Risikoprozess und Ruintheorie

Abstract

Wie schon in Abschn. 1.1 erwähnt, kann ein typisches Versicherungsphänomen als finanzieller Behälter mit einem deterministischen Zufluss und einem zufälligen Abfluss dargestellt werden, s. Abb. 1.1. Falls die Prämien zu niedrig wären oder ein außerordentlich großer Schaden stattgefunden hätte, würde der Pegel dieses Behälters unter null sinken. Dieses Ereignis wird kurz Ruin genannt. Während der Risikoprozess ein dynamisches Modell für den Pegel dieses Behälters ist, bezeichnet die Ruintheorie alle theoretischen Resultate, die zu Approximationen oder zu exakten Formeln für die Wahrscheinlichkeit des Ruins führen. Abschnitt 1.1.1 enthält die Definitionen und Komponenten des Risikoprozesses. Abschnitt 1.1.2 gibt die Definitionen der Ruinwahrscheinlichkeiten im endlichen und im unendlichen Zeithorizont. Abschnitt 1.1.3 stellt einige wichtige Verallgemeinerungen des Standard-Poisson-Risikoprozesses vor. Einige grundlegende Resultate werden in Abschn. 1.2 dargestellt, Zusammenhänge mit der Warteschlangentheorie zeigt Abschn. 1.3, die Integrodifferentialgleichung zur Ruinwahrscheinlichkeit wird in Abschn. 1.4 hergeleitet, Abschn. 1.5 stellt den Anpassungskoeffizient und seine Eigenschaften vor, eine Analyse des ersten Resultats unter der Initialreserve sowie eine verallgemeinerte Integrodifferentialgleichung zeigt Abschn. 4.6, die zusammengesetzte geometrische Darstellung des maximal angehäuften Verlustes zeigt Abschn. 1.7, und schließlich werden in Abschn. 1.8 asymptotische Approximationen sowie numerische Methoden für die Abschätzung der Ruinwahrscheinlichkeit vorgestellt. In der Literatur zu diesem Kapitel geben Bowers et al. (1997) eine leichte und kurze Einführung zum klassischen Risikoprozess; umfangreiche Referenzen sind z. B. Asmussen und Albrecher (2010) und Rolski et al. (1999).