Zusammenfassung
Beim Aufbau der Membrantheorie in den vorangehenden Kapiteln sind wir von der grundlegenden Annahme ausgegangen, daß sich alle Spannungen gleichmäßig über die Schalenstärke verteilen, daß also die durch (1 g—k) definierten Momente null sind. Daraus konnten wir sofort folgern, daß auch die Querkräfte verschwinden müssen (S. 6) und daß die Schubkräfte in zueinander senkrechten Schnittrichtungen gleich sind (S. 4), so daß sich die Zahl der zu berechnenden Schnittkräfte von 10 auf 3 verminderte. Man kann die grundlegende Voraussetzung der Membrantheorie auch so ausdrücken, daß man nur solche Schalen untersucht, die einer Verbiegung, d. h. einer Änderung der Krümmungsverhältnisse der Mittelfläche keinen elastischen Widerstand entgegensetzen, also nur eine Dehnungssteifigkeit, aber keine Biegungssteifigkeit haben. Solche Schalen sind, wie wir gesehen haben (S. 74ff.), sogar imstande, bei geeigneten Randbedingungen spannungslose Formänderungen auszuführen, und man überzeugt sich leicht, daß diese nicht einmal immer unendlich klein sein müssen. Die Schale ohne Biegungswiderstand ist also gar kein Sonderfall eines elastischen Körpers, sondern sie besitzt gegenüber geeignet ausgewählten Belastungen überhaupt keine Elastizität, gibt willenlos nach.
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Literaturübersicht
Abschnitt 1
Die Zylindergleichungen in der hier benutzten Form gab W. Flügge: Die Stabilität der Kreiszylinderschale. Ing.-Arch. Bd. 3 (1932) S. 463. Die vereinfachten Gleichungen gab L. H. Donnell: Stability of thin-walled tubes under torsion. Nat. Adv. Comm. Aeron., Rep. 479 (1933).
Eine allgemein gefaßte Herleitung der Grundgleichungen gab H. Parkus: Die Grundgleichungen der allgemeinen Zylinderschale. Ost. Ing.-Arch. Bd. 6 (1951) S. 30. Die Differentialgleichungen für anisotrope Schalen finden sich in der eben zitierten Arbeit von W. FlÜgge.
Abschnitt 2
Lösung für die nullte und erste Harmonische: E. Schwerin: Über die Spannungen in freitragenden gefüllten Rohren. Z. angew. Math. Mech. Bd. 2 (1922) S. 340.
Vollständige Theorie und Näherungsverfahren, das auf die schwach abklingenden Lösungen verzichtet: K. Miesel: Über die Festigkeit von Kreiszylinderschalen mit nichtachsensymmetrischer Belastung. Ing.-Arch. Bd. 1 (1930) S. 22.
Näherungslösung, die auf die stark abklingenden Lösungen verzichtet: E. Gruber: Die Berechnung zylindrischer, biegungssteifer Schalen unter beliebigem Lastangriff. Int. Vereinig. Brücken- u. Hochbau Abh. 2 (1934), S. 196.
Lösung der inhomogenen Gleichungen mit Hilfe von doppelten Fourier-Reihen: H. Reissner: Formänderungen und Spannungen einer dünnwandigen, an den Rändern frei aufliegenden Zylinderschale. Z. angew. Math. Mech. Bd. 13 (1933) S. 133.
Anisotrope Schalen: H. Wagner, H. Simon: Über die Krafteinleitung in dünnwandige Zylinderschalen. Luftf.-Forschg. Bd. 13 (1936) S. 293.
W. Schnell: Krafteinleitung in versteifte Kreiszylinderschalen. Z. Flugwiss. Bd. 3 (1955) S. 385.
Randbedingungen an der gebogenen Platte: G. Kirchhoff: Über das Gleichgewicht und die Bewegungen einer elastischen Scheibe. Crelles J. Bd. 40 (1850) S. 51, auch abgedruckt in den Ges. Abhandl. S. 237. Leipzig 1882.
Ausdehnung auf Schalen: A. B. Bassett: On the extension and flexure of cylindrical and spherical thin elastic shells. Phil. Trans. roy. Soc. Lond. (A) Bd. 181 (1890) S. 433.
Abschnitt 3
Die Biegetheorie der Tonnendächer stammt von U. Finsterwalder: Die querversteiften zylindrischen Schalengewölbe mit kreissegmentförmigem Querschnitt. Ing.-Arch. Bd. 4 (1933) S. 43 und: Die Theorie der zylindrischen Schalengewölbe Zeiß-Dywidag und ihre Anwendung auf die Großmarkthalle Budapest. Int. Vereinig. Brücken- u. Hochbau Abh. 1 (1932) S. 127.
Eine Lösung unter Benutzung der strengen Gln. (98) gab F. Dischinger: Die strenge Theorie der Kreiszylinderschale in ihrer Anwendung auf die Zeiß-Dywidag-Schalen. Beton u. Eisen Bd. 34 (1935) S. 257.
Die stark vereinfachten Gln. (113’) stammen von H. Schorer: Line load action on thin cylindrical shells. Proc. Amer. Soc. civ. Engrs. Bd. 61 (1935) S. 281.
Donnells Gleichungen wurden benutzt von N. J. Hoff, J. Kempner, F. V. Pohle: Line load applied along generators of thin-walled circular cylindrical shells of finite length. Quart. Appl. Math. Bd. 11 (1954) S. 411.
Einen kritischen Vergleich der verschiedenen Lösungsansätze findet man in folgenden Arbeiten: J. Moe: On the theory of cylindrical shells; explicit solution of the characteristic equation and discussion of the accuracy of various shell theories. Int. Vereinig. Brücken- u. Hochbau Abh. 13 (1953) S. 283.
N. J. Hoff: The accuracy of Donnell’s equations. J. Appl. Mech. Bd. 22 (1955) S. 329.
Weitere Beiträge: A. A. Jakobsen: Zylinderschalen mit veränderlichem Krümmungshalbmesser und veränderlicher Schalenstärke. Bauingenieur Bd. 18 (1937) S. 418,
Weitere Beiträge: A. A. Jakobsen: Über das Randstörungsproblem an Kreiszylinderschalen. Bauingenieur Bd. 20 (1939) S. 394.
E. Gruber: Die Berechnung zylindrischer, biegungssteifer Schalen unter beliebigem Lastangriff. Int. Vereinig. Brücken- u. Hochbau Abh. 2 (1934) S. 196.
E.-R. Berger: Die Auflösung der charakteristischen Gleichung für Zylinderschalen durch Iteration. Beton Stahlbet. Bd. 48 (1953) S. 62.
Sammlung von Formeln: C. B. Biezeno, J. J. Koch: Some explicit formulae, of use in the calculation of arbitrarily loaded, thin-walled cylinders. Akad. Wetensch. Amsterdam, Proc. Bd. 44 (1941) S. 505.
N. J. Hoff: Boundary value problems of the thin-walled circular cylinder. J. Appl. Mech. Bd. 21 (1954) S. 343.
Die praktische Bedeutung der Theorie der Tonnendächer hat zum Erscheinen von Büchern geführt, die die Ergebnisse in gebrauchsfertiger Form darstellen: R. S. Jenkins: Theory and design of cylindrical shell structures. (Modern Building Techniques, Bull. 1) London 1947, American Society of Civil Engineers: Design of cylindrical concrete shell roofs. New York 1952.
A. R. Spampinato: Teoria y cálculo de las bóvedas cäscaras cilíndricas. Buenos Aires 1953,
J. E. Gibson, D. W. Cooper: The design of cylindrical shell roofs. New York 1954.
Das Buch von H. Lundgren: Cylindrical shells, vol. 1: Cylindrical roofs, Copenhagen 1951, enthält unter anderem ein neues Lösungsverfahren. Die wirkliche Spannungsverteilung in einem Tonnengewölbe hat wenig Ähnlichkeit mit dem Membranspannungszustand. Insbesondere kommt die Verteilung der Spannung σ x in Tonne und Randglied der Spannungsverteilung im Querschnitt eines gewöhnlichen Balkens mehr oder weniger nahe. Lundgren wendet daher zuerst die elementare Balkentheorie an, bestimmt damit eine erste Näherung für σ x und geht mit ihr in die Gleichgewichtsbedingungen und Elastizitätsgleichungen der Tonnentheorie ein. Auf diese Weise findet er Näherungen für alle Schnittkräfte und Verschiebungen und schließlich eine Verbesserung für σ x die in derselben Weise durch alle Gleichungen hindurch verfolgt werden kann.
Ähnliche Gedanken finden sich auch in der Arbeit von W. T. Marshall: A method of determining the secondary stresses in cylindrical shell roofs. J. Instn. civ. Engrs. Bd. 33 (1949) S. 126.
Abschnitt 4
Die wichtigsten Veröffentlichungen zur Theorie kreiszylindrischer Behälter sind die folgenden: Konstante Wandstärke: H. MÜller-Breslau: Statik der Baukonstruktionen Bd. 2 Abt. 2 § 16. Leipzig 1908.
Stückweise konstante Wandstärke (eiserne Behälter): C. Runge: Über die Formänderung eines zylindrischen Wasserbehälters durch den Wasserdruck. Z. Math. Physik Bd. 51 (1904) S. 254.
Linear veränderliche Wandstärke: H. Reissner: Über die Spannungsverteilung in zylindrischen Behälterwänden. Beton u. Eisen Bd. 7 (1908) S. 150.
E. Meissner: Beanspruchung und Formänderung zylindrischer Gefäße mit linear veränderlicher Wandstärke. Vjschr. naturf. Ges. Zürich Bd. 62 (1917) S. 153.
M. I. Hetényi: Beams on elastic foundation. Ann. Arbor 1946.
Quadratisch veränderliche Wandstärke: E. Steuermann: Zur Theorie der polarsymmetrischen Deformation der elastischen, anisotropen Schalen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 5 (1925) S. 449,
K. Federhofer: Zur Berechnung zylindrischer Behälter mit veränderlicher Wandstärke. Anz. Akad. Wiss. Wien, Math.-Nat. Kl. 1950 S. 275 und: Berechnung des kreiszylindrischen Flüssigkeitsbehälters mit quadratisch veränderlicher Wandstärke. Ost. Ing.-Arch. Bd. 6 (1951) S. 43. Wandstärke proportional (math):
A. Cattin: Serbatoio cilindrico a sezione meridiana di spessore variabile. Ric. Ing. Bd. 7 (1939) S. 80.
Anwendung auf Talsperren: F. Tölke: Baustoffersparnis durch Verwendung von Bogengewichts- und Bogenstaumauern. Bauingenieur Bd. 18 (1937) S. 11.
F. Tölke: Talsperren, Bd. 2,1 von Wasserkraftanlagen, herausgegeben von A. Ludin. Berlin 1938, S. 504.
Schwach ausgebauchte Behälter einschließlich Talsperren: K. Federhofer: Spannungen in schwach ausgebauchten Behältern. Ost. Bau-Ztg. Bd. 6 (1951) S. 149, und: Eine Erweiterung der Behältergleichung als Grundlage für die Berechnung von Bogenstaumauern. Anz. Akad. Wiss. Wien, Math.-Nat. Kl. 1952, S. 17.
Traglast zylindrischer Schalen aus ideal-plastischem Werkstoff: D. C. Drucker: Limit analysis of cylindrical shells under axially-symmetric loading. Proc. 1st Midwestern Conf. Solid Mech., Urbana 1953, S. 158.
P. G. Hodge: The rigid-plastic analysis of symmetrically loaded cylindrical shells. J. Appl. Mech. Bd. 21 (1954) S. 336.
E. T. Onat: The plastic collapse of cylindrical shells under axially symmetrical loading. Quart. Appl. Math. Bd. 13 (1955) S. 63.
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Flügge, W. (1957). Biegetheorie der Kreiszylinderschale. In: Statik und Dynamik der Schalen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52728-9_5
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