Zusammenfassung
Wie in den Abschnitten 11.5 und 12.3 an einigen Beispielen deutlich wurde, wird man bei zahlreichen Aufgaben auf eine Fragestellung geführt, die für die Theorie der Matrizen von der größten Bedeutung geworden und geradezu als das Kernstück dieser Theorie anzusehen ist. Es handelt sich darum, zu einer quadratischen, sonst aber beliebigen (reellen oder komplexen) Matrix A Vektoren r derart zu suchen, daß der mit A transformierte Vektor y = A r dem Ausgangsvektor proportional, also ihm parallel ist:
mit einem zunächst noch unbestimmten Parameter λ. Ausführlich lautet die Aufgabe
deren homogener Charakter deutlicher in der Schreibweise
hervortritt. Die Matrix dieses Gleichungssystems,
wird die charakteristische Matrix der Matrix A genannt. Sie spielt, wie wir bald sehen werden, für die Eigenschaften der A Matrix eine entscheidende Rolle.
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Referenzen
Vgl. etwa Praktische Mathematik [15], VIII. Kap.
Krylov, A. N.: Bull. Acad. Sci. URSS, Leningrad, 7. Ser. Classe mathem. 1931, S. 491–538. — 2 [8], S. 141 ff
Zur Auflösung algebraischer Gleichungen vgl. etwa Praktische Mathematik [15], S. 34–77. — 2 Vgl. Praktische Mathematik [15], S. 37 ff.
Mises, R. V., u. H. Ceiringer : Z. angew. Math. Mech. Bd. 9 (1929), S. 58–77, 152–164
genauer : sie sind stets in reeller Form darstellbar, sie sind reell abgesehen von der Möglichkeit der Multiplikation mit beliebigem komplexen Faktor oder einer Linearkombination reeller Vektoren mit komplexen Konstanten
Wir folgen hier der Darstellung in R. Courant u. D. Hilbert : Methoden der mathematischen Physik Bd. I, 2. Aufl. Berlin 1931, S. 19–23 sowie L. Collatz: Eigenwertaufgaben [3], S. 274–280.
Das folgende nach L. Collatz : Eigenwertaufgaben [3] S. 325
Frobenius, G.: Über Matrizen aus positiven bzw. nicht negativen Elementen. S. B. preuß. Akad. Wiss. (1908), S. 471–476, (1909), S. 514–518, (1912), S. 456 bis 477. — H. Wielandt : Unzerlegbare, nicht negative Matrizen. Math. Z. Bd. 52 (1950), S. 642–648.
Collatz, L.: Eigenwertaufgaben [3], S. 289–291.
Eine Aussage darüber findet man bei F. W. Sinden : An oscillation theorem for algebraic eigenvalue problems and its applications. Diss. E. T. H. Zürich 1954. Prom. Nr. 2322.
Schulz, G.: Grenzwertsätze für die Wahrscheinlichkeiten verketteter Ereignisse. Deutsche Math. Bd. 1 (1936), S. 665–699.
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Zurmühl, R. (1958). Das Eigenwertproblem. In: Matrizen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-53291-7_4
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