Konforme Abbildungen

Zusammenfassung

Will man nach dem Vorbilde der Darstellung einer reellen Funktion = f(ξ) als Kurve in der (ξ, η)-Ebene eine komplexe Funktion w = f(z) geometrisch interpretieren, so kann dies nur im vierdimensionalen Raume geschehen, da man für das Argument z und den Funktionswert w jeweils zwei Dimensionen benötigt. Man erhält dann eine komplexe „Kurve“, die eine zweidimensionale Fläche im vierdimensionalen (w, z)-Raum ist. Eine andere Möglichkeit, eine komplexe Funktion geometrisch zu veranschaulichen, besteht darin, die Zuordnung w = f(z) als Abbildung eines Bereiches der z-Ebene auf einen Bereich der w-Ebene zu deuten. Wir sprechen von den Bildern in der w-Ebene, die durch w = f(z) von Punkten der z-Ebene geliefert werden. Wird die Abbildung durch eine holomorphe Funktion vermittelt, so nennen wir sie eine holomorphe Abbildung. Bei diesen Abbildungen weisen die Beziehungen zwischen den Originalpunkten in der z-Ebene und den Bildpunkten in der w-Ebene wesentliche Eigenschaften auf, mit denen wir uns jetzt beschäftigen werden.