Zusammenfassung
Der kombinierte Kalkül ermöglichte eine systematischere Behandlung der logischen Fragen als die inhaltliche traditionelle Logik. Andererseits kann man aber sagen, daß in Hinsicht auf die Möglichkeit der logischen Folgerungen sich beide wesentlich gleich verhalten. Die komplizierteren Schlüsse, die im kombinierten Kalkül möglich sind, lassen sich auch durch mehrfache Anwendung der Aristotelischen Schlußfiguren gewinnen. Nach der Meinung der früheren Logiker, die auch Kant teilte, war nun mit der Aristotelischen Schlußlehre die Logik überhaupt erschöpft.
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In der Vorrede zur 2. Ausgabe der „Kritik der reinen Vernunft“.
Es war bisher in der Logiküblich, nur die Funktionen mit einer Leerstelle als Prädikate, dagegen Funktionen mit mehreren Leerstellen als Relationen zu bezeichnen. Wir gebrauchen hier das Wort Prädikat in ganz allgemeinem Sinne .
Das hier benutzte Axiomensystem für „alle“ und „es gibt“, das in den Formeln e) bis f) sowie den Regeln y zum Ausdruck kommt, ist von P. Berna Ys angegeben worden.
Durch die Bezeichnung der Formeln soll kenntlich gemacht werden, aus welcher der schon bewiesenen identischen Formeln die betreffende Formel gemäß dem Dualitätsprinzip hervorgeht.
Diese Art der Darstellung ist ebenso wie beim Aussagenkalkül keineswegs eindeutig.
Skolem,Th.: Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen. Vid. Skrifter I, Mat.-nat. Klasse 1920, Nr. 4.
Hilbert,D. u. P.Bernays, Grundlagen der Mathematik, I. Bd. 1934, II. Bd. 1939, Berlin.
Ein Unabhängigkeitsbeweis ist inzwischen (d. h. seit Erscheinen der 1. Auflage) von Mckinsey geliefert worden. Vgl. J. C. C.Mckinsey: On the independence of Hilbert and Ackermann’s postulates for the calculus of propositional functions. Amer. J. Math. Bd. 58. Einfachere (bisher nicht publizierte) Beweise sind uns von den Herren P. Bernays und Arnold Schmidt mitgeteilt worden. Die Ausführungen des Textes geben den Bernaysschen Gedankengang wieder.
Mit der Unabhängigkeit des Axioms f) hat selbstverständlich die Tatsache nichts zu tun, daß das Seinszeichen in dem Axiomensystem prinzipiell entbehrlich ist, da man ja (E x) A1 (x) als eine Abkürzung für (x) (x) auffassen kann (vgl. S.52).
1 und 2 sind hier Eigennamen von Gegenständen. Unsere Auflösung der Klammerzeichen kommt also inhaltlich darauf hinaus, daß wir annehmén, der Individuenbereich enthalte nur die beiden Elemente 1 und 2 .
Gödel,K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. Mh. Math. Physik Bd. 37 (1930)
Löwenheim,L.: Über Möglichkeiten im Relativkalkül. Math. Ann. Bd. 76 (1915). Eine wesentliche Vereinfachung der Beweismethode enthält die am Schluß von § 8 dieses Kapitels erwähnte Arbeit von Th. Skolem.
Eine Verwechslung mit Aussagevariablen kann hier nicht entstehen.
Löwenheim, L.: Siehe die in § 10 zitierte Arbeit.
Gödel,K.: Zum Entscheidungsproblem des logischen Funktionenkalküls. Mh. Math. Phys. Bd. 40 (1933)
Kalmar,L. und J.Suranyi On the reduction of the decision problem. Second paper. Gödel prefix: a single binary predicate. Journ. Symb. Logic 12 (1947).
Pepis,J.: Untersuchungen über das Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Fund. Math. 30 (1938). Ein Verfahren der mathematischen Logik. Journ. Symb. Logic 3 (1938).
Suranyi,J.: Zur Reduktion des Entscheidungsproblems des logischen Funktionenkalküls. Mat. es Fizikai Lapok, 50 (1943).
Siehe die unter Anm. 1 an dritter Stelle zitierte Arbeit.
Ackermann,W.: Beiträge zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann. Bd. 112 (1936).
Kalmar,L.: On the reduction of the decision problem. First paper. Ackermann prefix, a single binary predicate. Journ. Symb. Logic 4 (1939).
Wir zitieren zum vorliegenden Fragenkomplex noch die folgenden Arbeiten: Kalmar,L.: Zurückführung des Entscheidungspr-Gblems auf den Fall von Formeln mit einer einzigen binären Fnuktionsvariablen. Comp. Math., Bd. 4 (1936). Vgl. auch die dort angegebenen früheren Arbeiten des Verfassers.
Pepis,J.: Beiträge zur Reduktionstheorie des logischen Entscheidungsproblems. Acta Lit. Szeged Bd. 8 (1936).
Skolem,Th.: Ein Satz über Zahlausdrücke. Acta Sci. Math. Szeged Bd. 7 (1935). Einige Reduktionen des Entscheidungsproblems. Avh. Vid. Akad. Oslo, I, Mat.-nat. Klasse 1936, Nr. 6.
Löwenheim,L.: I. C.-2 Skolem,Th.: Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und fiber Produktion- und Summation-sprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffen. Vid. Skrifter I, Mat.-nat. Klasse 1919, Nr. 3.
Behmann,H.: Beiträge zur Algebra der Logik und zum Entscheidungsproblem. Math. Ann. Bd. 86 (1922).
Eine besonders durchsichtige Behandlung des einstelligen Prädikatenkalküls findet sich in Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik I (vgl. insbesondere § 5, S. 194/195).
Die zuletzt erwähnten Spezialfälle des Entscheidungsproblems fanden ihre Erledigung in der Arbeit von P.Bernays und M.Schönfinkel: Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann. Bd. 99 (1928).
Vgl. K.Gödel: 1. c. (Vorläufige Darstellung schon in Erg. Wien, math. Koll. Bd. 2 (1932).
Kalmar,L.: Über die Erfüllbarkeit derjenigen Zählausdrücke, welche in der Normalform zwei benachbarte Allzeichen enthalten. Math. Ann. Bd. 108 (1932).
Schütte,K.: Untersuchungen zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Math. Ann. Bd. 109 (1934). Über die Erfüllbarkeit einer Klasse von logischen Formeln. Math. Ann. Bd. 110 (1934).
Für den Fall, daß das obige Präfix statt zweier nur ein Seinszeichen enthält, erfolgte die Lösung bereits früher durch W. Ackermann und Th. Skolem. Vgl. W.Ackermann: Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke. Viath. Ann. Bd. 100 (1928).
Skolem,Th.: Über die mathematische Logik. Norsk. mat. Tidskr. Bd. 10 (1928). Ein Spezialfall der letzten Art wurde bereits in der in Anm. 1 genannten Arbeit behandelt.
Vgl. die erste der in der vorigen Anm. genannten Arbeiten von K. Schütte.
Church, A.: An unsolable problem of elementary number theory. Amer. J. Math. Bd. 58 (1936).
A note on the Entscheidungsproblem; Correction to a note on the Entscheidungsproblem. J. Symb, Logic Bd. 1 (1936).
Turing, A. M.: On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem. Proc. London Math. Soc. 42 (1937): Correction ibd. 43 (1937)
Vgl. auch die Darstellung in Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik, II. Bd., S. 416ff.
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Hilbert, D., Ackermann, W. (1949). Der engere Prädikatenkalkül.. In: Grundzüge der Theoretischen Logik. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 27. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52789-0_4
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