Wärmeübertragung

Zusammenfassung

Wärmeleitung spielt in vielen Bereichen des täglichen Lebens eine entscheidende Rolle, so z. B. beim Vermeiden von Wärmeverlusten in Rohrleitungen oder beheizten Häusern. Andere Formen des Wärmetransports, wie die Konvektion und die Wärmestrahlung, sind wichtig bei der Planung von Heizungsanlagen. Auch auf kosmischen Skalen bei der Evolution von Sternen spielen diese Vorgänge eine große Rolle.

Die Sonne ist unsere Licht- und Wärmequelle. Einfache Berechnungen zeigen, dass es bereits 8 Minuten und 20 Sekunden nach dem Verlöschen der Sonne auf der Erde dunkel würde. Wie schnell es abkühlen würde, ist jedoch wesentlich komplizierter zu berechnen, da die verschiedenen Arten des Wärmetransports unterschiedlich schnell ablaufen. (© NASA.)

? Welche Transportmechanismen bewirken, dass uns die Wärme erreicht? Außerdem ist es möglich, aus der Wellenlänge des bei uns eintreffenden Lichts die Oberflächentemperatur der Sonne zu berechnen. (Siehe Beispiel 17.4)

Appendices

Im Kontext: Städtische Wärmeinseln: Keine nächtliche Abkühlung

Im Jahre 1820 veröffentlichte Luke Howard von ihm im Laufe mehrerer Jahre erarbeitete Tabellen mit dem Verlauf der Tages- und der Nachttemperaturen von London und Umgebung. Aus den Listen ging hervor, dass es in London wärmer als in den Vorstädten und auf dem Lande war und dass der Unterschied nachts am größten war. Howard ermittelte hierfür eine Differenz von 2,1 ${}^{\circ}$C zwischen London und der ländlichen Umgebung.${}^{1}$ Fast zwei Jahrhunderte später, im Jahre 2004, wurde beispielsweise für die Stadt Phoenix im US-Bundesstaat Arizona eine entsprechende nächtliche Differenz von bis zu 10 ${}^{\circ}$C gemessen.${}^{2}$ Daher kann man eine Großstadt wie London oder Phoenix als eine städtische Wärmeinsel (UHI, von der englischen Bezeichnung urban heat island) ansehen. Städte sind mit ihren gepflasterten Straßen und zahlreichen Gebäuden allgemein wärmer als die ländliche Umgebung.

Die Bildung städtischer Wärmeinseln rührt zum großen Teil auch daher, dass die Städte vergleichsweise nur wenige Bäume oder andere Pflanzen aufweisen. Tagsüber bewirken Pflanzen aufgrund der hohen latenten Wärme des von ihnen abgegebenen Wassers eine Abkühlung. Auf dem Lande und sogar auf Grünflächen in der Großstadt bewirkt ein großer Teil der von der Sonne eingestrahlten Wärme, dass die latente Verdampfungswärme des Wassers aufgebracht wird, anstatt dass die Oberflächentemperatur erhöht wird.${}^{3}$ Außerdem reflektieren Pflanzen einen Großteil der Infrarot- oder Wärmestrahlung der Sonne, während Asphalt, Stahl, Glas, Beton und Aluminium sie absorbieren und damit zurückhalten. Einen weiteren Einflussfaktor stellt die geometrische Anordnung der Gebäude dar. Die Fassaden hoher Gebäude in relativ engen Straßen reflektieren die Strahlung so, dass sie auf gegenüberliegende Fassaden trifft und von diesen teilweise absorbiert wird.${}^{4}$ Dagegen ermöglichen es eher offene Flächen, dass die Strahlung vom Boden letztlich entweichen kann.

In diesem Thermogramm der Stadt Atlanta, Georgia, erscheinen die von der Sonne abgewandten Hauswände dunkelblau oder schwarz. Das rührt daher, dass sie kühler sind als die der Sonnenstrahlung direkt ausgesetzten Wände. In dieser Aufnahme stellen weißliche Färbungen besonders hohe Temperaturen dar. (© NASA/Goddard Space Flight Center Scientific Visualisation Studio.)

Außer der Strahlung spielen aber auch andere Faktoren eine Rolle. So kann abfließendes Regenwasser auf den Straßen durch Wärmeleitung erwärmt werden. Im August 2001 erhitzte ein heftiger Regenguss in Cedar Rapids, Iowa, die Temperatur eines Flusses in einer einzigen Stunde um mehr als $10{{\,{}^{\circ}\mathrm{C}}}$, sodass viele Fische verendeten.${}^{5}$ Zwar war das herabregnende Wasser kälter als der Fluss, ein großer Teil des Regenwassers, das ihn erreichte, war zuvor jedoch über das heiße Straßenpflaster geflossen. ähnlich schnelle Erhitzungen wurden u. a. in den US-Bundesstaaten Minnesota, Wisconsin, Oregon${}^{6}$ und Kalifornien${}^{7}$ beobachtet.

Im Jahre 1996 wurden anlässlich der Olympischen Spiele in Atlanta, Georgia, in der Umgebung besonders intensive Wetterbeobachtungen vorgenommen.${}^{8}$ Ein interessantes Ergebnis war, dass in der Abwindrichtung deutlich mehr Niederschläge fallen, da die mit der städtischen Wärmeinsel verknüpfte Konvektion das Wettergeschehen beeinflusst.${}^{9}$ Mehr Niederschläge im direkten Abwindfeld stellte man auch bei Dallas, bei San Antonio${}^{10}$ und sogar bei Saint Louis${}^{11}$ fest, und das bis zu 64 km weit von der Stadtmitte entfernt. Veränderungen in der Konvektion, die durch städtische Wärmeinseln hervorgerufen wurden, sind nur schwierig zu beschreiben, ihre Auswirkungen auf die Niederschläge sind jedoch messbar.

Die Städteplaner suchen vermehrt nach Möglichkeiten zur Abkühlung städtischer Wärmeinseln.${}^{12}$ In Chicago hat das Rathaus ein „grünes Dach“ mit Pflanzen und gut reflektierenden Gehwegen. Die Temperatur auf diesem Dach wird überwacht und mit der auf dem Dach des Gebäudes der Cook County verglichen, das mit schwarzem Asphalt gedeckt ist. Das begrünte Dach ist um bis zu 10 ${}^{\circ}$C kühler als das Asphaltdach.${}^{13}$

Städtische Wärmeinseln können durch verschiedene Methoden der Kühlung eingedämmt werden. Daher forcieren einige Städte die Anpflanzung von Bäumen,${}^{14}$ andere die Anbringung besser reflektierender Oberflächen an Gebäuden,${}^{15}$ wieder andere die Errichtung wasserdurchlässiger Pflasterungen${}^{16}$ oder begrünter Dächer.

• 1. Howard, L., The Climate of London, Deduced from Meteorological Observations Made in the Metropolis and Various Places around It, 2. Aufl. London: Harvey and Darton, 1833.

• 2. Fast, J. D., Torcolini, J. C. und Redman, R., „Pseudovertical Temperature Profiles and the Urban Heat Island Measured by a Temperature Dataloger Network in Phoenix, Arizona“; Journal of Applied Meteorology, Jan. 2005, 44, Nr. 1, S.  3–13.

• 3. Souch, C. und Grimmond, S., „Applied Climatology: Urban Climate“, Progress in Physical Geography, Febr. 2006, 30, Nr. 2, S.  270–279.

• 4. Kusaka, H. und Kimura, F., „Thermal Effects of Urban Canyon Structure on the Nocturnal Heat Island: Numerical Experiment Using a Mesoscale Model Coupled with an Urban Canopy Model“, Journal of Applied Meteorology, Dez. 2004, 43, Nr. 12, S.  1899–1910.

• 5. Boshart, R., „Urban Trout Stream Still in Works – DNR Targeting McLoud Run in C. R., Despite Recent Fish Kill“, The Gazette, 9. Aug. 2001, S. B1+.

• 6. Frazer, L., „Paving Paradise: The Perils of Impervious Surfaces“, Environmental Health Perspective, Juli 2005, 113, Nr. 7, S.  456–462.

• 7. Fowler, B. und Rasmus, J., „Seaside Solution“, Civil Engineering, Dez. 2005, S.  44–49.

• 8. Skindrud, E., „Georgia on Their Minds“, Science News, 13. Juli 1996. http://www.sciencenews.org/pages/pdfs/data/1996/150-02/15002.pdf (Stand: April 2009).

• 9. Dixon, P. G. und Mote, T. L., „Patterns and Causes of Atlanta’s Urban Heat Island-Initiated Precipitation“, Journal of Applied Meteorology, Sept. 2003, 42, Nr. 9, S.  1273–1284.

• 10. Shepard, J., Pierce, H. und Negri, A., „Rainfall Modification by Major Urban Areas: Observations from Spaceborne Rain Radar on the TRMM Satellite“, Journal of Applied Meteorology, Juli 2002, 41, Nr. 7, S.  689–701.

• 11. „Urban-related Weather Anomalies“, Science News, 5. März 1977, 111, Nr. 10, S. 152.

• 12. Wade, B., „Putting the Freeze on Heat Islands“, American City & County, Febr. 2000, S.  30–40.

• 13. „Monitoring the Rooftop Garden’s Benefits“, City of Chicago Department of Environment. http://chicagorooftops.notlong.com (Stand: April 2009).

• 14. Duncan, H., „Trees, Please: More Cities Enacting Tree Ordinances, but Enforcement Is the Age-Old Problem“, Macon Telegraph, 6. Juli 2006, S. A1.

• 15. „NASA Assesses Strategies to ‚Turn Off the Heat‘ in New York City“, Engineered Systems, April 2006, S.  79–80.

• 16. Hoffman, L., „Green Roof Storm Water Modeling“, BioCycle, Febr. 2006, S.  38–40.

Aufgaben

1.1 Verständnisaufgaben

1.1.1 17.1 •• 

Warum kann man Heizkosten sparen, wenn man im Winter die Raumtemperatur nachts absenkt? Erklären Sie dazu, warum folgende Annahme falsch ist, die viele Menschen vertreten: „Das Wiederaufheizen am Morgen macht die Ersparnis zunichte, die durch das Absenken der Temperatur über Nacht erreicht wurde.“

1.1.2 17.2 •• 

Zwei massive Zylinder aus dem Material A bzw. B sind gleich lang, und für ihre Durchmesser gilt $d_{\mathrm{A}}=2\,d_{\mathrm{B}}$. Wenn zwischen ihren Enden die gleiche Temperaturdifferenz aufrechterhalten wird, dann übertragen beide Zylinder pro Zeiteinheit dieselbe Wärmemenge. Wie verhalten sich die Wärmeleitfähigkeiten der beiden Materialien zueinander? a) $k_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}/4$, b) $k_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}/2$, c) $k_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}$, d) $k_{\mathrm{A}}=2\,k_{\mathrm{B}}$, e) $k_{\mathrm{A}}=4\,k_{\mathrm{B}}$.

1.2 Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.2.1 17.3 •• 

Flüssiges Helium wird gewöhnlich in Behältern mit einer 7,00 cm starken „Superisolation“ aufbewahrt, die aus zahlreichen sehr dünnen Schichten aus aluminisiertem Mylar besteht. Angenommen, aus einem solchen kugelförmigen Behälter mit einem Volumen von 200 l verdampfen bei einer Raumtemperatur von 20 ${}^{\circ}$C pro Tag 0,700 l Helium. Die Dichte des flüssigen Heliums beträgt 0,125 kg/l, seine latente Verdampfungswärme ist 21,0 kJ/kg. Schätzen Sie die Wärmeleitfähigkeit der Superisolation ab.

1.2.2 17.4 •• 

Schätzen Sie die Wärmeleitfähigkeit der menschlichen Haut ab. Nehmen Sie als Durchschnittswerte an, dass ein Mensch eine Körperoberfläche von 1,8 m${}^{2}$ hat und in Ruhe eine Leistung von rund 130 W abgibt. Die Temperatur beträgt im Körperinneren 37 ${}^{\circ}$C und an der Hautoberfläche 33 ${}^{\circ}$C. Setzen Sie als mittlere Dicke der Haut 1 mm an.

1.2.3 17.5 •• 

Schätzen Sie den mittleren Emissionsgrad der Erde ab, wobei Sie folgende Daten heranziehen: Die Solarkonstante (die Intensität der Sonnenstrahlung, die auf die Erde trifft) beträgt 1,37 kW/m${}^{2}$; es werden 70% dieser Strahlung von der Erde absorbiert; die mittlere Temperatur der Erdoberfläche liegt bei 288 K. Nehmen Sie als Fläche, auf die die Strahlung auftrifft, $\uppi\,r_{\mathrm{E}}^{2}$ an, wobei $r_{\mathrm{E}}$ der Erdradius ist. Als Fläche, von der angenommen wird, dass sie wie ein schwarzer Körper strahlt, ist $4\,\uppi\,r_{\mathrm{E}}^{2}$ anzusetzen.

1.3 Wärmeleitung

1.3.1 17.6 •• 

Zwei Metallwürfel mit der Kantenlänge 3,00 cm, einer aus Kupfer und der andere aus Aluminium, sind angeordnet, wie in Abbildung 17.7 gezeigt. Berechnen Sie a) den Wärmewiderstand jedes Würfels, b) den Wärmewiderstand der gezeigten Kombination aus beiden Würfeln, c) den Wärmestrom I durch diese Kombination, d) die Temperatur an der Grenzfläche zwischen den Würfeln.

Abb. 17.7

Zu Aufgabe 17.6.

1.3.2 17.7 •• 

Die monatlichen Kosten für die Klimatisierung eines Hauses sind etwa proportional zu der Geschwindigkeit, mit der das Haus Wärme aus der Umgebung aufnimmt, dividiert durch die Leistungszahl $\varepsilon_{\mathrm{KM}}$ der Klimaanlage. Bezeichnen Sie die Temperaturdifferenz zwischen dem Inneren des Hauses und der Außenluft mit $\Updelta T$. Nehmen Sie an, dass der Wärmestrom in das Haus proportional zu $\Updelta T$ ist und dass die Klimaanlage eine ideal arbeitende Kältemaschine ist. Zeigen Sie, dass die monatlichen Kosten für die Klimatisierung des Hauses dann proportional zu $(\Updelta T)^{2}/T_{\mathrm{H}}$ sind, wobei $T_{\mathrm{H}}$ die Temperatur im Inneren des klimatisierten Hauses ist.

1.4 Wärmestrahlung

1.4.1 17.8 • 

Nehmen Sie den menschlichen Körper als schwarzen Strahler der Temperatur 33 ${}^{\circ}$C an (das ist etwa die Temperatur der Hautoberfläche) und berechnen Sie hierfür $\lambda_{\mathrm{max}}$, die Wellenlänge der maximalen Strahlungsleistung.

1.4.2 17.9 • 

Das Universum ist von einer sogenannten Hintergrundstrahlung erfüllt, von der man annimmt, dass sie letztlich vom Urknall herrührt. Nehmen Sie an, das gesamte Universum sei ein schwarzer Körper mit einer Temperatur von 2,3 K. Wie groß ist dann die Wellenlänge $\lambda_{\mathrm{max}}$ der maximalen Strahlungsleistung?

1.4.3 17.10 •• 

Eine geschwärzte, massive Kupferkugel mit dem Radius 4,0 cm hängt in einem evakuierten Gefäß, dessen Wandungen eine Temperatur von 20 ${}^{\circ}$C haben. Die Kugel hat eine Anfangstemperatur von 0,0 ${}^{\circ}$C. Berechnen Sie – unter der Annahme, dass Wärme nur durch Strahlung übertragen wird – die Geschwindigkeit ihrer Temperaturänderung. (Nehmen Sie dabei an, dass die Kugel wie ein schwarzer Körper strahlt.)

1.5 Allgemeine Aufgaben

1.5.1 17.11 •• 

Die Solarkonstante ist die Strahlungsleistung pro Flächeneinheit der Sonne beim mittleren Abstand zwischen Sonne und Erde, die auf die Erdoberfläche trifft und auf ihrer Strahlungsrichtung senkrecht steht. Sie beträgt in der oberen Atmosphäre rund 1,37 kW/m${}^{2}$. Nehmen Sie die Sonne als schwarzen Strahler an und berechnen Sie ihre effektive Oberflächentemperatur. (Der Sonnenradius beträgt $6{,}96\cdot 10^{8}\text{\,m}$.)

1.5.2 17.12 •• 

Die Temperatur der Erdkruste nimmt pro 30 m Tiefe durchschnittlich um 1,0 ${}^{\circ}$C zu. Ihre mittlere Wärmeleitfähigkeit beträgt $0{,}74\,\text{J}/(\text{m}\cdot\text{s}\cdot\text{K})$. Welche Wärmemenge pro Sekunde führt die Erdkruste durch Wärmeleitung aus dem Erdkern ab? Wie hoch ist diese Wärmeabgabe im Vergleich zur Strahlungsleistung, die von der Sonne auf die Erde gelangt? (Die Solarkonstante beträgt rund 1,37 kW/m${}^{2}$.)

1.5.3 17.13 •• 

Ein Stab hat einen sich entlang seiner Länge ändernden Durchmesser d, wobei gilt: $d=d_{0}\,(1+a\,x)$. Darin ist a eine Konstante und x der Abstand von einem Ende des Stabs. Dieser besteht aus einem Material mit der Wärmeleitfähigkeit k. Stellen Sie einen Ausdruck für den Wärmewiderstand des Stabs in Abhängigkeit von der Länge l auf.

1.5.4 17.14 ••• 

Auf einem Teich schwimmt eine 1,00 cm dicke Eisschicht. a) Um wie viele Zentimeter pro Stunde wird die Eisschicht unten dicker, wenn die Lufttemperatur −10 ${}^{\circ}$C beträgt? Eis hat die Dichte 0,917 g/cm${}^{3}$. b) Wie lange dauert es, bis sich eine 20,0 cm dicke Eisschicht gebildet hat, sodass man darauf Schlittschuh laufen kann?