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Membrantheorie der Rotationsschalen

  • Wilhelm Flügge
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Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir eine spezielle Klasse von Schalen untersuchen, die in den verschiedensten Gebieten der Technik immer wieder auftritt, ganz besonders im Behälter- und im Kuppelbau. Eine Rotationsfläche entsteht bekanntlich, wenn sich eine ebene Kurve um eine in ihrer Ebene liegende Gerade dreht. Die erzeugende Kurve nennen wir Meridian, die Ebene, in der sie liegt, und die auch die Schalenachse enthält, Meridianebene. Ein Schalenpunkt ist bestimmt durch Angabe des Meridians, auf dem er liegt, und durch eine längs des Meridians veränderliche Koordinate. Den Meridian kennzeichnen wir durch den Winkel ϑ, den seine Ebene mit einer festen Meridianebene einschließt, und als zweite Koordinate wählen wir den Winkel φ der Schalennormalen gegen die Lotrechte. Wenn die Fläche eine Kugel ist, geht das Koordinatensystem in das geographische über: ϑ ist die Länge, φ das Kornelement der Breite. Die Linien φ = const sollen deshalb Breitenkreise heißen.

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Literaturübersicht

Abschnitte 1 und 2

  1. Herleitung der Differentialgleichungen und Behandlung von Beispielen in den unter I, 1 und 2 aufgeführten Lehrbüchern. Ein nichtlineares Problem großer Verzerrungen findet man bei E. Bromberg, J. J. Stoker: Nonlinear theory of curved elastic sheets. Quart. Appl. Math. Bd. 3 (1945) S. 246. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß es für eine Membranschale mit großen Formänderungen ein Randstörungsproblem gibt, das mit demjenigen der Biegetheorie gewisse Ähnlichkeiten aufweist.Google Scholar

Abschnitt 3

  1. Zur Theorie der Kuppel gleicher Festigkeit vergleiche man G. Megareus: Die Kuppel gleicher Festigkeit. Bauingenieur Bd. 20 (1939) S. 232. Ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Tropfenbehältern ist ausführlich dargestellt in C. Runge und H. KÖnig: Vorlesungen über numerisches Rechnen S. 320. Berlin 1924. Zahlenergebnisse findet man bei C. Codegone: Serbatoi a involucro uniformamente teso. Ann. Lay. pubbl. Bd. 79 (1941) S. 179, interessante Versuchsergebnisse bei C. A. Bouman: Sterkteproeven met een spheroid tank. De Ingenieur Bd. 53 (1938) S. P 39. Die gleichzeitige Wirkung von Wasserdruck und Eigengewicht behandelt V. Dašek: Zur Berechnung von Behälterböden gleicher Festigkeit. Beton u. Eisen Bd. 36 (1937) S. 54. In einer Arbeit von F. TÖlke: Über Rotationsschalen gleicher Festigkeit für konstanten Innen- und Außendruck, Z. angew. Math. Mech. Bd. 19 (1939) S. 338, werden die Formen von Gasbehältern gleicher Festigkeit entwickelt. Mit Ausnahme des trivialen Falls der Kugelschale müssen diese Behälter Abschlußböden haben, und der Axialzug in der Schale ist nicht gleich der Resultierenden des Drucks auf den Boden. Eine zusammenfassende Darstellung des Problems der Schalen gleicher Festigkeit gibt K. Federhofer: Über Schalen gleicher Festigkeit. Bauingenieur Bd. 20 (1939) S. 366.Google Scholar

Abschnitt 4

  1. Die Theorie der unsymmetrisch beanspruchten Rotationsschalen beginnt mit der Arbeit von H. Reissner: Spannungen in Kugelschalen (Kuppeln). MÜller-Breslau-Festschrift S. 181. Leipzig 1912. Eine darüber hinausgehende Darstellung enthält der unter I, 1 und 2 zitierte Handbuchartikel von F. Dischinger und sein Aufsatz: Die Rotationsschalen mit unsymmetrischer Form und Belastung. Bauingenieur Bd. 16 (1935) S. 374. Kritische Bemerkungen zu dieser Arbeit und eine Weiterführung der Theorie gab P. Neményi: Beiträge zur Berechnung der Schalen unter unsymmetrischer und unstetiger Belastung. Bygningsstat. Medd. Bd. 8 (1936) S. 53. Eine gründliche mathematische Untersuchung des Problems findet sich in zwei Arbeiten von C. Truesdell: The membrane theory of shells of revolution. Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 58 (1945) S. 96 und On the reliability of the membrane theory of shells of revolution. Bull. Amer. math. Soc. Bd. 54 (1948) S. 994. Weitere Beiträge grundsätzlicher Art: E. Reissner: Note on the membrane theory of shells of revolution. J. Math. Phys. Bd. 26 (1948) S. 290. W. Zerna: Zur Membrantheorie der allgemeinen Rotationsschalen. Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 223.Google Scholar
  2. Über Schalen negativer Krümmung siehe W. FlÜgge: Zur Membrantheorie der Drehschalen negativer Krümmung. Z. angew. Math. Mech. Bd. 25 (1947) S. 65. R. Sauer: Geometrische Bemerkungen zur Membrantheorie der negativ gekrümmten Schalen. Z. angew. Math. Mech. Bd. 28 (1948) S. 198. R. Rabich: Die Mémbrantheorie der einschalig hyperbolischen Rotationsschalen. Baupl. u. Bautechn. Bd. 7 (1953) S. 310. Die singulären Lösungen für die Kugelschale stammen von F. Martin: Die Membran-Kugelschale unter Einzellasten. Ing.-Arch. Bd. 17 (1949) S. 167, s. a. V. Z. Vlassov: Membrantheorie dünner Rotationsschalen (russ.). Appl. Math. Mech. Bd. 11 (1947) S. 397.Google Scholar

Abschnitte 5 und 6

  1. Die mathematische Theorie der dehnungslosen Verbiegung findet man in allen Lehrbüchern der Differentialgeometrie. Zu einer Anwendung auf Schalen scheint vor allem die angenäherte Berechnung von Eigenfrequenzen (s. IX, 1) Anlaß gegeben zu haben. Die auf S. 79 dargestellte Lösung für die Kugelschale stammt von Lord Rayleigh: Theory of sound, Bd. 1, 2. Aufl., S. 422. London 1894. Eine entsprechende Rechnung für Kegelschalen enthält die unter IX, 1 zitierte Arbeit von M. J. O. Strutt. Beispiele für Schalen, die trotz starrer Lagerung ihres Randes dehnungsloser Verbiegungen fähig sind: St. Cohn-Vossen: Über unstarre geschlossene Flächen. Math. Ann. Bd. 102 (1930) S. 10. Die unter II, 4 zitierte Arbeit von F. Martin enthält auch die Lösung der zugehörigen Formänderungsaufgabe. Die Unverträglichkeit der Membranformänderungen in Ringschalen fand W. R. Dean: The distorsion of a curved tube due to internal pressure. Phil. Mag., VIIth ser., Bd. 28 (1939) S. 452.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag OHG., Berlin/Göttingen/Heidelberg 1957

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Flügge
    • 1
  1. 1.Stanford UniversityUSA

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