Elektrischer Strom – Gleichstromkreise

Zusammenfassung

Wenn wir Licht einschalten, verbinden wir die Glühlampe mit den Polen einer Spannungsquelle, zwischen denen eine Potenzialdifferenz – eine elektrische Spannung – besteht. Diese Potenzialdifferenz bewirkt, dass elektrische Ladungen durch den Glühdraht fließen, ähnlich wie Wasser, das infolge des Druckunterschieds durch einen Gartenschlauch strömt, sobald wir den Wasserhahn aufdrehen. Einen Fluss elektrischer Ladungen bezeichnet man als elektrischen Strom. Wir denken dabei normalerweise an Ladungsträger, die sich durch einen leitfähigen Draht bewegen. Weniger alltägliche Beispiele sind der Elektronenstrahl einer Bildröhre und ein Ionenstrahl in einem Teilchenbeschleuniger.

Manchmal ist es nützlich, sich mit der Funktionsweise von Gleichstromkreisen auszukennen – zum Beispiel, wenn man bei leerer Batterie sein Auto fremdstarten möchte, ohne die Batterie und sich selbst zu gefährden. (© Tom Stewart/Corbis.)

? Welcher Anschluss des Überbrückungskabels gehört an welchen Pol der Batterie? (Siehe Beispiel 22.15)

Appendices

Im Kontext: Autoelektrik – ein Thema in Bewegung

Seit den 1930er Jahren betrieb man das elektrische Bordnetz von Automobilen mit einer Nennspannung von 6 V, was eine Ladespannung der Akkumulatoren von 7 V erforderte. Gegen Mitte der 1950er Jahre stellte sich heraus, dass diese Spannung zum Betrieb der Autoelektrik künftig nicht mehr ausreichen würde. Die neuen 12-V-Akkumulatorblöcke mit einer Ladespannung von 14 V lieferten eine Ladeschlussspannung (Nennspannung während der Fahrt) von 14 V.${}^{1}$ Bis die Autoindustrie sich entsprechend umgestellt hatte, vergingen etliche Jahre.${}^{2}$

In den 1960er Jahren bestand die von Batterie bzw. Lichtmaschine zu versorgende Autoelektrik im Wesentlichen aus Anlasser, Zündung, Beleuchtung, Hupe, Radio und bestenfalls (in Luxuslimousinen) noch einer Standheizung und einem Gebläse.${}^{3}$ Inzwischen bieten schon Mittelklassewagen zahlreiche elektrische und elektronische Systeme${}^{4}$, z. B. Crash-Sensoren, Automatikbremsen, elektrisch verstellbare Sitze, Servolenkung, Bremskraftverstärker, Klimaanlage, Scheibenwischer mit Intervallbetrieb, Unterhaltungselektronik mit Videodisplay, Motorsteuerung, Tempomat und elektrische Fensterheber. In komfortablen Autos der Oberklasse findet man darüber hinaus Radare zur Abstandsmessung${}^{5}$, elektronische Gaspedale, Stabilitäts- und Fahrwerksregelungen oder Sitzheizungen${}^{6}$. Ein Auto nimmt heute eine Leistung von 1,5 bis 2 kW auf; in näherer Zukunft rechnet man mit 3,5 kW oder mehr.${}^{7}$ Auf die Bordelektrik und -elektronik entfällt mittlerweile über ein Fünftel der Herstellungskosten eines durchschnittlichen Fahrzeugs.${}^{8}$

(© Graham Harrison/Alamy.)

Dass die Anforderungen an das Bordnetz deutlich weiter steigen werden, lässt sich heute schon absehen.${}^{9}$ Man diskutiert deshalb seit einiger Zeit über den Einsatz von 36-V-Batterien zum Betrieb von 42-V-Netzen . Die Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom; wenn also die Spannung steigt, muss der Strom sinken, wenn die Leistung gleich bleiben soll. Reizvoll an dieser Idee ist deshalb, dass man zur Verkabelung der Geräte dann dünnere, leichtere Drähte verwenden kann.${}^{10}$ Die höhere Spannung würde außerdem kleinere, leichtere Anlassermotoren und Lichtmaschinen zulassen. Der Umstieg auf die höhere Bordnetzspannung erweist sich jedoch als komplizierter, als zunächst angenommen wurde. In einer Designstudie konnte das 42-V-System nur mit maßgeschneiderten Spezialteilen verwirklicht werden.${}^{11}$ Bei einem 14-V-System kommt es bei einer Verbindung, die sich durch die Vibration gelockert hat, auch dann nicht zu einem durchgehenden Lichtbogen, wenn die Lücke zwischen den Leitern rund 1 mm breit ist. Bei einem 42-V-System hingegen reicht eine solche Lücke aus, dass ein Lichtbogen überschlägt und die Gefahr eines Kabelbrands steigt.${}^{12}$ Deshalb werden hier wesentlich teurere Steckersysteme benötigt. Bis Jahresmitte 2005 hatten sich bereits etliche große Automobilfirmen darauf verständigt, innerhalb der kommenden Jahre auf höhere Bordnetzspannungen zu verzichten.${}^{13{,}14}$ Ein Forschungskonsortium verfolgt das Thema vorerst weiter.${}^{15}$ Sobald sich ein Umstieg auf das 42-V-System wirtschaftlich lohnt, wird es vermutlich in der Massenproduktion von Automobilen Einzug halten.

• 1. Ribbens, W. B., Understanding Automotive Electronics, 6. Aufl., New York: Newnes (Elsevier), 2003.

• 2. Corbett, B., „No Flick of the Switch“, Ward’s Auto World, April 2001, 37, Nr. 4, S. 50.

• 3. Ribbens, W. B., a. a. O.

• 4. Automotive Electronics Handbook, Jurgen, R. (Hrsg.), New York: McGraw-Hill, 1995.

• 5. Allen, R., „New Technologies Make Roads Safer … One Smart Car at a Time“ Electronic Design, 29. Juni 2006, S. 41–44.

• 6. „The 2009 S600 Sedan“, Mercedes-Benz. http://www.mbusa.com/mercedes/#/vehiclesMenu/exploreOverview/?yr=2009&vmf=600V&vc=S (Stand: April 2009).

• 7. Masrur, M., Monroe, J., Patel, R. und Garg, V. K., „42-Volt Electrical Power System for Military Vehicles – Comparison with Commercial Automotive Systems“, Vehicular Technology Conference, 2002. Tagungsbericht VTC 2002-Fall, 2002 IEEE 56, 3, S. 1846–1850.

• 8. Marsh, D., „LIN Simplifies and Standardizes In-Vehicle Networks“, Electronic Design News, 8. April 2005, S. 29 ff.

• 9. Huber, P. W. und Mills, M. P., „The End of the M. E.?“, Mechanical Engineering, Mai 2005, S. 26–29.

• 10. Truett, R., „42-Volt Systems Boost Fuel Economy Efforts“, Automotive News, 21. Okt. 2001, 77, Nr. 6008, S. 6.

• 11. „No-Compromise Mild Hybrid Car Engine Has a Promising Future“, Asia-Pacific Engineer, 1. Juni 2003.

• 12. Moran, T., „42-Volt Challenges: Arcs and Sparcs“, Automotive News, 12. März 2001, 75, Nr. 5920, S. 8.

• 13. Kelly, K., „DC Dumps 42-Volts“, Ward’s AutoWorld, Juni 2004, S. 9.

• 14. Crain, K., „Let’s Step Back, Rethink Technology“, Automotive News, 3. Jan. 2005, 79, Nr. 6128, S. 12.

• 15. MIT/Industry Consortium on Advanced Automotive Electrical/Electronic Components and Systems, „Consortium Research Units“. http://lees.mit.edu/public/In_the_News/InTheNews.htm (Stand: April 2009).

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 22.1 • 

Bei der Diskussion der Elektrostatik hatten wir festgestellt, dass in einem Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht kein elektrisches Feld existiert. Warum können wir jetzt über elektrische Felder innerhalb des Materials von Leitern sprechen?

1.1.2 22.2 • 

Gegeben sind zwei Kupferdrähte gleicher Masse mit kreisförmigen Querschnitten; Draht A ist doppelt so lang wie Draht B. Wie verhalten sich die Widerstände der Drähte zueinander (unter Vernachlässigung von Temperatureffekten)? a) $R_{\mathrm{A}}=8R_{\mathrm{B}}$, b) $R_{\mathrm{A}}=4R_{\mathrm{B}}$, c) $R_{\mathrm{A}}=2R_{\mathrm{B}}$, d) $R_{\mathrm{A}}=R_{\mathrm{B}}$.

1.1.3 22.3 • 

Zwei Ohm’sche Widerstände R ₁ und R ₂ werden parallel geschaltet. Wie groß ist der Ersatzwiderstand der Schaltung ungefähr, wenn $R_{1}\gg R_{2}$ ist? a) R ₁, b) R ₂, c) 0, d) unendlich groß.

1.1.4 22.4 • 

Zwei Ohm’sche Widerstände R ₁ und R ₂ werden in Reihe geschaltet. Wie groß ist ungefähr der Ersatzwiderstand der Schaltung, wenn $R_{1}\gg R_{2}$ ist? a) R ₁, b) R ₂, c) 0, d) unendlich groß.

1.1.5 22.5 • 

Eine Parallelschaltung zweier Ohm’scher Widerstände A und B ist an die Klemmen einer Batterie angeschlossen. Der Widerstand von A ist doppelt so groß wie der von B. Wenn durch A ein Strom I fließt, welcher Strom fließt dann durch B? a) I, b) $2I$, c) $I/2$, d) $4I$, e) $I/4$.

1.1.6 22.6 • 

Eine Reihenschaltung zweier Ohm’scher Widerstände A und B ist an die Klemmen einer Batterie angeschlossen. Der Widerstand von A ist doppelt so groß wie der von B. Wenn durch A ein Strom I fließt, welcher Strom fließt dann durch B? a) I, b) $2I$, c) $I/2$, d) $4I$, e) $I/4$.

1.1.7 22.7 • 

Richtig oder falsch? a) Der Innenwiderstand eines idealen Voltmeters ist null. b) Der Innenwiderstand eines idealen Amperemeters ist null. c) Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist null.

1.1.8 22.8 • 

Der Kondensator C in Abbildung 22.49 ist anfangs entladen. Welche der folgenden Aussagen trifft unmittelbar nach dem Schließen des Schalters zu? a) An C liegt die Spannung $U_{\mathrm{Q}}$ an. b) An R liegt die Spannung $U_{\mathrm{Q}}$ an. c) Im Stromkreis fließt kein Strom. d) a und c sind richtig.

Abb. 22.49

Zu den Aufgaben 22.8. und 22.9.

1.1.9 22.9 •• 

Der Kondensator C in Abbildung 22.49 ist anfangs entladen. Welche der folgenden Aussagen trifft zu, wenn der Schalter längere Zeit geschlossen bleibt? a) Die Batterie gibt die Energie $\tfrac{1}{2}\,C\,U_{\mathrm{Q}}^{2}$ ab. b) Dem Ohm’schen Widerstand wird die Energie $\tfrac{1}{2}\,C\,U_{\mathrm{Q}}^{2}$ zugeführt. c) Im Ohm’schen Widerstand wird die Energie mit konstanter Rate umgesetzt. d) Durch den Ohm’schen Widerstand fließt insgesamt eine Ladung $\tfrac{1}{2}\,C\,U_{\mathrm{Q}}$.

1.1.10 22.10 •• 

Für die Werte der Widerstände R ₁, R ₂ und R ₃ in Abbildung 22.50 gilt die Beziehung $R_{2}=R_{3}=2R_{1}$. An R ₁ wird die Leistung P umgesetzt. Welche Leistung wird dann an R ₂ und R ₃ umgesetzt?

Abb. 22.50

Zu Aufgabe 22.10.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 22.11 •• 

a) Schätzen Sie den Widerstand eines Fremdstartkabels für Autos ab. b) Finden Sie heraus, welcher Strom beim Starten eines durchschnittlichen Autos ungefähr fließt. Wie groß ist die Spannung, die bei diesem Strom über das Fremdstartkabel abfällt? c) Welche Leistung wird dabei im Kabel umgesetzt?

1.2.2 22.12 •• 

Der Querschnitt der im Haushalt verlegten elektrischen Leitungen muss hinreichend groß sein, damit sich die Kabel nicht so weit erhitzen, dass ein Brand entsteht. Durch eine bestimmte Leitung soll ein Strom von $20\,\mathrm{A}$ fließen; die Joule’sche Erwärmung des Kupferdrahts darf in diesem Fall $2{,}0\,\mathrm{W/m}$ nicht übersteigen. Welchen Durchmesser muss die Leitung haben, um der Anforderung zu genügen?

1.3 Elektrischer Strom und die Bewegung von Ladungsträgern

1.3.1 22.13 •• 

Zwei kupferne Drahtstücke mit Durchmessern von $2{,}6\,\mathrm{mm}$ und $1{,}6\,\mathrm{mm}$ sind hintereinander verschweißt und werden von einem 15 A starken Strom durchflossen. a) Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in jedem Drahtabschnitt unter der Annahme, dass auf jedes Kupferatom genau ein freies Elektron kommt. b) Geben Sie das Verhältnis der Beträge der Stromdichte in beiden Drahtstücken an.

1.3.2 22.14 •• 

Ein Beschleuniger erzeugt einen Protonenstrahl mit einem kreisförmigen Querschnitt und einem Durchmesser von $2{,}0\,\mathrm{mm}$; hindurch fließt ein Strom von $1{,}0\,\mathrm{mA}$. Die Stromdichte ist homogen über den Strahlquerschnitt verteilt. Jedes Proton besitzt eine kinetische Energie von 20 MeV. Der Strahl trifft auf ein metallisches Target, von dem er absorbiert wird. a) Geben Sie die Anzahldichte der Protonen im Strahl an. b) Wie viele Protonen treffen pro Minute auf das Target? c) Wie groß ist der Betrag der Stromdichte in diesem Strahl?

1.3.3 22.15 •• 

Die Protonen eines 5,00-mA-Strahls in einem geplanten Protonenspeicherring, einem sogenannten Supercollider, bewegen sich nahezu mit Lichtgeschwindigkeit. Die Stromdichte ist homogen über den Strahl verteilt. a) Berechnen Sie die Protonenzahl pro Meter des Strahls. b) Der Strahlquerschnitt sei $1{,}00\cdot 10^{-6}\mathrm{\ m}^{2}$. Geben Sie die Anzahldichte der Protonen an. c) Berechnen Sie den Betrag der Stromdichte im Strahl.

1.4 Widerstand und Ohm’sches Gesetz

Hinweis: Falls nicht anders angegeben, handelt es sich hier stets um Ohm’sche (also konstante) Widerstände.

1.4.1 22.16 • 

Durch einen 10 m langen Draht mit einem Widerstand von $0{,}20\,\Upomega$ fließt ein Strom von 5,0 A. a) Wie groß ist der Spannungsabfall über den Draht? b) Geben Sie die elektrische Feldstärke im Draht an.

1.4.2 22.17 •• 

Gegeben ist ein Zylinder aus Glas mit einer Länge von $1{,}00\,\mathrm{cm}$ und einem spezifischen Widerstand von $1{,}01\cdot 10^{12}\,\Upomega\cdot\mathrm{m}$. Wie lang muss ein Kupferkabel mit der gleichen Querschnittsfläche sein, um denselben Widerstand wie der Glaszylinder aufzuweisen?

1.4.3 22.18 •• 

Für Stromstärken bis zu $30\,\mathrm{A}$ werden Kabel benutzt, deren Kupferdrähte einen Durchmesser von $2{,}6\,\mathrm{mm}$ aufweisen. a) Wie groß ist der Widerstand eines solchen Kabels von $100\,\mathrm{m}$ Länge? b) Wie groß ist die elektrische Feldstärke im Draht, wenn ein Strom von $30{,}0\,\mathrm{A}$ fließt? c) Wie lange dauert es unter diesen Bedingungen, bis sich ein Elektron entlang des Drahts um $100\,\mathrm{m}$ weiterbewegt hat?

1.4.4 22.19 ••• 

Geben Sie einen Ausdruck für den Widerstand zwischen den Enden des in Abbildung 22.51 dargestellten Halbrings an. Der spezifische Widerstand des Materials sei r. (Hinweis: Modellieren Sie den Halbring als Parallelschaltung sehr vieler dünner Halbringe. Nehmen Sie an, dass die Stromdichte jeweils homogen über eine Querschnittsfläche des Halbrings verteilt ist.)

Abb. 22.51

Zu Aufgabe 22.19.

1.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstands

1.5.1 22.20 • 

Bei welcher Temperatur besitzt ein Kupferdraht einen um 10 % größeren Widerstand als bei 20 ${}^{\circ}$C?

1.5.2 22.21 •• 

Sie möchten die Arbeitstemperatur der aus der Legierung Nichrom bestehenden Heizschlange Ihres Toasters ermitteln. Bei $20\,\mathrm{{}^{\circ}C}$ messen Sie einen Widerstand des Heizelements von $80{,}0\,\Upomega$. Als Nächstes stellen Sie fest, dass unmittelbar nach dem Anschalten des Geräts durch die noch nicht signifikant erwärmte Heizschlange ein Strom von $8{,}70\,\mathrm{A}$ fließt. Nachdem die Heizschlange ihre Endtemperatur erreicht hat, beträgt die Stromstärke nur noch $7{,}00\mathrm{\ A}$. Wie heiß wird das Heizelement?

1.5.3 22.22 ••• 

Zwei Drähte mit gleicher Querschnittsfläche A, den Längen l ₁ bzw. l ₂, den spezifischen Widerständen r ₁ bzw. r ₂ und den zugehörigen Temperaturkoeffizienten $\alpha_{1}$ bzw. $\alpha_{2}$ sind an den Enden so miteinander verbunden, dass durch beide der gleiche Strom fließt. a) Zeigen Sie, dass der Widerstand R der gesamten Anordnung für kleine Temperaturänderungen nicht von der Temperatur abhängt, wenn gilt: $r_{1}\,l_{1}\,\alpha_{1}+r_{2}\,l_{2}\,\alpha_{2}=0$. b) Der eine Draht bestehe aus Kohlenstoff, der andere aus Kupfer. In welchem Verhältnis müssen die Längen der Drähte zueinander stehen, damit R näherungsweise unabhängig von der Temperatur ist?

1.5.4 22.23 ••• 

Eine kleine 5,00-V-Kohlefadenlampe hat einen zylinderförmigen Glühfaden mit einer Länge von $3{,}00\,\mathrm{cm}$ und einem Durchmesser $d=40{,}0\,\mathrm{}\upmu\mathrm{m}$. Der spezifische Widerstand von Kohlenstoff, der zur Herstellung von Glühfäden eingesetzt wird, beträgt bei Temperaturen zwischen 500 und $700\mathrm{\ K}$ ungefähr $3{,}00\cdot 10^{-5}\,\Upomega\cdot\mathrm{m}$. a) Wie heiß wird der Glühfaden beim Betrieb der Lampe? Behandeln Sie die Glühlampe als idealen schwarzen Strahler. b) Der spezifische Widerstand von Kohlenstoff nimmt mit steigender Temperatur ab, der von Wolfram nicht. Bei Kohlefadenlampen kann es deshalb zu Problemen kommen, die bei Glühlampen mit Wolframdraht nicht auftreten. Erklären Sie, warum.

1.6 Energie in elektrischen Stromkreisen

1.6.1 22.24 • 

An eine Batterie mit einer Quellenspannung von $6{,}0\,\mathrm{V}$ und einem Innenwiderstand von $0{,}30\,\Upomega$ wird ein regelbarer Lastwiderstand R angeschlossen. Berechnen Sie die Stromstärke und die Leistungsabgabe der Batterie für a) R = 0, b) $R=5{,}0\,\Upomega$, c) $R=10\,\Upomega$ und d) für einen unendlich großen Lastwiderstand.

1.6.2 22.25 •• 

Ein mit einem Elektromotor ausgerüstetes Leichtfahrzeug wird mit zehn 12,00-V-Akkumulatoren betrieben. Jeder Akkumulator kann eine Ladungsmenge von $160\,\mathrm{A}\cdot\mathrm{h}$ abgeben, bevor er nachgeladen werden muss. Die mittlere Reibungskraft bei einer Geschwindigkeit von $80{,}0\,\mathrm{km/h}$ beträgt $1{,}20\,\mathrm{kN}$. a) Wie groß muss die vom Motor abgegebene Leistung mindestens sein, damit das Auto sich mit einer Geschwindigkeit von $80\,\mathrm{km/h}$ bewegt? b) Geben Sie die Gesamtladungsmenge in Coulomb an, die alle Akkumulatoren zusammengenommen während eines Ladezyklus liefern können. c) Wie viel elektrische Energie geben die Akkumulatoren zusammengenommen während eines Entladezyklus ab? d) Wie weit kann das Auto mit einer Geschwindigkeit von $80{,}0\,\mathrm{km/h}$ fahren, bevor die Akkumulatoren nachgeladen werden müssen? e) Das Aufladen der Akkumulatoren koste 9,00 Eurocent pro Kilowattstunde. Geben Sie die (Strom-)Kosten pro gefahrenem Kilometer an.

1.7 Zusammenschaltungen von Widerständen

1.7.1 22.26 • 

a) Zeigen Sie, dass der Ersatzwiderstand zwischen den Punkten a und b in Abbildung 22.52 gleich R ist. b) Welchen Effekt hat das Einfügen eines fünften Widerstands R zwischen den Punkten c und d auf diesen Ersatzwiderstand?

Abb. 22.52

Zu Aufgabe 22.26.

1.7.2 22.27 •• 

Sie vermessen eine unbekannte Batterie: Zuerst schließen Sie an die Klemmen einen Lastwiderstand $R_{1}=5{,}00\,\Upomega$ an, die Stromstärke im Stromkreis beträgt dann $0{,}500\,\mathrm{A}$. Schließen Sie nun einen Widerstand $R_{2}=11{,}0\,\Upomega$ an, so fließt ein Strom von nur $0{,}250\,\mathrm{A}$. Berechnen Sie a) die Quellenspannung $U_{\mathrm{Q}}$ und b) den Innenwiderstand $R_{\mathrm{in}}$ der Batterie.

1.7.3 22.28 •• 

Aus einem Ohm’schen Widerstand $R_{1}=8{,}00\,\Upomega$, einem unbekannten Widerstand R ₂, einem weiteren Widerstand $R_{3}=16{,}0\,\Upomega$ und einer idealen Spannungsquelle werden nacheinander zwei verschiedene Stromkreise aufgebaut: Zuerst wird eine parallele Kombination aus R ₁ und R ₂ mit R ₃ und der Batterie in Reihe geschaltet, dann werden alle drei Ohm’schen Widerstände mit der Batterie in Reihe geschaltet. In beiden Fällen fließt der gleiche Strom durch R ₁. Wie groß ist der unbekannte Widerstand R ₂?

1.7.4 22.29 •• 

Gegeben ist die in Abbildung 22.53 skizzierte Schaltung mit R _ab als Ersatzwiderstand zwischen den Punkten a und b. Zu berechnen ist a) R ₃, wenn $R_{ab}=R_{1}$ sein soll, b) R ₂, wenn $R_{ab}=R_{3}$ sein soll, und c) R ₁, wenn $R_{ab}=R_{1}$ sein soll.

Abb. 22.53

Zu Aufgabe 22.29.

1.8 Kirchhoff’sche Regeln

Hinweis: Zur Lösung der Aufgaben in diesem Abschnitt sollen Sie die Kirchhoff’schen Regeln anwenden, auch wenn es einen alternativen Weg über die Berechnung von Ersatzwiderständen gibt.

1.8.1 22.30 • 

Gegeben ist der in Abbildung 22.54 skizzierte Stromkreis. Berechnen Sie a) die Stromstärke mit der Kirchhoff’schen Maschenregel, b) die von jeder der Spannungsquellen abgegebene oder aufgenommene Leistung sowie c) die Rate der Joule’schen Erwärmung jedes Ohm’schen Widerstands. (Die Innenwiderstände der Batterien seien zu vernachlässigen.)

Abb. 22.54

Zu Aufgabe 22.30.

1.8.2 22.31 •• 

Betrachten Sie den Stromkreis in Abbildung 22.55. Das Amperemeter zeigt den gleichen Wert an, wenn die Schalter beide geöffnet oder beide geschlossen sind. Wie groß ist R?

Abb. 22.55

Zu Aufgabe 22.31.

1.8.3 22.32 •• 

Gegeben ist der Stromkreis in Abbildung 22.56; die Innenwiderstände der Batterien seien zu vernachlässigen. Berechnen Sie a) den durch jeden Ohm’schen Widerstand fließenden Strom, b) die Spannung zwischen den Punkten a und b sowie c) die von jeder der beiden Batterien abgegebene Leistung.

Abb. 22.56

Zu Aufgabe 22.32.

1.8.4 22.33 •• 

Die in Abbildung 22.57 skizzierte Schaltung nennt man Spannungsteiler. a) Zeigen Sie, dass $U_{\mathrm{aus}}=U\,R_{2}/\left(R_{1}+R_{2}\right)$ ist, wenn kein Lastwiderstand $R_{\mathrm{Last}}$ angeschlossen ist. b) Es sei $R_{1}=R_{2}=10\,\mathrm{k}\Upomega$. Wie groß muss $R_{\mathrm{Last}}$ dann mindestens sein, damit die Ausgangsspannung $U_{\mathrm{aus}}$ im Vergleich zu ihrem Wert ohne Last um weniger als 10 % abnimmt? ($U_{\mathrm{aus}}$ wird relativ zur Erde gemessen.)

Abb. 22.57

Zu Aufgabe 22.33.

1.8.5 22.34 ••• 

Berechnen Sie die Spannung zwischen den Punkten a und b in der in Abbildung 22.58 skizzierten Schaltung.

Abb. 22.58

Zu Aufgabe 22.34.

1.9 Strom- und Spannungsmessgeräte

1.9.1 22.35 •• 

Der Zeiger eines D’Arsonval-Galvanometers schlägt voll aus, wenn ein Strom von $50{,}0\,\mathrm{}\upmu\mathrm{A}$ durch das Messgerät fließt. Der Spannungsabfall über das Galvanometer beträgt dabei $0{,}250\,\mathrm{V}$. Geben Sie den Innenwiderstand des Galvanometers an.

1.9.2 22.36 •• 

Der Zeiger eines D’Arsonval-Galvanometers schlägt voll aus, wenn ein Strom von $50{,}0\,\mathrm{}\upmu\mathrm{A}$ durch das Messgerät fließt. Der Spannungsabfall über das Galvanometer beträgt dabei $0{,}250\,\mathrm{V}$. Angenommen, Sie wollen dieses Gerät in ein Amperemeter umwandeln, mit dem man Ströme bis zu $100\,\mathrm{mA}$ messen kann. Zeigen Sie, dass Sie dazu einen Ohm’schen Widerstand parallel zum Messgerät schalten müssten. Wie groß muss der Widerstand sein?

1.10 RC-Stromkreise

1.10.1 22.37 • 

Betrachten Sie den in Abbildung 22.59 skizzierten Stromkreis. Der Schalter sei lange Zeit in Position a geschlossen gewesen und werde zum Zeitpunkt t = 0 auf Position b umgelegt. a) Berechnen Sie die unmittelbar vor dem Umschalten im Kondensator gespeicherte Energie $E_{\mathrm{el}}$. b) Drücken Sie die im Kondensator gespeicherte Energie als Funktion der nach dem Umschalten vergangenen Zeit t aus. c) Skizzieren Sie den Graphen von $E_{\mathrm{el}}$ als Funktion von t.

Abb. 22.59

Zu Aufgabe 22.37.

1.10.2 22.38 •• 

Betrachten Sie den in Abbildung 22.60 skizzierten Stromkreis. Die Batterie liefert eine Spannung von $6{,}00\,\mathrm{V}$, ihr Innenwiderstand ist zu vernachlässigen. Gegeben sind außerdem $R=2{,}00\,\mathrm{M}\Upomega$ und $C=1{,}50\,\mathrm{}\upmu\mathrm{F}$. Der Schalter war lange Zeit geschlossen und wird nun geöffnet. Berechnen Sie für den Zeitpunkt, zu dem genau eine Zeitkonstante des Stromkreises vergangen ist, a) die Ladung der rechten Kondensatorplatte, b) die Rate, mit der die Ladung zunimmt, c) den fließenden Strom, d) die von der Batterie abgegebene Leistung, e) die dem Widerstand zugeführte Leistung und f) die Rate, mit der die im Kondensator gespeicherte Energie zunimmt.

Abb. 22.60

Zu Aufgabe 22.38.

1.10.3 22.39 •• 

Zeigen Sie, dass sich Gleichung 22.38 auch folgendermaßen schreiben lässt:

$$\frac{\,\mathrm{d}q(t)}{U\,C-q(t)}=\frac{\,\mathrm{d}t}{R\,C}\,.$$

Integrieren Sie diesen Ausdruck, um zu der in Gleichung 22.39 angegebenen Lösung zu gelangen.

1.10.4 22.40 ••• 

Betrachten Sie die in Abbildung 22.61 skizzierte Schaltung. Der Schalter S war lange Zeit geöffnet und wird zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen. a) Berechnen Sie den Strom, der unmittelbar nach dem Schließen des Schalters durch die Batterie fließt. b) Wie groß ist dieser Strom lange nachdem der Schalter geschlossen wurde? c) Geben Sie den Strom durch den Ohm’schen Widerstand mit $R=600\,\Upomega$ als Funktion der Zeit an.

Abb. 22.61

Zu Aufgabe 22.40.

1.11 Allgemeine Aufgaben

1.11.1 22.41 •• 

An einer Reihenschaltung aus einer 25,0-W- und einer 100-W-Glühlampe (beide mit konstantem Widerstand) liegt eine Spannung von 230 V an. a) Welche Lampe leuchtet heller? Begründen Sie Ihre Entscheidung. (Hinweis: Überlegen Sie zunächst, was die Leistungsangabe bedeutet. Unter welchen Bedingungen werden in einer 100-W-Lampe tatsächlich 100 W umgesetzt?) b) Berechnen Sie die in den beiden Lampen unter den angegebenen Bedingungen jeweils umgesetzte Leistung. Bestätigt Ihr Ergebnis Ihre Überlegung aus Teilaufgabe a?

1.11.2 22.42 •• 

Gegeben ist die in Abbildung 22.62 skizzierte Schaltung. Der Schalter S war lange Zeit geöffnet und wird nun geschlossen. a) Wie groß ist der durch die Batterie fließende Strom unmittelbar nach dem Schließen des Schalters S? b) Wie groß ist dieser Strom lange nachdem der Schalter geschlossen wurde? c) Wie groß ist die Ladung der Kondensatorplatten lange nachdem der Schalter geschlossen wurde? d) Der Schalter wurde wieder geöffnet, seitdem ist eine lange Zeit vergangen. Wie groß ist nun die Ladung der Kondensatorplatten?

Abb. 22.62

Zu Aufgabe 22.42.

1.11.3 22.43 •• 

Das Schaltbild in Abbildung 22.63 zeigt eine Widerstandsmessbrücke (eine sogenannte Wheatstone-Brücke) zur Messung eines unbekannten Widerstands R _x anhand dreier bekannter Widerstände R ₁, R ₂ und R ₀. Ein $1{,}00\,\mathrm{m}$ langer Draht wird durch einen Gleitkontakt (in Punkt a) in zwei (in Abhängigkeit voneinander) variable Widerstände R ₁ und R ₂ unterteilt, wobei die Größe von R ₁ proportional zum Abstand des Gleitkontakts vom linken Drahtende ($0\,\mathrm{cm}$) und die Größe von R ₂ proportional zum Abstand des Gleitkontakts vom rechten Drahtende ($100\mathrm{\ cm}$) ist. Die Summe aus R ₁ und R ₂ ist konstant. Befinden sich die Punkte a und b auf gleichem Potenzial, so fließt kein Strom durch das Galvanometer, und die Brücke ist abgeglichen. (Das Galvanometer wird hier verwendet, um die Abwesenheit eines Stroms anzuzeigen; man nennt es deshalb auch Nulldetektor.) Gegeben sei für diese Schaltung $R_{0}=200\,\Upomega$. Berechnen Sie den Wert von R _x , wenn die Brücke bei folgenden Positionen von a (relativ zum Nullpunkt links) abgeglichen ist: a) $18{,}0\,\mathrm{cm}$, b) $60{,}0\mathrm{\ cm}$, c) $95{,}0\,\mathrm{cm}$.

Abb. 22.63

Zu Aufgabe 22.43.

1.11.4 22.44 •• 

Die Ladungsdichte auf der Oberfläche des Ladungsbands eines Van-de-Graaff-Generators sei $5{,}00\,\mathrm{mC/m}^{2}$. Das Band sei $0{,}500\mathrm{\ m}$ breit und bewege sich mit einer Geschwindigkeit von $20{,}0\mathrm{\ m/s}$. a) Wie groß ist der fließende Strom? b) Die Ladung werde nun auf ein Potenzial von $100\,\mathrm{kV}$ gegen Masse angehoben. Wie viel Leistung muss der Motor mindestens abgeben, um das Band zu bewegen?

1.11.5 22.45 •• 

Die Spulen großer herkömmlicher Elektromagneten werden in der Regel mit Wasser gekühlt, um eine Überhitzung zu verhindern. Durch die Spulen eines großen Labormagneten fließt ein Strom von $100\,\mathrm{A}$, wenn eine Spannung von $240\,\mathrm{V}$ anliegt. Das Kühlwasser hat eine Anfangstemperatur von $15\,\mathrm{{}^{\circ}C}$. Wie viele Liter Wasser pro Sekunde müssen an den Spulen vorbeigeführt werden, wenn deren Temperatur $50\,\mathrm{{}^{\circ}C}$ nicht übersteigen soll?

1.11.6 22.46 ••• 

In Abbildung 22.64 sehen Sie die Prinzipschaltung eines Sägezahngenerators, wie er in Oszillografen verwendet wird. Der elektronische Schalter S schließt sich, wenn die an ihm anliegende Spannung den Wert $U_{\mathrm{zu}}$ erreicht, und öffnet sich, wenn die Spannung auf $0{,}200\mathrm{\ V}$ abgesunken ist. Die Spannungsquelle U (U ist viel größer als $U_{\mathrm{zu}}$) lädt den Kondensator C über den Ohm’schen Widerstand R ₁ auf. Der Ohm’sche Widerstand R ₂ steht für einen kleinen, aber endlichen Innenwiderstand des Schalters. Für einen typischen Sägezahngenerator gelten folgende Werte: $U=800\mathrm{\ V}$, $U_{\mathrm{zu}}=4{,}20\,\mathrm{V}$, $R_{2}=1{,}00\,\mathrm{m}\Upomega$, $R_{1}=0{,}500\,\mathrm{M}\Upomega$ und $C=20{,}0\,\mathrm{nF}$. a) Berechnen Sie die Zeitkonstante für die Aufladung des Kondensators C. b) Während der Zeit, die erforderlich ist, um die Spannung über dem Schalter von $0{,}200\,\mathrm{V}$ auf $4{,}20\,\mathrm{V}$ anzuheben, steigt die Spannung am Kondensator nahezu linear mit der Zeit an. Zeigen Sie dies. (Hinweis: Verwenden Sie die Näherung $\,\mathrm{e}^{x}\approx 1+x$ für $|x|\ll 1$. Sie geht aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion für kleine Exponenten hervor.) c) Wie groß ist R ₁ zu wählen, damit der Kondensator innerhalb von $0{,}100\mathrm{\ s}$ von $0{,}200\,\mathrm{V}$ auf $4{,}20\,\mathrm{V}$ aufgeladen wird? d) Wie lange dauert es, bis sich der Kondensator entladen hat, wenn der Schalter geschlossen wird? e) Geben Sie die mittlere Rate der Wärmeerzeugung am Ohm’schen Widerstand R ₁ beim Laden und am Innenwiderstand des Schalters R ₂ beim Entladen des Kondensators an.

Abb. 22.64

Zu Aufgabe 22.46.

1.11.7 22.47 ••• 

Gegeben sind zwei parallel geschaltete Batterien mit den Quellenspannungen $U_{\mathrm{Q,1}}$ bzw. $U_{\mathrm{Q,2}}$ und den Innenwiderständen $R_{\mathrm{in,1}}$ bzw. $R_{\mathrm{in,2}}$ sowie ein zu dieser Kombination parallel geschalteter Lastwiderstand R. Beweisen Sie: Der optimale Lastwiderstand (die Belastung, für die die Leistungsabgabe der Batterien maximal wird) ist $R=R_{\mathrm{in,1}}\,R_{\mathrm{in,2}}/\left(R_{\mathrm{in,1}}+R_{\mathrm{in,2}}\right)$.

1.11.8 22.48 ••• 

Betrachten Sie die in Abbildung 22.65 skizzierte Schaltung. Die Kondensatoren C ₁ und C ₂ sind mit einem Ohm’schen Widerstand R und einer idealen Spannungsquelle (Klemmenspannung U ₀) verbunden. Der Schalter war ursprünglich auf Position a geschlossen, und beide Kondensatoren waren entladen. Dann wurde auf Position b umgeschaltet; nachdem eine lange Zeit vergangen war, wurde schließlich zum Zeitpunkt t = 0 zurück auf Position a geschaltet. a) Vergleichen Sie quantitativ die insgesamt in den Kondensatoren gespeicherte Energie zum Zeitpunkt t = 0 und lange Zeit später. b) Geben Sie den Strom, der durch R fließt, als Funktion der Zeit t (t > 0) an. c) Geben Sie die R zugeführte Energie als Funktion der Zeit t (t > 0) an. d) Wie groß ist die Energie, die im Ohm’schen Widerstand nach t = 0 insgesamt dissipiert wird? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Verlust an gespeicherter Energie, den Sie in Teilaufgabe a berechnet haben.

Abb. 22.65

Zu Aufgabe 22.48.

1.11.9 22.49 ••• 

Abbildung 22.66 zeigt den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung für eine Esaki-Diode. a) Skizzieren Sie den Graphen des differenziellen Widerstands der Diode als Funktion der Spannung. Der differenzielle (oder dynamische) Widerstand $R_{\mathrm{diff}}$ eines Bauelements ist definiert als $R_{\mathrm{diff}}=\,\mathrm{d}U/\,\mathrm{d}I$; U ist die am Bauelement anliegende Spannung, I der durch das Bauelement fließende Strom. b) Bei welchem Spannungsabfall wird der differenzielle Widerstand negativ? c) Wie groß ist der maximale differenzielle Widerstand der Diode im abgebildeten Spannungsbereich? Bei welcher Spannung wird er erreicht? d) Gibt es im abgebildeten Bereich Werte der Spannung, für die der differenzielle Widerstand der Diode null ist? Wenn ja, um welche(n) Wert(e) handelt es sich?

Abb. 22.66

Zu Aufgabe 22.49.

1.11.10 22.50 •• 

Ein Beschleuniger erzeugt einen Protonenstrahl mit einer Stromstärke von $3{,}50\,\mathrm{}\upmu\mathrm{A}$. Jedes Proton besitzt eine Energie von $60{,}0\,\mathrm{M}{\text{eV}}$. Die Protonen treffen innerhalb einer Vakuumkammer auf ein Kupfertarget mit einer Masse von 50,0 g, in dem sie zur Ruhe kommen. Dabei erhitzt sich das Target. a) Wie viele Protonen treffen pro Sekunde auf der Kupferprobe auf? b) Wie viel Energie wird dem Target dadurch pro Sekunde zugeführt? c) Wie lange dauert es, bis sich das Kupfer auf 300 ${}^{\circ}$C erhitzt hat? Vernachlässigen Sie, dass das Metall unterdessen einen kleinen Teil der Wärme wieder abgibt.

1.11.11 22.51 ••• 

Stellen Sie einen Ausdruck auf für den Ersatzwiderstand zwischen den Punkten a und b für eine unendliche „Leiter“ aus Ohm’schen Widerständen (einen Ausschnitt zeigt Abbildung 22.67). a) Nehmen Sie zunächst an, alle Widerstände seien identisch, also $R=R_{1}=R_{2}$. b) Wiederholen Sie die Aufgabe für beliebige, aber verschiedene Werte von R ₁ und R ₂. c) Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie in Ihre Formel aus Aufgabenteil b R anstelle von sowohl R ₁ als auch R ₂ einsetzen; Sie sollten dann die Formel aus Aufgabenteil a erhalten.

Abb. 22.67

Zu Aufgabe 22.67.