Allgemeine Darstellungstheorie

Zusammenfassung

In den §§ 1–4 wird die Darstellungstheorie der endlichen Gruppen mit Hilfe des Gruppenrings durchgeführt. Die dabei gleichzeitig gewonnene Einsicht in die Struktur gewisser Algebren (zu denen der Gruppenring gehört), die im VIII. Kapitel benötigt wird, ist in § 5 formuliert. Die §§ 6–8 sind der Theorie der Charaktere gewidmet. Diese von den §§ 1–4 im wesentlichen unabhängigen Entwicklungen (§ 8 a stellt die Verbindung her) haben den Vorteil, daß die Übertragung auf gewisse kontinuierliche Gruppen auf der Hand liegt, denen der Rest des Kapitels im wesentlichen gewidmet ist. In § 9 werden die Darstellungen des Infinitesimalrings eingeführt, in § 10 wird die „adjungierte“ Darstellung erklärt, in § 11 das Formelsystem der Charaktere auf den kontinuierlichen Fall übertragen. Diese Dinge werden hauptsächlich im VII. und VIII. Kapitel gebraucht. § 12 behandelt den Zusammenhang zwischen den Darstellungen einer Gruppe und denen einer Untergruppe (der auch in § 8 c vorkommt) vollständig für den einfachsten Fall eines Normalteilers vom Index 2; sein Ergebnis findet ausgiebige Verwendung im VI. Kapitel (symmetrische und alternierende Gruppe) und in Kapitel VII— IX bei den orthogonalen und Lorentz-Gruppen.