Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme spielen in den Anwendungen und insbesondere auch in technischen Anwendungen eine hervorragende Rolle. Sie treten auf in der Statik bei der Behandlung statisch unbestimmter Systeme, in der Elektrotechnik bei der Berechnung von Netzen, in der Ausgleichsrechnung zum systematischen Ausgleich von Meßfehlern, in der Schwingungstechnik zur Berechnung von Eigenfrequenzen und Schwingungsformen. Sie treten weiterhin auf im Zusammenhang mit zahlreichen modernen Näherungsverfahren zur numerischen Behandlung von Rand- und Eigenwertaufgaben bei Schwingungsaufgaben, Stabilitätsproblemen und auf ungezählten anderen Gebieten von Physik und Technik. Sowohl ihre numerische Behandlung als auch ihre Theorie sind daher von gleich großer Bedeutung. Theorie und Praxis der linearen Gleichungssysteme sind auch grundlegend für den weiteren Aufbau der Matrizentheorie, welche ihrerseits die numerischen Methoden zur Behandlung umfangreicher Gleichungssysteme wesentlich beeinflußt und gefördert hat. Wir beginnen die folgende Darstellung mit dem einfachsten Fall nichtsingulärer Koeffizientenmatrix, um in den folgenden Abschnitten auch auf allgemeinere Systeme ausführlich einzugehen. Wesentliches Hilfsmittel aller Betrachtungen wird dabei das nach Gauss benannte Eliminationsverfahren, der GAUSSschen Algorithmus sein, dem wir uns zunächst zuwenden.
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Referenzen
Im Schrifttum auch als „abgekürzter GAussscher Algorithmus“ bezeichnet, was indessen leicht dahingehend mißverstanden wird, als sei hier die Anzahl der benötigten Operationen gegenüber dem Algorithmus in seiner gewöhnlichen Form vermindert. Das aber trifft keineswegs zu. Die Operationszahl ist genau die gleiche geblieben. Erreicht wird lediglich ein für die Rechenpraxis freilich überaus einschneidende Hintereinanderschaltung = Verkettung aller der Operationen, die sich in einem Zuge ausführen lassen. Dies in Verbindung mit der Eigenschaft der Rechenmaschine, Produktsummen ohne Niederschreiben der Teilprodukte automatisch zusammenlaufen zu lassen, führt zu ganz erheblicher Einsparung an Schreibarbeit und damit sowie durch zügigere Arbeitsweise zu außerordentlicher Beschleunigung des Eliminationsprozesses. — Auch der gleichfalls gebräuchliche Name „modernisierter Algorithmus“ scheint mir das Wesen der Sache nicht ganz zu treffen, zumal angenommen werden darf, daß GAUSS selbst die Möglichkeit der Verkettung sicherlich gekannt, ihr aber wegen Fehlens der Rechenmaschine damals keine praktische Bedeutung beigemessen hat. — Das Vorgehen selbst ist von verschiedenen Seiten angegeben worden. Es findet sich für symmetrische Systeme zuerst bei M. H. Doolittle (U.S. Coast and geodetic report, 1878, S. 115–120), später in etwas abgewandelter Form bei Cholesky (Benoit, Bull. géodésique 2, 1924), sodann erstmals unter ausdrücklichem Hinweis auf die Maschinentechnik und für allgemeine Systeme bei T. Banachiewicz (Bull. internat. acad. polon. sci., Sér. A, 1938, S. 393–404). Der enge Zusammenhang mit dem Gaussschen Algorithmus ist erst in neuerer Zeit aufgedeckt worden.
Benoit : Sur une méthode de résolution des équations normales etc. (procédé du commandant Cholesky) . Bull. géodésique, Vol. 2 (1924)
Nach einer Methode, die in der Choleskyschen Form von T. Banachiewicz angegeben wurde : On the computation of inverse arrays. Acta Astron. c. Bd. 4 (1939), S. 26–30
Weierstrass, K.: M. Ber. preuß. Akad. Wiss. 1868, S. 310–338
Weierstrass, K.: M. Ber. preuß. Akad. Wiss. 1868, S. 310–338
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Zurmühl, R. (1958). Lineare Gleichungen. In: Matrizen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-53291-7_2
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