Das Magnetfeld

Zusammenfassung

Schon vor 2000 Jahren war im antiken Griechenland bekannt, dass bestimmte Steine (heute Magnetit genannt) Eisenstückchen anziehen. Schriftliche Überlieferungen belegen die Verwendung von Magneten zur Navigation bereits im 12. Jahrhundert.

1600 entdeckte William Gilbert, dass die Erde selbst ein natürlicher Magnet ist, dessen Pole in der Nähe der geografischen Pole liegen. Da der Nordpol einer Kompassnadel in Richtung des Südpols eines anderen Magneten zeigt, liegt der magnetische Nordpol der Erde in der Nähe ihres geografischen Südpols, wie Sie in Abbildung 23.1 erkennen.

Polarlichter entstehen, wenn der „Sonnenwind“ – ein Strom geladener Teilchen, die bei Kernfusionsreaktionen in der Sonne gebildet werden – vom Erdmagnetfeld eingefangen wird und auf die oberen Schichten der Atmosphäre trifft. (© Atlas Photo Bank/Photo Researchers, Inc.)

? Wie wirkt das Erdmagnetfeld auf subatomare Teilchen? (Siehe Beispiel 23.1.)

Appendices

Im Kontext: Erde und Sonne: Die Magnetfelder ändern sich

Im Laufe der vergangenen Jahre wurde die Stärke der Magnetfelder von Erde und Sonne von Satelliten oder Observatorien am Boden aus nahezu kontinuierlich verfolgt.${}^{1}$ Geologen und Physiker arbeiteten gemeinsam an paläomagnetischen Vermessungen. Alle Ergebnisse deuten darauf hin, dass sich sowohl das Erd- als auch das Sonnenmagnetfeld ständig verändert.${}^{2{,}3}$

Seit mehr als 900 Jahren dient das Erdmagnetfeld als Navigationshilfe auf See.${}^{4}$ Die Seefahrer hatten bald bemerkt, dass der magnetische Nordpol und der Himmelsnordpol nicht zusammenfallen und dass die magnetische Deklination (die Abweichung zwischen magnetischer Nordrichtung und Himmelsnordrichtung) von der Position der Messung abhängt. Aus dem 16. Jahrhundert${}^{5}$ sind zudem Werte der magnetischen Deklination überliefert, die zu verschiedenen Zeitpunkten am gleichen Ort ermittelt wurden. Aus den historischen Daten lässt sich ablesen, dass die magnetische Nordrichtung zeitlich nicht konstant war.${}^{6}$ Sie können damit als früheste Beweise der dynamischen Natur des Erdmagnetfelds gelten.

In den 1960er Jahren stellte man bei der Untersuchung von Bohrkernen fest, dass sich die Richtung des Magnetfelds in den Schichten aus Vulkangestein vielfach umkehrte.${}^{7}$ Allgemein scheint eine solche Umkehr etwa alle 200 000 Jahre stattzufinden, wobei es in der Erdgeschichte auch über sechs Millionen Jahre lange Perioden ohne geomagnetische Veränderungen gegeben hat. Die Messwerte zeigen, dass die Feldstärke vor einer Richtungsumkehr abnimmt und anschließend wieder zunimmt. Insgesamt dauert dieser sogenannte Polsprung einige Tausend Jahre.${}^{8}$ Die letzte Umpolung liegt mehr als 700 000 Jahre zurück. In jüngerer Zeit geht die Stärke des Erdmagnetfelds zurück, und zwar zwischen 1840 und heute um 15 nT pro Jahr${}^{9}$ oder 3 % im Jahrhundert. Durch Rekonstruktion von Daten aus den Logbüchern von Schiffen schließt man auf eine durchschnittliche Abnahme der Feldstärke von 2 nT/Jahr zwischen 1590 und 1840.

Im Bereich von Sonnenflecken ist das solare Magnetfeld so stark, dass geladene Strömungen von Gasteilchen in ihrem Magnetfeld abgelenkt werden (großes Bild). Die Flecken sind etwas kühler als ihre Umgebung und erscheinen deshalb dunkler (kleines Bild). (© NASA.)

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckte G.E. Hale , dass die schon seit Jahrhunderten bekannten und beobachteten Sonnenflecken starke Magnetfelder besitzen. Er wies nach, dass das Magnetfeld der Sonne in einem 22 Jahre dauernden Zyklus allmählich abnimmt, sich umpolt und wieder bis zur ursprünglichen Stärke zunimmt.${}^{10}$ Für Sonnenflecken wurden inzwischen Feldstärken bis über 200 mT gemessen.${}^{11}$ Neuere Beobachtungen zeigten, dass Sonnenflecken durch örtliche Störungen (Wirbel) des solaren Magnetfelds entstehen. In Bereichen der Sonnenoberfläche, auf denen sich keine Flecken befinden, herrscht eine mittlere Magnetfeldstärke von 0,10 mT, die stellenweise auf knapp 20 bis über 100 mT ansteigen kann.${}^{12}$

Der Sonnenwind , ein Strom geladener Teilchen subatomarer Dimension, der von der Sonne mit einer Geschwindigkeit von rund 400 km/s${}^{13}$ ins All geschickt wird, führt ein Magnetfeld mit. Satellitendaten lassen die komplexe, dynamische Struktur des interplanetaren Magnetfelds erkennen.${}^{14{,}15}$ In Erdnähe schwankt die interplanetare Feldstärke zwischen 1 und 37 nT. Gelegentlich schleudert die Sonne bei gewaltigen Eruptionen große Mengen geladener Teilchen ins All. Trifft eine solche Wolke auf die Erde, kann ein sogenannter Magnetsturm ausgelöst werden, der Funkverbindungen stört und weltweit Stromausfälle verursacht. 94 Astronomische Einheiten von der Sonne entfernt maß die Raumsonde Voyager 1 eine interplanetare Magnetfeldstärke von 0,03 nT.${}^{16{,}17}$ Noch weit außerhalb der Plutobahn ist das Magnetfeld des Sonnenwinds deutlich messbar.

• 1. „Geomagnetic Frequently Asked Questions“, United States National Geophysical Data Center, National Oceanic and Atmospheric Administration. http://www.ngdc.noaa.gov/geomag/faqgeom.shtml (Stand: April 2009).

• 2. Yamazaki, T. und Oda, H., „Orbital Influence on Earth’s Magnetic Field: 100 000-Year Periodicity in Inclination“, Science, 29. März 2002, 294, S. 2435–2437.

• 3. Solanki, S. et al., „11 000 Year Sunspot Number Reconstruction“, IBGP Pages/World Data Center for Paleoclimatology Data Contribution Series #2005-015, 2005. ftp://ftp.ncdc.noaa.gov/pub/data/paleo/climate_forcing/solar_variability/solanki2004-ssn.txt (Stand: April 2009).

• 4. Hellemans, A. und Bunch, B., The Timetables of Science, New York: Simon & Schuster, 1988, S. 75.

• 5. Kono, M., „Ships’ Logs and Archeomagnetism“, Science, 12. Mai 2006, 312, S. 865–866.

• 6. Hermanus Magnetic Observatory, „Detailed History“, http://www.hmo.ac.za/detailed-history.html (Stand: April 2009).

• 7. Dunn, J. R. et al., „Paleomagnetic Study of a Reversal of the Earth’s Magnetic Field“, Science, 21. Mai 1971, 172, S. 840–844.

• 8. Merrill, R. T. und McFadden, P. L., „Geomagnetic Polarity Transitions“, Reviews of Geophysics, Mai 1999, 37, Nr. 2, S. 201–226.

• 9. Gubbin, D., Jones, A. L. und Finlay, C., „Fall in Earth’s Magnetic Field is Erratic“, Science, 12. Mai 2006, 312, S. 900–902.

• 10. Abbot, C. G., „Sun-Spots and Weather“, Science, 8. Dez. 1933, 78, S. 518–519.

• 11. Liang, H.-F., Zhao, H.-J. und Xiang, F.-Y., „Vector Magnetic Field Measurement of NOAA AR 10197“, Chinese Journal of Astronomy and Astrophysics, Aug. 2006, 6, Nr. 4, S. 470–476.

• 12. Lin, H. und Rimmele, T., „The Granular Magnetic Fields of the Quiet Sun“, The Astrophysical Journal, 20. März 1999, 514, Teil 1, S. 448–455.

• 13. Hathaway, D., „The Solar Wind“, Solar Physics, Marshall Space Flight Center, NASA. http://solarscience.msfc.nasa.gov/SolarWind.shtml. 18. Jan. 2007 (Stand: April 2009).

• 14. Smith, E. J. et al., „The Sun and Heliosphere at Solar Maximum“″ Science, 14. Nov. 2003, 302, S. 1165–1168.

• 15. Arnold, N. und Lyons, A., „Granta MIST: Meeting Report“, Astronomy and Geophysics, Aug. 2006, 46, S. 4.18–4.21.

• 16. Gurnett, D. A. und Kurth, W. S., „Electron Plasma Oscillations Upstream of the Solar Wind Termination Shock“, Science, 23. Sept. 2005, 309, S. 2025–2027.

• 17. Burlaga, L. F. et al., „Crossing the Termination Shock into the Helosheath: Magnetic Fields“, Science, 23. September 2005, 309, S. 2027–2029.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 23.1 • 

Die Achse einer Kathodenstrahlröhre liegt waagerecht in einem Magnetfeld, dessen Vektor senkrecht nach oben zeigt (Abbildung 23.30). Auf welcher der gestrichelt eingezeichneten Bahnen bewegen sich die von der Kathode emittierten Elektronen? a) Bahn 1, b) Bahn 2, c) Bahn 3, d) Bahn 4, e) Bahn 5.

Abb. 23.30

Zu Aufgabe 23.1.

1.1.2 23.2 • 

Richtig oder falsch? a) Das magnetische Moment eines Stabmagneten zeigt von dessen Nordpol zu dessen Südpol. b) Im Inneren eines Stabmagneten zeigt das von diesem Magneten erzeugte Feld vom Südpol zum Nordpol. c) Wenn die Stromstärke in einer stromdurchflossenen Leiterschleife verdoppelt und gleichzeitig die Querschnittsfläche der Schleife halbiert wird, ändert sich der Betrag ihres magnetischen Moments nicht. d) Wenn die Ebene einer stromdurchflossenen Leiterschleife senkrecht zur Richtung eines umgebenden Magnetfelds ausgerichtet ist, wird das auf sie wirkende Drehmoment maximal.

1.1.3 23.3 • 

Ein Elektron, das sich in +x-Richtung bewegt, tritt in ein homogenes, in +y-Richtung zeigendes Magnetfeld ein. Wird es dabei a) zur +y-Richtung hin, b) zur −y-Richtung hin, c) zur +z-Richtung hin, d) zur −z-Richtung hin abgelenkt, oder e) fliegt es unabgelenkt in +x-Richtung weiter?

1.1.4 23.4 • 

Vergleichen Sie elektrische und magnetische Feldlinien. Erläutern Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgabe

1.2.1 23.5 • 

Schätzen Sie die magnetische Kraft ab, die das Erdmagnetfeld maximal auf 1 m eines stromdurchflossenen Drahts in einem 16-A-Stromkreis eines Wohnhauses ausüben kann.

1.3 Die magnetische Kraft

1.3.1 23.6 • 

Ein punktförmiges Teilchen mit einer Ladung $q=-3{,}64\,\mathrm{nC}$ bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $2{,}75\cdot 10^{6}\,\mathrm{m/s}\,\boldsymbol{\widehat{x}}$. Berechnen Sie die Kraft, die folgende Magnetfelder auf das Teilchen ausüben: a) $\boldsymbol{B}=0{,}38\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{y}}$, b) $\boldsymbol{B}=(0{,}75\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{x}}+0{,}75\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{y}})$, c) $\boldsymbol{B}=0{,}65\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{x}}$ und d) $\boldsymbol{B}=(0{,}75\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{x}}+0{,}75\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{z}})$.

1.3.2 23.7 • 

In einem geraden, stromdurchflossenen Leiterabschnitt befindet sich das Stromelement $I\,\boldsymbol{l}$ mit $I=2{,}7\,\mathrm{A}$ und $\boldsymbol{l}=\left(3{,}0\,\mathrm{cm}\,\boldsymbol{\widehat{x}}+4{,}0\,\mathrm{cm}\,\boldsymbol{\widehat{y}}\,\right)$. Es ist von einem homogenen Magnetfeld $\boldsymbol{B}=1{,}3\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{x}}$ umgeben. Berechnen Sie die auf den Leiterabschnitt wirkende Kraft.

1.3.3 23.8 •• 

Durch den in Abbildung 23.31 skizzierten Leiterabschnitt fließt von a nach b ein Strom von $1{,}8\,\mathrm{A}$. Den Leiterabschnitt umgibt ein Magnetfeld $\boldsymbol{B}=1{,}2\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{z}}$. Berechnen Sie die insgesamt auf den Leiter wirkende Kraft und zeigen Sie, dass sich die gleiche Kraft ergibt, wenn der Leiterabschnitt geradlinig von a nach b verläuft und vom selben Strom durchflossen wird.

Abb. 23.31

Zu Aufgabe 23.8.

1.3.4 23.9 ••• 

Durch einen in beliebiger Form gebogenen, in einem homogenen Magnetfeld B befindlichen Draht fließt ein Strom I. Zeigen Sie explizit, dass die Kraft auf einen Abschnitt des Drahts, der von den beliebig gewählten Punkten a und b begrenzt wird, gegeben ist durch $\boldsymbol{F}=I\,\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}$; dabei ist l ein Vektor, der vom Punkt a zum Punkt b zeigt. Anders ausgedrückt: Zeigen Sie, dass auf den beliebig gebogenen Leiterabschnitt dieselbe Kraft wirkt wie auf einen geraden Abschnitt, der die gleichen Endpunkte miteinander verbindet.

1.4 Die Bewegung einer Punktladungin einem Magnetfeld

1.4.1 23.10 • 

Ein Proton bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 65 cm. Die Bahn befindet sich in einem Magnetfeld mit einer Feldstärke von 0,75 T, das senkrecht auf der Bahn steht. Berechnen Sie a) die Periode der Kreisbewegung, b) die Bahngeschwindigkeit und c) die kinetische Energie des Protons.

1.4.2 23.11 • 

Ein Elektron mit einer kinetischen Energie von 4,5 keV bewegt sich auf einer Kreisbahn, die sich in einem senkrecht zur Bahn gerichteten Magnetfeld mit einer Feldstärke von 0,325 T befindet. a) Berechnen Sie den Radius der Bahn. b) Berechnen Sie die Frequenz und die Periode der Kreisbewegung.

1.4.3 23.12 •• 

Ein Proton, ein Deuteron und ein Alphateilchen bewegen sich auf Kreisbahnen, die alle den gleichen Radius haben und sich in einem homogenen Magnetfeld befinden. Die Ladung des Deuterons ist gleich der Ladung des Protons, die Ladung des Alphateilchens ist doppelt so groß. Außerdem sei $m_{\upalpha}=2m_{\mathrm{d}}=4m_{\mathrm{p}}$. Vergleichen Sie a) die Geschwindigkeiten, b) die kinetischen Energien und c) die Beträge der Drehimpulse bezüglich der Bahnmittelpunkte der drei Teilchen.

1.4.4 23.13 •• 

Ein Teilchenstrahl mit der Geschwindigkeit v tritt in ein homogenes Magnetfeld B ein, das in +x-Richtung zeigt. Die x-Komponente der Verschiebung eines Teilchens ist gegeben durch $2\,\uppi\left(m/|q\,\boldsymbol{B}|\right)v\,\mathrm{cos\> }\theta$, wobei θ der Winkel ist, den v mit B einschließt. Zeigen Sie, dass der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens dann in dieselbe Richtung zeigt wie beim Eintritt in das Feld.

1.5 Die auf geladene Teilchenwirkende magnetische Kraft

1.5.1 23.14 • 

Ein Geschwindigkeitsfilter arbeitet mit einem $0{,}28\,\mathrm{T}$ starken Magnetfeld senkrecht zu einem $0{,}46\,\mathrm{MV/m}$ starken elektrischen Feld. a) Wie schnell muss sich ein Teilchen bewegen, um das Filter ohne Ablenkung zu durchqueren? b) Protonen und c) Elektronen welcher Energie können das Filter unabgelenkt durchqueren?

1.5.2 23.15 •• 

Es gibt zwei stabile Chlorisotope, ${}^{35}$Cl und ${}^{37}$Cl. Eine Mischung einfach ionisierter Chlormoleküle in der Gasphase soll mithilfe eines Massenspektrometers in die Isotopenanteile getrennt werden. Das Spektrometer arbeitet mit einer Magnetfeldstärke von $1{,}2\,\mathrm{T}$. Welche Beschleunigungsspannung muss mindestens anliegen, damit die räumliche Trennung der Isotope nach dem Durchlaufen der Halbkreisbahn $1{,}4\,\mathrm{cm}$ beträgt?

1.5.3 23.16 •• 

Ein Zyklotron zur Beschleunigung von Protonen arbeitet mit einem Magnetfeld von $1{,}4\,\mathrm{T}$ und hat einen Radius von $0{,}70\mathrm{\ m}$. a) Geben Sie die Zyklotronfrequenz an. b) Berechnen Sie die kinetische Energie der Protonen beim Austritt aus dem Zyklotron. c) Wie ändern sich Ihre Ergebnisse, wenn Sie Deuteronen anstelle von Protonen betrachten?

1.5.4 23.17 •• 

Zeigen Sie: Der Bahnradius eines geladenen Teilchens in einem Zyklotron ist proportional zur Wurzel aus der Anzahl der absolvierten Umläufe.

1.6 Das auf Leiterschleifen und Magnete ausgeübte Drehmoment, magnetische Momente

1.6.1 23.18 • 

Ein elektrischer Leiter hat die Form eines Quadrats mit der Seitenlänge $l=6{,}0\,\mathrm{cm}$ und liegt in der x-y-Ebene. Durch den Leiter fließt ein Strom $I=2{,}5\,\mathrm{A}$, es herrscht ein äußeres homogenes Magnetfeld mit einer Stärke von $0{,}30\,\mathrm{T}$. Geben Sie den Betrag des Drehmoments an, das auf den Leiter wirkt, wenn das Magnetfeld a) in +z-Richtung und b) in +x-Richtung zeigt.

1.6.2 23.19 • 

Ein elektrischer Leiter hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $l=8{,}0\,\mathrm{cm}$ und liegt in der x-y-Ebene. Durch den Leiter fließt ein Strom $I=2{,}5\,\mathrm{A}$, es herrscht ein äußeres homogenes Magnetfeld mit einer Stärke von $0{,}30\,\mathrm{T}$. Geben Sie den Betrag des Drehmoments an, das auf den Leiter wirkt, wenn das Magnetfeld a) in +z-Richtung und b) in +x-Richtung zeigt.

1.6.3 23.20 •• 

Eine Leiterschleife besteht aus zwei Halbkreisbögen, verbunden durch gerade Abschnitte (Abbildung 23.32). Der innere Radius ist $0{,}30\,\mathrm{m}$, der äußere $0{,}50\,\mathrm{m}$. Durch die Schleife fließt (im äußeren Bogen in Uhrzeigerrichtung) ein Strom $I=1{,}5\,\mathrm{A}$. Geben Sie das magnetische Moment der Leiterschleife an.

Abb. 23.32

Zu Aufgabe 23.20.

1.6.4 23.21 •• 

Ein Teilchen mit der Ladung q und der Masse m bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. a) Zeigen Sie, dass der Mittelwert des Stroms, der durch die Bewegung des Teilchens erzeugt wird, gegeben ist durch $I=q\,\omega/\left(2\uppi\right)$ und dass der Betrag des magnetischen Moments $\mu=\frac{1}{2}\,q\,\omega\,r^{2}$ ist. b) Zeigen Sie, dass der Betrag des Drehimpulses $L=m\,r^{2}\,\omega$ ist und dass die Beziehung zwischen den Vektoren des magnetischen Moments und des Drehimpulses $\boldsymbol{\mu}=\left(\tfrac{1}{2}\,q/m\right)\boldsymbol{L}$ lautet; L ist der Drehimpuls bezüglich des Mittelpunkts der Bahn.

1.6.5 23.22 ••• 

Gegeben ist ein nichtleitender Hohlzylinder mit der Länge l, dem Außenradius $r_{\mathrm{a}}$ und dem Innenradius $r_{\mathrm{i}}$ (Abbildung 23.33), der sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um seine Längsachse dreht. In der Zylinderschale herrscht eine homogene Raumladungsdichte ρ. Leiten Sie einen Ausdruck für das magnetische Moment des Hohlzylinders her.

Abb. 23.33

Zu Aufgabe 23.22

1.6.6 23.23 ••• 

An der Oberfläche einer Kugelschale mit dem Radius r herrscht eine homogene Flächenladungsdichte σ. Die Kugel rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω um ihren Durchmesser. Geben Sie einen Ausdruck für das magnetische Moment der rotierenden Kugelschale an.

1.7 Der Hall-Effekt

1.7.1 23.24 • 

Ein 2,00 cm breiter und $0{,}100\,\mathrm{cm}$ dicker Metallstreifen wird von einem Strom mit einer Stärke von 20,0 A durchflossen und befindet sich in einem homogenen Magnetfeld von 2,00 T (Abbildung 23.34). Es wird eine Hall-Spannung von $4{,}27\,\mathrm{\upmu V}$ gemessen. Berechnen Sie a) die Driftgeschwindigkeit der freien Elektronen und b) deren Anzahldichte im Leiter. c) Befindet sich Punkt a oder Punkt b auf höherem Potenzial? Begründen Sie Ihre Antwort.

Abb. 23.34

Zu Aufgabe 23.24.

1.7.2 23.25 •• 

Eine Anwendung aus der Biologie: Blut enthält geladene Teilchen (Ionen), sodass fließendes Blut eine Hall-Spannung über dem Durchmesser einer Ader hervorrufen kann. Die Fließgeschwindigkeit des Bluts in einer großen Arterie mit einem Durchmesser von $0{,}85\,\mathrm{cm}$ sei maximal $0{,}60\,\mathrm{m/s}$. Ein Abschnitt der Arterie befinde sich in einem Magnetfeld von $0{,}20\,\mathrm{T}$. Welche Potenzialdifferenz baut sich dort maximal über dem Durchmesser der Ader auf?

1.7.3 23.26 •• 

Der Hall-Koeffizient $R_{\mathrm{H}}$, eine Eigenschaft von Leitern (ähnlich dem spezifischen Widerstand), ist definiert gemäß $R_{\mathrm{H}}=E_{y}/\left(j_{x}\,B_{z}\right)$ mit j _x als x-Komponente der Stromdichte im Material, B _z als z-Komponente der Magnetfeldstärke und E _y als y-Komponente des resultierenden Hall-Felds. Zeigen Sie, dass der Hall-Koeffizient gleich $1/\left[(n/V)\,q\right]$ ist. (q ist die Ladung pro Ladungsträger, also −e für Elektronen, und $n/V$ deren Anzahldichte. Die Hall-Koeffizienten einwertiger Metalle wie Kupfer, Silber und Natrium sind folglich negativ.)

1.8 Allgemeine Aufgaben

1.8.1 23.27 • 

Ein Alphateilchen (Ladung $+2e$) bewegt sich in einem Magnetfeld von 0,10 T auf einer Kreisbahn mit einem Radius von $0{,}50\mathrm{\ m}$. Berechen Sie a) die Periode, b) den Betrag der Geschwindigkeit und c) die kinetische Energie (in Elektronenvolt) des Teilchens. Für die Masse des Teilchens setzen Sie $m=6{,}65\cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ein.

1.8.2 23.28 •• 

Ein langer, dünner Stabmagnet mit dem magnetischen Moment $\boldsymbol{\mu}$ parallel zu seiner Längsachse ist in der Mitte reibungsfrei gelagert und wird als Kompassnadel verwendet. In einem horizontal orientierten Magnetfeld B richtet sich die Nadel an den Feldlinien aus. Zeigen Sie, dass die Nadel nach einer Auslenkung um den kleinen Winkel θ mit der Frequenz $\nu=\frac{1}{2\,\uppi}\sqrt{|\boldsymbol{\mu}|\,|\boldsymbol{B}|/I}$ um ihre Gleichgewichtslage schwingt. I ist das Trägheitsmoment bezüglich des Lagers.

1.8.3 23.29 •• 

Ein 20 m langer, leitfähiger Draht ist parallel zur y-Achse ausgerichtet und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $20\,\mathrm{m/s}$ in +x -Richtung. Die Anordnung befindet sich in einem Magnetfeld $\boldsymbol{B}=0{,}50\,\mathrm{T}\,\boldsymbol{\widehat{z}}$. a) Durch die magnetische Kraft bewegen sich die Elektronen so lange zu einem Ende des Drahts (wodurch das andere Ende eine positive Ladung erhält), bis die Kraft des durch die Ladungstrennung erzeugten elektrischen Felds die magnetische Kraft kompensiert. Berechnen Sie Betrag und Richtung dieses elektrischen Felds im stationären Zustand. b) Welches Ende des Drahts ist positiv geladen und welches negativ? c) Der bewegte Leiter sei 2,0 m lang. Welche Potenzialdifferenz baut sich durch das in Teilaufgabe a berechnete elektrische Feld zwischen den Enden des Leiters auf?

1.8.4 23.30 ••• 

Das magnetische Moment $\boldsymbol{\mu}$ eines kleinen Stabmagneten schließt einen Winkel θ mit der x-Achse ein. Der Magnet befindet sich in einem inhomogenen Magnetfeld $\boldsymbol{B}=B_{x}\left(x\right)\boldsymbol{\widehat{x}}+B_{y}\left(y\right)\boldsymbol{\widehat{y}}$. Zeigen Sie, dass auf den Magneten die resultierende Kraft

$$\boldsymbol{F}=\mu_{x}\frac{\partial B_{x}}{\partial x}\,\boldsymbol{\widehat{x}}+\mu_{y}\frac{\partial B_{y}}{\partial y}\,\boldsymbol{\widehat{y}}$$

wirkt. Verwenden Sie die Beziehungen $F_{x}=-\partial E_{\mathrm{pot}}/\partial x$, $F_{y}=-\partial E_{\mathrm{pot}}/\partial y$ und $F_{z}=-\partial E_{\mathrm{pot}}/\partial z$.