zeigt nach Norden. Die Achse der Spule steht senkrecht auf der Spulenebene und verläuft durch den Mittelpunkt der Spule. Wie groß ist der magnetische Fluss durch die Spule, wenn ihre Achse a) senkrecht, b) waagerecht nach Norden zeigend, c) waagerecht nach Osten zeigend und d) waagerecht im Winkel von $30^{\circ}$ relativ zur Nordrichtung orientiert ist?

1.3.2 25.8 •• 

Eine kreisrunde Spule mit 15 Windungen und einem Radius von 4,00 cm befindet sich in einem homogenen, 4,00 kG starken, in die positive x-Richtung zeigenden Magnetfeld. Geben Sie den magnetischen Fluss durch die Spule an, wenn der Normalenvektor $\boldsymbol{\widehat{n}}$ der Spulenebene wie folgt gerichtet ist: a) $\boldsymbol{\widehat{n}}=\boldsymbol{\widehat{x}}$, b) $\boldsymbol{\widehat{n}}=\boldsymbol{\widehat{y}}$, c) $\boldsymbol{\widehat{n}}=\left(\boldsymbol{\widehat{x}}+\boldsymbol{\widehat{y}}\right)/\sqrt{2}$, d) $\boldsymbol{\widehat{n}}=\boldsymbol{\widehat{z}}$ und e) $\boldsymbol{\widehat{n}}=0{,}60\,\boldsymbol{\widehat{x}}+0{,}80\,\boldsymbol{\widehat{y}}$.

1.3.3 25.9 ••• 

a) Formulieren Sie einen Ausdruck für den magnetischen Fluss durch die rechteckige Schleife in Abbildung 25.36. b) Berechnen Sie den Fluss für $a=5{,}0\,\mathrm{cm}$, $b=10\,\mathrm{cm}$, $d=2{,}0\,\mathrm{cm}$ und $I=20\,\mathrm{A}$.

Abb. 25.36

Zu Aufgabe 25.9.

1.3.4 25.10 ••• 

Durch einen langen, zylindrischen Leiter mit der Länge l und dem Radius $r_{\text{LZ}}$ fließt homogen über den Querschnitt verteilt ein Strom I. Geben Sie den magnetischen Fluss pro Längeneinheit durch die in Abbildung 25.37 markierte Fläche an.

Abb. 25.37

Zu Aufgabe 25.10.

1.4 Induktionsspannung und Faraday’sches Gesetz

1.4.1 25.11 •• 

Eine kreisrunde Spule mit 100 Windungen hat einen Durchmesser von 2,00 cm und einen Widerstand von 50,0 $\Upomega$. Die beiden Enden des Spulendrahts sind miteinander verbunden. Senkrecht zur Ebene der Spule ist ein homogenes äußeres Magnetfeld mit einer Stärke von 1,00 T ausgerichtet. Plötzlich kehrt sich die Feldrichtung um. a) Berechnen Sie die insgesamt durch einen Querschnitt des Drahts tretende Ladung. Die Umkehr der Feldrichtung dauert $0{,}100\,\mathrm{s}$; berechnen Sie b) den mittleren Spulenstrom und c) die mittlere Spannung in der Spule während des Umkehrvorgangs.

1.4.2 25.12 •• 

Ein Stromintegrator misst den Strom in Abhängigkeit von der Zeit und ermittelt durch Integrieren (Aufaddieren) die insgesamt fließende Ladungsmenge. (Wegen $I=\,\mathrm{d}q/\,\mathrm{d}t$ ist das Intergral des Stroms gleich $q=\int I\,\mathrm{d}t$.) Eine kreisrunde Spule mit 300 Windungen und einem Radius von 5,00 cm ist mit einem solchen Instrument verbunden. Der Gesamtwiderstand des Stromkreises beträgt 20,0 $\Upomega$. Zu Beginn des Versuchs bildet die Ebene der Spule einen Winkel von $90^{\circ}$ mit der Richtung des Erdmagnetfelds an einem gegebenen Ort. Dann wird die Spule um $90^{\circ}$ um eine Achse gedreht, die in der Spulenebene liegt. Dabei wird am Stromintegrator eine Ladungsmenge von $9{,}40\,\upmu\mathrm{C}$ abgelesen. Berechnen Sie die Stärke des Erdmagnetfelds an diesem Ort.

1.5 Induktion durch Bewegung

1.5.1 25.13 •• 

In Abbildung 25.38 sei $B=0{,}80\,\mathrm{T}$, $v=10\,\mathrm{m/s}$, $l=20\,\mathrm{cm}$ und $R=2{,}0\,\Upomega$. (Der Widerstand des Stabs und der Schienen soll vernachlässigt werden.) Berechnen Sie a) die im Stromkreis induzierte Spannung, b) den davon hervorgerufenen Strom (Betrag und Richtung) und c) die zur Bewegung des Stabs mit konstanter Geschwindigkeit erforderliche Kraft (vernachlässigen Sie die Reibung). d) Welche Leistung wird dem System durch die Kraft aus Teilaufgabe c zugeführt? e) Geben Sie die Leistung (Rate der Wärmeerzeugung am Widerstand) an.

Abb. 25.38

Zu Aufgabe 25.13.

1.5.2 25.14 •• 

Der Stab in Abbildung 25.39 hat die Masse m und den Widerstand R. Der Widerstand der waagerecht angeordneten, reibungsfreien Schienen sei vernachlässigbar gering; der Abstand zwischen den Schienen ist l. An die Punkte a und b des Stromkreises ist eine Batterie mit der Spannung U und einem vernachlässigbaren Innenwiderstand so angeschlossen, dass der Strom im Stab von oben nach unten fließt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der zuvor ruhende Stab losgelassen. a) Geben Sie einen Ausdruck für die auf den Stab wirkende Kraft als Funktion von dessen Geschwindigkeit an. b) Zeigen Sie, dass der Stab schließlich eine Endgeschwindigkeit erreicht, mit der er sich weiterbewegt. Geben Sie einen Ausdruck für diese Geschwindigkeit an. c) Wie groß ist die Stromstärke im Kreis, wenn der Stab seine Endgeschwindigkeit erreicht hat?

Abb. 25.39

Zu Aufgabe 25.14.

1.5.3 25.15 •• 

Betrachten Sie die Anordnung in Abbildung 25.40: Der leitfähige Stab mit der Masse m gleitet reibungsfrei auf zwei parallelen Schienen; der Widerstand aller dieser Bauelemente sei vernachlässigbar. Der Abstand zwischen den Schienen ist l, an einem Ende sind die Schienen über einen Ohm’schen Widerstand R miteinander verbunden. Die Schienen sind auf eine ebene Platte montiert, die mit der Waagerechten den Winkel θ einschließt. Die ganze Anordnung befindet sich in einem Magnetfeld, das senkrecht nach oben zeigt. a) Zeigen Sie, dass entlang der geneigten Ebene eine Kraft $F=\left(B^{2}\,l^{2}\,v\,\mathrm{cos\> }^{2}\theta\right)/R$ nach oben wirkt, die die Abwärtsbewegung des Stabs bremst. b) Zeigen Sie, dass die Endgeschwindigkeit des Stabs gegeben ist durch $v_{\mathrm{E}}=m\,g\,R\,\mathrm{sin\> }\theta/\left(B^{2}\,l^{2}\,\mathrm{cos\> }^{2}\theta\right)$.

Abb. 25.40

Zu Aufgabe 25.15.

1.5.4 25.16 •• 

Betrachten Sie die Anordnung in Abbildung 25.41: Eine rechteckige Leiterschleife mit Seitenlängen von 10 cm und 5,0 cm und einem Ohm’schen Widerstand von $2{,}5\,\Upomega$ bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von $2{,}4\,\mathrm{cm/s}$ durch ein Gebiet, in dem ein homogenes, aus der Papierebene herauszeigendes Magnetfeld mit einer Feldstärke von 1,7 T herrscht. Zum Zeitpunkt t = 0 tritt die Vorderkante der Schleife in das Magnetfeld ein; erfassen Sie in den beiden folgenden Teilaufgaben das Intervall $0\leq t\leq 16\mathrm{\ s}$. a) Skizzieren Sie den Graphen des magnetischen Flusses durch die Schleife als Funktion der Zeit. b) Skizzieren Sie Graphen der Induktionsspannung und des durch die Schleife fließenden Stroms ebenfalls in Abhängigkeit von der Zeit. Vernachlässigen Sie Selbstinduktionseffekte.

Abb. 25.41

Zu Aufgabe 25.16.

1.5.5 25.17 ••• 

Ein Metallstab mit der Länge l rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eines seiner Enden. Senkrecht zur Rotationsebene orientiert ist ein homogenes Magnetfeld B (Abbildung 25.42). a) Zeigen Sie, dass sich zwischen den Enden des Stabs die Potenzialdifferenz $U=\tfrac{1}{2}\,B\,\omega\,l^{2}$ aufbaut. b) Der Winkel θ zwischen dem rotierenden Stab und der in der Skizze gestrichelten Linie sei gegeben durch $\theta=\omega t$. Zeigen Sie, dass die Fläche des Kreissektors, der von dieser Linie und dem Stab begrenzt wird, dann gegeben ist durch $A=\tfrac{1}{2}\,l^{2}\,\theta$. c) Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch diese Fläche und zeigen Sie, dass die Anwendung des Faraday’schen Gesetzes ($U_{\mathrm{ind}}=-\,\mathrm{d}\varPhi_{\mathrm{mag}}/\,\mathrm{d}t$) auf den Kreissektor die Beziehung $U_{\mathrm{ind}}=\tfrac{1}{2}\,B\,\omega\,l^{2}$ liefert.

Abb. 25.42

Zu Aufgabe 25.17.

1.6 Wechselstromgeneratoren

1.6.1 25.18 • 

Eine Spule mit rechteckigem Querschnitt (Seitenlängen: $2{,}00\,\mathrm{cm}$ und $1{,}50\,\mathrm{cm}$) und 300 Windungen rotiert in einem Magnetfeld von $0{,}400\,\mathrm{T}$. a) Geben Sie den Maximalwert der induzierten Spannung an, wenn sich die Spule mit einer Frequenz von $60{,}0\,\mathrm{Hz}$ dreht. b) Wie groß muss die Rotationsfrequenz sein, damit eine Spannung von $110\,\mathrm{V}$ (Maximalwert) induziert wird?

1.7 Induktivität

1.7.1 25.19 • 

Durch eine Spule mit einer Induktivität von 8,00 H fließt ein Strom von 3,00 A, der sich mit einer Rate von $200\,\mathrm{A/s}$ ändert. Berechnen Sie a) den magnetischen Fluss durch die Spule und b) die in der Spule induzierte Spannung.

1.7.2 25.20 •• 

Zwei Zylinderspulen mit Radien von 2,00 cm und 5,00 cm und mit 300 bzw. 1000 Windungen seien koaxial so angeordnet, dass sich die dünnere Spule komplett innerhalb der dickeren befindet. Beide Spulen sind 25,0 cm lang. Berechnen Sie die Gegeninduktivität.

1.7.3 25.21 ••• 

Betrachten Sie eine Ringspule mit rechteckigem Querschnitt (Abbildung 25.43). Zeigen Sie, dass die Induktivität der Spule gegeben ist durch

$$L=\frac{\mu_{0}\,n^{2}\,x\,\ln\left(b/a\right)}{2\,\uppi}$$

mit n als Anzahl der Windungen, a als innerem Radius, b als äußerem Radius und x als Höhe des Rings.

Abb. 25.43

Zu Aufgabe 25.21.

1.8 Die Energie des Magnetfelds

1.8.1 25.22 • 

Wir betrachten eine ebene elektromagnetische Welle, etwa eine Lichtwelle. Die Beziehung zwischen der elektrischen und der magnetischen Feldstärke lautet hier $E=c\,B$ mit der Lichtgeschwindigkeit $c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\,\mu_{0}}$. Zeigen Sie, dass die Energiedichten des elektrischen und des magnetischen Felds in diesem Fall gleich sind, wenn die Beziehung $E=c\,B$ gilt.

1.8.2 25.23 •• 

Durch eine Zylinderspule mit 2000 Windungen, einer Querschnittsfläche von 4,0 cm${}^{2}$ und einer Länge von 30 cm fließt ein Strom von 4,0 A. a) Berechnen Sie die in der Spule gespeicherte magnetische Energie mithilfe der Beziehung $\tfrac{1}{2}L\,I^{2}$. b) Geben Sie die magnetische Energie pro Volumeneinheit in der Spule an; teilen Sie dazu Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe a durch das Volumen der Spule. c) Berechnen Sie die Energiedichte des Magnetfelds mithilfe der Beziehung $w_{\mathrm{mag}}=B^{2}/\left(2\,\mu_{0}\right)$, wobei gilt $B=\mu_{0}\,(n/l)\,I$ Vergleichen Sie das Resultat mit Ihrem Ergebnis aus Teilaufgabe b.

1.8.3 25.24 •• 

Die Wicklung einer Ringspule mit einem mittleren Radius von 25,0 cm und einem kreisrunden Querschnitt, dessen Radius 2,00 cm beträgt, besteht aus einem supraleitenden Material. Der Wicklungsdraht ist 1000 m lang. Durch die Spule fließt ein Strom von 400 A. a) Wie viele Windungen besitzt die Spule? b) Geben Sie die Magnetfeldstärke und die Energiedichte des Magnetfelds beim mittleren Radius an. c) Berechnen Sie die insgesamt in der Spule gespeicherte Energie unter der Annahme, dass die Energiedichte innerhalb der Spule homogen verteilt ist.

1.9 *RL-Stromkreise

1.9.1 25.25 •• 

Betrachten Sie den Stromkreis in Abbildung 25.44; es sei $U_{0}=12{,}0\,\mathrm{V}$, $R=3{,}00\,\Upomega$ und $L=0{,}600\,\mathrm{H}$. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen. Berechnen Sie für den Zeitpunkt $t=0{,}500\,\mathrm{s}$ a) die Rate, mit der die Batterie Energie liefert, b) die Rate der Wärmeerzeugung im Widerstand und c) die Rate, mit der Energie in der Spule gespeichert wird.

Abb. 25.44

Zu den Aufgaben 25.25 und 25.29.

1.9.2 25.26 •• 

Eine Spule (4,00 mH), ein Ohm’scher Widerstand ($150\,\Upomega$), eine ideale Batterie (12,0 V) und ein Schalter sind in Reihe geschaltet. Der zunächst offene Schalter wird geschlossen. a) Geben Sie an, mit welcher Anfangsrate die Stromstärke zunimmt. b) Wie groß ist diese Rate, wenn die Stromstärke die Hälfte ihres stationären Werts erreicht hat? c) Geben Sie diese stationäre Stromstärke an. d) Wie lange dauert es, bis die Stromstärke 99 % des stationären Werts erreicht hat?

1.9.3 25.27 •• 

Ein Stromkreis besteht aus einer Reihenschaltung eines großen Elektromagneten mit einer Induktivität von 50,0 H, einem Ohm’schen Widerstand von $8{,}00\,\Upomega$, einer 250-V-Gleichspannungsquelle und einem zunächst geöffneten Schalter. Wie viel Zeit vergeht nach dem Schließen des Schalters, bis die Stromstärke a) 10,0 A und b) 30,0 A erreicht hat?

1.9.4 25.28 •• 

Betrachten Sie den Stromkreis in Abbildung 25.45. Der Innenwiderstand der Spule soll vernachlässigt werden; nehmen Sie außerdem an, dass der Schalter S seit langer Zeit geschlossen ist, sodass die Spule von einem stationären Strom durchflossen wird. a) Berechnen Sie den Batteriestrom und den Strom, der durch den 100-$\Upomega$-Widerstand fließt, sowie den Strom, der durch die Spule fließt. b) Berechnen Sie den Spannungsabfall an der Spule unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters. c) Tragen Sie mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms den Spulenstrom und den Spannungsabfall an der Spule jeweils als Funktion der Zeit auf, während der Schalter geöffnet ist.

Abb. 25.45

Zu Aufgabe 25.28.

1.9.5 25.29 ••• 

In dem in Abbildung 25.44 skizzierten Stromkreis sei $U_{0}=12{,}0\,\mathrm{V}$, $R=3{,}00\,\Upomega$ und $L=0{,}600\,\mathrm{H}$. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen. Betrachten Sie den Zeitraum zwischen t = 0 und $t=L/R$. a) Wie viel Energie wird in diesem Zeitraum insgesamt von der Batterie abgegeben? b) Wie viel Energie wird im Widerstand in Wärme umgewandelt? c) Wie viel Energie wird der Spule zugeführt? (Hinweis: Geben Sie die Raten der Energieübertragung als Funktion der Zeit an und integrieren Sie zwischen den gegebenen Grenzen.)

1.10 Allgemeine Aufgaben

1.10.1 25.30 • 

Gegeben ist eine Spule mit 100 Windungen, einem Radius von 4,00 cm und einem Widerstand von $25{,}0\,\Upomega$. a) Die Spule befindet sich in einem homogenen Magnetfeld, dessen Richtung senkrecht auf der Spulenebene steht. Mit welcher Rate muss sich die Feldstärke ändern, damit in der Spule ein Strom von 4,00 A induziert wird? b) Wie lautet die Antwort auf Frage a, wenn die Feldrichtung einen Winkel von 20${}^{\circ}$ mit der Normalen der Spulenebene einschließt?

1.10.2 25.31 •• 

In Abbildung 25.46 sehen Sie einen Wechselstromgenerator, bestehend aus einer rechteckigen, mit Schleifringen verbundenen Leiterschleife mit den Seitenlängen a und b sowie n Windungen. Die Schleife dreht sich, von außen angetrieben, mit der Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen Magnetfeld B. a) Zeigen Sie, dass die Potenzialdifferenz zwischen den Schleifringen gegeben ist durch $U(t)=n\,B\,a\,b\,\omega\,\mathrm{sin\> }(\omega t)$. b) Es sei $a=2{,}00\,\mathrm{cm}$, $b=4{,}00\,\mathrm{cm}$, n = 250 und $B=0{,}200\,\mathrm{T}$. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit ω muss die Schleife rotieren, damit eine Spannung mit einem Maximalwert von 100 V induziert wird?

Abb. 25.46

Zu Aufgabe 25.31.

1.10.3 25.32 •• 

Zwei Spulen mit den Selbstinduktivitäten L ₁ und L ₂ sind parallel geschaltet, wobei eine Spule jeweils nicht vom Magnetfeld der anderen durchdrungen wird. Zeigen Sie, dass für die Selbstinduktivität L der gesamten Anordnung dann gilt:

$$\frac{1}{L}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}\,.$$

1.10.4 25.33 •• 

In Abbildung 25.47a ist eine Anordnung skizziert, mit deren Hilfe man die Gravitationsbeschleunigung messen kann. Um ein langes Plastikrohr ist ein Draht so gewickelt, dass im Abstand von 10 cm einfache Drahtschleifen entstehen. Nun lässt man einen starken Permanentmagneten senkrecht von oben in das Rohr fallen. Jedesmal, wenn der Magnet durch eine Schleife tritt, steigt die Spannung an, erreicht einen Maximalwert, fällt durch den Nullpunkt auf einen großen negativen Wert ab und steigt wieder bis zum Nullpunkt (Abbildung 25.47b). a) Erklären Sie, wie das Experiment funktioniert. b) Warum muss das Rohr aus einem Isolator bestehen? c) Erklären Sie die Form des Signals in Abbildung 25.47b qualitativ. d) In der Tabelle sind die Zeiten für die Nulldurchläufe der Spannung während eines solchen Experiments angegeben. Berechnen Sie daraus einen Wert für g.

Nr. der Schleife	Nulldurchgang (s)
1	0,011189
2	0,063133
3	0,10874
4	0,14703
5	0,18052
6	0,21025
7	0,23851
8	0,26363
9	0,28853
10	0,31144
11	0,33494
12	0,35476
13	0,37592
14	0,39107

Abb. 25.47

Zu Aufgabe 25.33.

1.10.5 25.34 •• 

Die in Abbildung 25.48 skizzierte rechteckige Spule mit einer Länge von 30 cm, einer Breite von 25 cm und 80 Windungen befindet sich zur Hälfte in einem Magnetfeld $B=0{,}14\,\mathrm{T}$, das aus der Papierebene heraus zeigt. Der Widerstand der Spule beträgt $24\,\Upomega$. Ermitteln Sie den Betrag und die Richtung des induzierten Stroms, wenn die Spule mit einer Geschwindigkeit von $2{,}0\,\mathrm{m/s}$ a) nach rechts, b) nach oben, c) nach links und d) nach unten bewegt wird.

Abb. 25.48

Zu Aufgabe 25.34.

1.10.6 25.35 •• 

Durch eine lange Zylinderspule mit der Windungsdichte $\left(n/l\right)$ fließt ein zeitabhängiger Strom $I(t)=I_{0}\,\mathrm{sin\> }(\omega t)$. Die Spule hat einen kreisrunden Querschnitt mit dem Radius $r_{\text{LS}}$. Geben Sie einen Ausdruck für das induzierte elektrische Feld in Punkten an, die sich auf einer von beiden Spulenenden gleich weit entfernten Ebene befinden; betrachten Sie das Feld als Funktion von der Zeit t und von der radialen Entfernung r von der Achse mit a) $r<r_{\text{LS}}$ und b) $r> r_{\text{LS}}$.

1.10.7 25.36 ••• 

Eine Spule mit n Windungen und einer Fläche A hängt an einem Draht mit linearem Rückstellmoment und der Torsionskonstante κ. Die beiden Enden des Spulendrahts sind miteinander verbunden; die Spule hat den Widerstand R und das Trägheitsmoment I. Wenn der Draht nicht verdrillt ist ($\theta=0$), ist die Spulenebene vertikal und parallel zu einem homogenen horizontalen Magnetfeld B. Nun wird die Spule um einen kleinen Winkel $\theta=\theta_{0}$ um eine senkrechte, durch ihren Mittelpunkt verlaufende Achse gedreht und losgelassen. Sie vollführt dann eine gedämpfte harmonische Schwingung. Zeigen Sie, dass dabei mit $\theta\left(t\right)=\theta_{0}\,{\text{e}}^{-t/2\tau}\mathrm{cos\> }(\omega^{\prime}t)$ und $\tau=R\,I/\left(n\,B\,A\right)^{2}$ gilt: $\omega=\sqrt{\kappa/I}$ und $\omega^{\prime}=\omega_{0}\,\sqrt{1-\left(2\,\omega_{0}\,\tau\right)^{-2}}$.