Das elektrische Feld I: Diskrete Ladungsverteilungen

Zusammenfassung

Noch vor 150 Jahren gab es kaum mehr als ein paar elektrische Lampen, doch inzwischen sind wir in unserem Alltag extrem abhängig von der Elektrizität geworden. Obgleich aber die Elektrizität erst seit jüngster Zeit breit genutzt wird, reicht die Erforschung der Elektrizität weit in die Geschichte zurück und ist viel älter als die ersten elektrischen Glühlampen. Beobachtungen der elektrischen Anziehung können bis zu den alten Griechen zurückverfolgt werden. Sie beobachteten, dass Bernstein nach dem Reiben beispielsweise mit Katzenfell kleine Objekte wie Stroh oder Federn anzog. Das Wort „elektrisch“ kommt von elektron, dem griechischen Wort für „Bernstein“.

Kupfer ist ein elektrischer Leiter, ein Material mit besonderen Eigenschaften, das wir nützlich finden, weil es ermöglicht, Elektrizität zu transportieren. (© http://images-of-elements.com.)

? Wie groß ist die Gesamtladung von allen Elektronen in einer Kupfermünze? (Siehe Beispiel 18.1.)

Appendices

Im Kontext: Pulverbeschichtung – Elektrostatik in der Industrie

Millionen von Kindern in aller Welt haben die Reibungselektrizität schon genutzt, ohne es zu merken: Seit Anfang der 1960er Jahre gibt es eine Art Zeichentafel unter dem Markennamen „Etch A Sketch“${}^{1}$, die hinter einer Glasplatte ein feines Pulvergemisch von Aluminium und Polystyrol enthält. Beim Schütteln reiben die Bestandteile aneinander, laden sich entgegengesetzt auf, und das Aluminiumpulver haftet an der Glasscheibe. Gezeichnet wird mit einer Art Schaber, der durch zwei Drehknöpfe in x- und y-Richtung bewegt werden kann und feine Linien durch das Pulver zieht. Mit Geschick kann man so ganze Bilder fertigen. Durch Umdrehen und Schütteln wird das Bild gelöscht.

Pulver, die sich elektrostatisch aufladen, sind aber nicht nur eine Spielerei, sondern können in vielen Branchen zur Metallbeschichtung eingesetzt werden. Um Metallteile in Autos, Werkzeugen oder Anlagen vor Korrosion zu schützen, müssen sie mit einer Schutzschicht überzogen werden. Klassisch setzt man dazu Lacke und Farben oder Email ein, die als Flüssigkeiten oder in Pulverform aufgebracht werden. Flüssige Lacke haben verschiedene Nachteile${}^{2}$, denn die Lösungsmittel benötigen Zeit zum Trocknen oder setzen unerwünschte flüchtige Verbindungen frei. An geneigten Oberflächen fließt der Lack nicht zu einer gleichmäßigen Schicht zusammen. Beim Aufsprühen entstehen Verluste und Rückstände, die als Abfall entsorgt werden müssen. Elektrostatische Pulverbeschichtungen vermeiden viele dieser Probleme.${}^{3}$ Dieser Beschichtungsprozess wurde erstmals in den 1950er Jahren eingesetzt und und ist heute besonders bei Herstellern verbreitet, die Umweltauflagen zur Reduzierung flüchtiger chemischer Verbindungen unterliegen.

Das Pulver wird aufgebracht, indem man das zu beschichtende Teil elektrisch auflädt.${}^{4}$ Das gelingt am besten, wenn das zu beschichtende Teil leitfähig ist. Dann lädt man sehr kleine (zwischen 1 $\upmu$m und 100 $\upmu$m) Pulverteilchen${}^{5}$ entgegengesetzt auf. Die Beschichtungsteilchen werden so von dem zu beschichtenden Körper angezogen. Lose Pulverteilchen können wieder aufbereitet und erneut verwendet werden. Sobald die Beschichtung in Pulverform aufgebracht ist, muss man sie aushärten, entweder durch erhöhte Temperatur oder durch Ultraviolettbestrahlung. Beim Aushärten verbinden sich die Moleküle der Beschichtung miteinander, und die Pulverteilchen und das zu beschichtende Objekt verlieren ihre Ladungen.

Die Pulverteilchen können durch eine Glimmentladung (Koronaentladung) oder triboelektrisch aufgeladen werden.${}^{6}$ Bei der Glimmentladung dienen Elektronen in einem Plasma zum Aufladen der Pulverteilchen, die sich auf der (positiv geladenen) Oberfläche absetzen. Bei triboelektrischer Aufladung bläst man die Pulverteilchen durch eine Röhre aus einem Material vom anderen Ende der triboelektrischen Reihe , beispielsweise Teflon. Beim Kontakt mit diesem Material erhalten die Pulverteilchen eine positive Ladung. Das zu beschichtende Objekt wird je nach genutzter Beschichtungsmethode geladen. Die Ladungen variieren je nach Beschichtungsmaterial und den eingesetzten Additiven zwischen 500 und 1000 $\upmu$C/kg.${}^{7}$ Auch die Aushärtung hängt von dem Beschichtungsmaterial und der Beschaffenheit des zu beschichtenden Objekts ab. Die Aushärtezeit kann zwischen 1 und 30 min liegen.${}^{8}$

Bei der Zeichentafel „Etch-A-Sketch“ haftet ein feines Pulver durch elektrostatische Anziehung auf der Rückseite einer Mattscheibe. Durch Drehen der Knöpfe kann man einen kleinen Stift bewegen, der das Pulver abkratzt. (Mit freundlicher Genehmigung von The Ohio Art Company.)

Obwohl die elektrostatische Pulverbeschichtung wirtschaftlich und umweltfreundlich ist, bringt sie einige Schwierigkeiten mit sich. Es gibt die Möglichkeit, dass sich die Pulverteilchen je nach Luftfeuchtigkeit entladen${}^{9}$ – deshalb muss man die Luftfeuchtigkeit genau regeln.${}^{10}$ Wenn das elektrische Feld für die Glimmentladung zu stark ist, treffen die Pulverteilchen zu schnell auf das zu beschichtende Objekt auf; dabei entstehen ringartige Muster mit dünnerer Beschichtung in der Mitte („Orangenschaleneffekt“).${}^{11}$ Objekte mit komplizierter Geometrie sind nur schwierig und innen liegende Hohlräume gar nicht zu beschichten (hier wirkt das leitende Material des Hohlraums wie ein Faraday’scher Käfig ; Abschnitt 19.6). Ferner eignet sich das Verfahren durch die thermische Belastung beim Aushärten nicht für alle Materialien.

• 1. Grandjean, A., „Tracing Device“, U.S. Patent No. 3 055 113, 25. Sept. 1962.

• 2. Matheson, R. D., „20th- to 2lst-Century Technological Challenges in Soft Coatings“, Science, 9. Aug. 2002, 297, Nr. 5583, S. 976–979.

• 3. Hammerton, D. und Buysens, K., „UV-Curable Powder Coatings: Benefits and Performance“, Paint and Coatings Industry, Aug. 2000, S. 58.

• 4. Zeren, S. und Renoux, D., „Powder Coatings Additives“, Paint and Coatings Industry, Okt. 2002, S. 116.

• 5. Hemphill, R., „Deposition of BaTiO${}_{3}$ Nanoparticles by Electrostatic Spray Powder Charging“, Paint and Coatings Industry, Apr. 2006, S. 74–78.

• 6. Czyzak, S. J. und Williams, D. T., „Static Electrification of Solid Particles by Spraying“, Science, 20. Juli 1951, 14, S. 66–68.

• 7. Zeren, S. und Renoux, D., a. a. O.

• 8. Hammerton, D. und Buysens, K., a. a. O.

• 9. O’Konski, C. T., „The Exponential Decay Law in Spray De-electrification“, Science, 5. Okt. 1951, 114, S. 368.

• 10. Sharma, R. et al., „Effect of Ambient Relative Humidity and Surface in Modification on the Charge Decay Properties of Polymer Powders in Powder Coating“, IEEE Transactions on Industry Applications, Jan./Feb. 2003, 39, Nr. 1, S. 87–95.

• 11. Wostratzky, D., Lord, S. und Sitzmann, E. V., „Power!“ Paint and Coatings Industry, Okt. 2000, S. 54.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 18.1 •• 

Sie wollen mit einem einfachen Experiment das Coulomb’sche Gesetz widerlegen: Zunächst gehen Sie mit einem Gummikamm durch Ihre trockenen Haare, dann ziehen sie mit dem Kamm kleine neutrale Papierfetzen auf dem Tisch an. Sie sagen: „Damit elektrostatische Anziehungskräfte zwischen zwei Körper wirken, müssen dem Coulomb’schen Gesetz zufolge beide Körper geladen sein. Das Papier war jedoch nicht geladen. Nach dem Coulomb’schen Gesetz hätten keine elektrostatischen Anziehungskräfte auftreten dürfen, sie sind aber offenbar doch aufgetreten. Daher stimmt das Gesetz nicht.“ a) Worin liegt der Fehler Ihrer Argumentation? b) Muss für eine Anziehungskraft zwischen dem Papier und dem Kamm die Gesamtladung auf dem Kamm negativ sein? Erläutern Sie Ihre Antwort.

1.1.2 18.2 •• 

Sie haben einen positiv geladenen nichtleitenden Stab und zwei Metallkugeln auf Isolierfüßen. Erläutern Sie Schritt für Schritt genau, wie sie mit dem Stab eine der Kugeln negativ laden können.

1.1.3 18.3 •• 

Sie können die elektrostatische Anziehung einfach demonstrieren, indem Sie eine kleine Kugel aus zerknüllter Aluminiumfolie an einem herabhängenden Bindfaden befestigen und einen geladenen Stab in die Nähe bringen. Anfänglich wird die Kugel von dem Stab angezogen, sobald sie sich berühren, wird sie jedoch stark von ihm abgestoßen. Erläutern Sie dieses Verhalten.

1.1.4 18.4 •• 

Drei Punktladungen, $+q_{0}$, +q und −q, befinden sich in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks (Abbildung 18.33). Keine anderen geladenen Körper befinden sich in der Nähe. a)  In welche Richtung wirkt die resultierende Kraft auf die Ladung $+q_{0}$, die durch die anderen beiden Ladungen verursacht wird? b) Welche resultierende elektrische Kraft wirkt auf diese Ladungsanordnung? Erläutern Sie.

Abb. 18.33

Zu Aufgabe 18.4.

1.1.5 18.5 •• 

Vier Ladungen befinden sich in den Ecken eines Quadrats (Abbildung 18.34). Keine anderen geladenen Körper befinden sich in der Nähe. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? a) Das elektrische Feld E ist null in allen Punkten in der Mitte zwischen zwei Ladungen längs der Seiten des Quadrats. b) E ist null im Mittelpunkt des Quadrats. c) E ist null in der Mitte zwischen den beiden oberen und in der Mitte zwischen den beiden unteren Ladungen.

Abb. 18.34

Zu Aufgabe 18.5.

1.1.6 18.6 •• 

Zwei Punktladungen, +q und $-3\,q$, sind durch einen kleinen Abstand d voneinander getrennt. a) Veranschaulichen Sie mit elektrischen Feldlinien das elektrische Feld in der Nähe dieses Systems. b) Zeichnen Sie auch die Feldlinien für Entfernungen, die groß gegenüber dem Abstand der Ladungen sind.

1.1.7 18.7 •• 

Ein ruhendes Molekül mit einem elektrischen Dipolmoment $\boldsymbol{\wp}$ ist so orientiert, dass $\boldsymbol{\wp}$ mit einem homogenen elektrischen Feld E einen Winkel θ einschließt. Das Molekül kann sich nun als Reaktion auf die durch das Feld wirkende Kraft frei bewegen. Beschreiben Sie die Bewegung des Moleküls.

1.1.8 18.8 •• 

Richtig oder falsch? a) Das elektrische Feld einer Punktladung zeigt immer von der Ladung weg. b) Die elektrische Kraft auf ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Feld weist stets in dieselbe Richtung wie das Feld. c) Elektrische Feldlinien kreuzen sich nie. d) Alle Moleküle haben in Gegenwart eines äußeren elektrischen Felds ein elektrisches Dipolmoment.

1.1.9 18.9 •• 

Zwei Moleküle haben Dipolmomente vom selben Betrag und sind auf vier verschiedene Arten orientiert (Abbildung 18.35). Bestimmen Sie jeweils die Richtung des elektrischen Felds in den durch die Zahlen gekennzeichneten Punkten. Erläutern Sie Ihre Antworten.

Abb. 18.35

Zu Aufgabe 18.9.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 18.10 •• 

Schätzen Sie die Kraft ab, die notwendig ist, um den He-Kern zusammenzuhalten. (Hinweis: Modellieren Sie die Protonen als Punktladungen. Den Abstand zwischen ihnen müssen Sie schätzen.)

1.2.2 18.11 •• 

Bei einem verbreiteten Schauversuch reibt man einen Kunststoffstab an einem Fell, um ihn aufzuladen, und hält den Stab dann in die Nähe einer leeren Getränkedose (Abbildung 18.36). Erläutern Sie, warum die Dose sich auf den Stab zu bewegt.

Abb. 18.36

Zu Aufgabe 18.11.

1.3 Elektrische Ladung

1.3.1 18.12 • 

Eine Ladung, die der Ladung der Avogadro-Zahl von Protonen $(n_{\mathrm{A}}=6{,}02\cdot 10^{23})$ entspricht, nennt man ein Faraday. Wie viele Coulomb sind das?

1.3.2 18.13 • 

Welche Gesamtladung haben alle Protonen in 1,00 kg Kohlenstoff?

1.4 Das Coulomb’sche Gesetz

1.4.1 18.14 • 

Drei Punktladungen befinden sich auf der x-Achse: $q_{1}=-\text{6{,}0\,$\upmu$C}$ bei $x=-3{,}0\,\text{m}$, $q_{2}=\text{4{,}0\, $\upmu$C}$ im Koordinatenursprung und $q_{3}=-6{,}0\,\upmu\text{C}$ bei $x=3{,}0\,\text{m}$. Berechnen Sie die Kraft auf q ₁.

1.4.2 18.15 •• 

Eine Punktladung von $-2{,}5\,\upmu\text{C}$ befindet sich im Koordinatenursprung. Eine zweite Ladung von $6{,}0\,\upmu\text{C}$ ist bei $x=1{,}0\,\text{m}$, $y=0{,}5\,\text{m}$. Eine dritte Punktladung – ein Elektron – befindet sich in einem Punkt mit den Koordinaten $(x,y)$. Berechnen Sie die Werte für x und y, bei denen sich das Elektron im Gleichgewicht befindet.

1.4.3 18.16 ••• 

Fünf gleiche Punktladungen q sind gleichmäßig auf einem Halbkreis vom Radius r verteilt (Abbildung 18.37). Geben Sie mithilfe von $1/4\uppi\varepsilon_{0}$, q und r die Kraft auf eine Ladung q ₀ an, die sich gleich weit von den anderen fünf Ladungen befindet.

Abb. 18.37

Zu Aufgabe 18.16.

1.5 Elektrisches Feld

1.5.1 18.17 • 

Zwei Punktladungen von je $+\text{4{,}0\,$\upmu$C}$ befinden sich auf der x-Achse, eine im Koordinatenursprung und die andere bei $x=\text{8{,}0\,m}$. Berechnen Sie das elektrische Feld auf der x-Achse bei a) $x=-\text{2{,}0\,m}$, b) $x=\text{2{,}0\,m}$, c) $x=\text{6{,}0\,m}$ und d) $x=\text{10\,m}$. e) An welchem Punkt auf der x-Achse ist das elektrische Feld null? f) Skizzieren Sie E _x in Abhängigkeit von x über den Bereich $-\text{3{,}0\,m}<x<\text{11\,m}$.

1.5.2 18.18 • 

Das elektrische Feld in der Nähe der Erdoberfläche zeigt nach unten und hat eine Größe von 150 N/C. a) Vergleichen Sie den Betrag der nach oben gerichteten elektrischen Kraft auf ein Elektron mit dem Betrag der nach unten gerichteten Gravitationskraft. b) Welche Ladung muss ein Tischtennisball mit einer Masse von 2,70 g tragen, sodass die elektrische Kraft seine Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche ausgleicht?

1.5.3 18.19 •• 

Zwei gleiche positive Ladungen q sind auf der y-Achse, die eine bei $y=+a$, die andere bei $y=-a$. a) Zeigen Sie, dass für Punkte auf der x-Achse die x-Komponente des elektrischen Felds den Betrag $E_{x}=(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,2\,q\,x/(x^{2}+a^{2})^{3/2}$ hat. b) Zeigen Sie, dass in der Nähe des Koordinatenursprungs (d. h. für $x\ll a$) näherungweise gilt: $E_{x}\approx(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,2\,q\,x/a^{3}$. c) Zeigen Sie, dass für $x\gg a$ das Feld näherungsweise durch $E_{x}\approx(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,2\,q/x^{2}$ gegeben ist. Erläutern Sie, warum man dieses Ergebnis erwarten würde, ohne es durch eine passende Grenzwertbetrachtung herzuleiten.

1.5.4 18.20 •• 

a) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld für die Ladungsverteilung in Aufgabe 18.19 seinen größten Betrag an den Punkten $x=a/\sqrt{2}$ und $x=-a/\sqrt{2}$ besitzt, indem Sie $\partial E_{x}/\partial x$ berechnen und die Ableitung null setzen. b) Skizzieren Sie die Funktion E _x über x unter Benutzung des Ergebnisses von Teilaufgabe a dieser Aufgabe und den in den Teilaufgaben b und c aus Aufgabe 18.19 angegebenen Ausdrücken.

1.6 Bewegung von Punktladungen in elektrischen Feldern

1.6.1 18.21 •• 

Die Beschleunigung eines Teilchens in einem elektrischen Feld hängt von dem Verhältnis seiner Ladung zu seiner Masse ab. a) Berechnen Sie $q/m$ für ein Elektron. b) Welchen Betrag und welche Richtung hat die Beschleunigung eines Elektrons in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke 100 N/C? c) Berechnen Sie die Zeit, die ein ruhendes Elektron in einem elektrischen Feld mit der Stärke von 100 N/C braucht, um eine Geschwindigkeit von $0{,}01\,c$ zu erlangen. (Wenn sich die Geschwindigkeit des Elektrons der Lichtgeschwindigkeit c nähert, muss man zur Berechnung seiner Bewegung die relativistische Mechanik zugrunde legen. Bei Geschwindigkeiten von $0{,}01\,c$ oder weniger liefert die Newton’sche Mechanik hinreichend genaue Ergebnisse.) d) Wie weit bewegt sich das Elektron in dieser Zeit?

1.6.2 18.22 •• 

Ein Elektron hat eine kinetische Energie von $2{,}00\cdot 10^{-16}$ J und bewegt sich entlang der Achse einer Kathodenstrahlröhre nach rechts (Abbildung 18.38). Im Bereich zwischen den Ablenkplatten herrscht ein elektrisches Feld von $\boldsymbol{E}=(2{,}00\cdot 10^{4}\,\text{N/C})\,\boldsymbol{\widehat{y}}$, außerhalb des Bereichs gibt es kein elektrisches Feld ($\boldsymbol{E}=0$). a) Wie weit ist das Elektron von der Achse entfernt, wenn es den Bereich zwischen den Platten durchflogen hat? b) In welchem Winkel zur Achse bewegt sich das Elektron dabei? c) In welcher Entfernung von der Achse trifft das Elektron auf die Fluoreszenzschicht der Mattscheibe?

Abb. 18.38

Zu Aufgabe 18.22.

1.7 Dipole

1.7.1 18.23 • 

Zwei Punktladungen $q_{1}=2{,}0\,\text{pC}$ und $q_{2}=-2{,}0\,\text{pC}$ sind durch einen Abstand von 4,0 $\upmu$m voneinander getrennt. a) Wie groß ist das Dipolmoment von diesem Ladungspaar? b) Tragen Sie in einer Skizze das Ladungspaar und die Richtung des Dipolmoments ein.

1.8 Allgemeine Aufgaben

1.8.1 18.24 •• 

Eine positive Ladung q wird in zwei positive Ladungen q ₁ und q ₂ getrennt. Zeigen Sie, dass die Kraft, die von einer Ladung auf die andere ausgeübt wird, für einen gegebenen Abstand d dann am größten ist, wenn $q_{1}=q_{2}=\tfrac{1}{2}\,q$ ist.

1.8.2 18.25 •• 

Zwei punktförmige Teilchen sind durch einen Abstand von 0,60 m voneinander getrennt und tragen eine Gesamtladung von 200 $\upmu$C. Bestimmen Sie die Ladungen von jedem der beiden Teilchen, wenn sie sich a) mit einer Kraft von 80 N anziehen.

1.8.3 18.26 •• 

Ein punktförmiges Teilchen mit der Ladung +q und unbekannter Masse m befindet sich anfangs in Ruhe. Es wird in einem homogenen elektrischen Feld E, das senkrecht nach unten gerichtet ist, aus einer Höhe h fallen gelassen. Das Teilchen trifft mit einer Geschwindigkeit $v=2\sqrt{g\,h}$ auf der Erde auf. Berechnen Sie m in Abhängigkeit von E, q und g.

1.8.4 18.27 •• 

Ein starrer Stab von 1,00 m Länge ist in seinem Mittelpunkt drehbar gelagert (Abbildung 18.39). Eine Ladung $q_{1}=5{,}00\cdot 10^{-7}\,\text{C}$ wird an einem Ende des Stabs angebracht, eine weitere Ladung $q_{2}=-q_{1}$ wird im Abstand $d=10{,}0\,\text{cm}$ direkt darunter platziert. a) Welche Kraft übt q ₂ auf q ₁ aus? b) Welches Drehmoment (bezüglich der Drehachse) ruft diese Kraft hervor? c) Um die Anziehungskraft zwischen den Ladungen auszugleichen, wird, wie in der Abbildung gezeigt, ein Massestück in 25,0 cm Entfernung vom Drehpunkt angehängt. Welche Masse m sollte dieses Stück haben? d) Wir hängen nun das Massestück in 25,0 cm Entfernung vom Drehpunkt auf die andere (die den Ladungen zugewandte) Seite des Stabs. q ₁ und d bleiben unverändert. Welchen Wert muss q ₂ haben, damit die Anordnung im Gleichgewicht bleibt?

Abb. 18.39

Zu Aufgabe 18.27.

1.8.5 18.28 •• 

Zwei Punktladungen von je 3,0 $\upmu$C befinden sich in den Punkten x = 0, $y=2{,}0\,\text{m}$ und x = 0, $y=-2{,}0\,\text{m}$. Zwei weitere Punktladungen, jeweils mit der Ladung q, befinden sich in den Punkten $x=4{,}0\,\text{m}$, $y=2{,}0\,\text{m}$ und $x=4{,}0\,\text{m}$, $y=-2{,}0\,\text{m}$ (Abbildung 18.40). Das elektrische Feld bei x = 0, y = 0 aufgrund der vier Ladungen ist $(4{,}0\cdot 10^{3}\,\text{N/C})\,\boldsymbol{\widehat{x}}$. Bestimmen Sie q.

Abb. 18.40

Zu Aufgabe 18.28.

1.8.6 18.29 •• 

Vier Ladungen gleichen Betrags sind in den Ecken eines Quadrats der Seitenlänge l angeordnet (Abbildung 18.41). a) Bestimmen Sie Betrag und Richtung der Kraft, die durch die anderen Ladungen auf die Ladung in der unteren linken Ecke ausgeübt wird. b) Zeigen Sie, dass das elektrische Feld im Mittelpunkt einer der Quadratseiten zur negativen Ladung hin gerichtet ist und dass die Feldstärke durch

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{8\,q}{l^{2}}\left(1-\frac{\sqrt{5}}{25}\right)$$

gegeben ist.

Abb. 18.41

Zu Aufgabe 18.29.

1.8.7 18.30 •• 

Ein Elektron (Ladung −e, Masse m) und ein Positron (Ladung +e, Masse m) drehen sich unter dem Einfluss ihrer anziehenden Coulomb-Kraft um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v jedes Teilchens in Abhängigkeit von e, m, $\varepsilon_{0}$ und ihrem Abstand r.

1.8.8 18.31 ••• 

Ein punktförmiges Teilchen mit der Masse m und einer Ladung q ₀ kann sich nur senkrecht innerhalb eines engen reibungsfreien Zylinders bewegen (Abbildung 18.42). Am Boden des Zylinders befindet sich eine Punktladung q, die das gleiche Vorzeichen wie q ₀ hat. a) Zeigen Sie, dass das Teilchen in einer Höhe von $y_{0}=\sqrt{(1/4\uppi\varepsilon_{0})\,(q_{0}\,q/m\,g)}$ im Gleichgewicht ist. b) Zeigen Sie, dass das Teilchen eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz $\omega=\sqrt{2g/y_{0}}$ ausführt, wenn es um eine kleine Strecke aus seiner Gleichgewichtslage verschoben wird und dann sich selbst überlassen bleibt.

Abb. 18.42

Zu Aufgabe 18.31.

1.8.9 18.32 ••• 

Im Millikan-Experiment , das zum Bestimmen der Ladung eines Elektrons dient, wird ein geladenes Polystyrolkügelchen in ruhender Luft in ein bekanntes senkrechtes elektrisches Feld gebracht. Das geladene Kügelchen wird in Richtung der auf es wirkenden Gesamtkraft beschleunigt, bis es seine Endgeschwindigkeit erreicht. Die Ladung des Kügelchens wird durch Messen der Endgeschwindigkeit bestimmt. In einem solchen Experiment hat das Kügelchen einen Radius von $r=5{,}50\cdot 10^{-7}\,\text{m}$, die Feldstärke beträgt $E=6{,}00\cdot 10^{4}\text{N/C}$. Der Betrag der Reibungskraft auf die Kugel ist $F_{\text{R}}=6\,\uppi\,\eta\,r\,v$; dabei ist v die Geschwindigkeit der Kugel und η die Viskosität von Luft mit einem Wert von $\eta=1{,}8\cdot 10^{-5}\,\text{N}\cdot\text{s/m}^{2}$. Das Polystyrol hat eine Dichte von $1{,}05\cdot 10^{3}\,\text{kg/m}^{3}$. a) Das elektrische Feld zeigt nach unten, sodass das Kügelchen eine Endgeschwindigkeit von $v=1{,}16\cdot 10^{-4}\,\text{m/s}$ erhält. Wie groß ist dann die Ladung auf der Kugel? b) Wie viele überschüssige Elektronen sind auf der Kugel? c) Wie groß ist die Endgeschwindigkeit der Mikrokugel, wenn die Richtung des elektrischen Felds umgekehrt wird, aber die Feldstärke gleich bleibt?

1.8.10 18.33 ••• 

In Aufgabe 18.32 wurde das Millikan-Experiment beschrieben, das zur Bestimmung der Ladung des Elektrons dient. In dem Experiment kann man die Richtung des elektrischen Felds durch einen Schalter umkehren (nach oben oder nach unten); die Feldstärke bleibt dabei unverändert, sodass man die Endgeschwindigkeit des Kügelchens messen kann, wenn es sich nach oben (entgegen der Gravitationskraft) und nach unten bewegt. Es sei $v_{\mathrm{u}}$ (Index u von up) die Endgeschwindigkeit, mit der sich das Teilchen nach oben bewegt, und $v_{\mathrm{d}}$ (Index d von down) die Endgeschwindigkeit für eine Bewegung nach unten. a) Setzen Sie $v=v_{\mathrm{u}}+v_{\mathrm{d}}$. Zeigen Sie, dass $q=3\uppi\,\eta\,r\,v/E$ ist (q ist dabei die Gesamtladung des Kügelchens). Welchen Vorteil bringt es bei der Bestimmung von q, anstelle einer einzigen Geschwindigkeit beide Geschwindigkeiten $v_{\mathrm{u}}$ und $v_{\mathrm{d}}$ zu messen? b) Da die Ladung gequantelt ist, kann sich v nur in Schritten mit dem Betrag $n\,\Updelta v$ ändern (n ist dabei eine ganze Zahl). Berechnen Sie $n\,\Updelta v$ mit den Daten aus Aufgabe 18.32.