Zusammenfassung
Wir haben in § 8 von Kap. VI gesehen, wie aus einer, zwei einfachen Forderungen genügenden Intervallfunktion ψ des Ak eine Inhaltsfunktion hergeleitet werden kann. Als erstes Beispiel hierfür erhielten wir den k-dimensionalen äußeren Inhalt, indem wir unter der Intervallfunktion ψ (J) den k-dimensionalen Inhalt des Intervalles J verstanden. Wir machen nun eine zweite Anwendung dieser Theorie.
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Referenzen
Nach J. Pierpont, The theory of functions of real variables, 1 (1905), 157.
Vgl. S. 476, Fußn. 1).
Diese Begriffe wurden eingeführt von C. Jordan, C. R. 92 (1881), 228; Cours d’analyse 2. éd., 1 (1893), 54, und finden sich seither in den meisten Lehrbüchern der Analysis. Vgl. auch die Darstellung von W. H. Young, Quart. Journ. 42 (1911), 54.
Nach G. Kowalewski, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung (1909), 171.
Dies befindet sich in Einklang mit der Definition des äußeren Sprunges Kap. III, § 5, S. 212.
E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 301. Daselbst auch eine weitere Untersuchung der Werte, denen A (Z v ) zustrebt, wenn die ausgezeichnete Zerlegungsfolge {Z v } nicht der Bedingung von Satz V genügt.
H. Lehesgue, Leçons sur l’intégration, 54. Vgl. auch Rend. Line. 16/1 (1907), 95.
Historisches über diesen Begriff findet man bei O. Stolz, Math. Ann. 18 (1881), 267 ff. Die Definition des Textes geht zurück auf G. Ascoli, Rend. Lomb. 16 (1883), 851; L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 51; C. Jordan, Cours d’analyse 2. éd., 1 (1893), 100. Vgl. auch G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887), 161; Rend. Lint. (4) 6/1 (1890), 54; E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 314; H. Lebesgue, Ann. di mat. (3) 7 (1902), 282. Eine auf anderer Grundlage ruhende Definition des Begriffes Länge gibt E. Schmidt, Math. Ann. 55 (1902), 163.
L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884), 51.
Man beachte, daß nicht dem Kurvenbogen als solchem eine Länge zukommt, sondern erst einer gegebenen Durchlaufung des Kurvenbogens.
C. Carathéodory, Gött. Nachr. 1914, 424.
Vgl. S. 474, Fußn. 1).
Vgl. § 1, S. 467.
Durch die in diesem Satze ausgesprochene Eigenschaft wurden die totalstetigen Funktionen zuerst definiert : G. Vitali, Atti Tor. 40 (1905), 753.
Ersetzt man die folgende Ungleichung durch Δ(S) ε, bzw. Δ(S)-ε,, so entstehen die Begriffe der nach oben, bzw. n a c h unten totalstetigen Funktionen, mit denen sich (unter dem Namen „upper (lower) semiintegrals“) W. H. Young beschäftigt hat: Lond. Proc. (2) 9 (1911), 286 ff.
Dies zeigt das Beispiel S. 490, Fußn. 1).
Dieser Satz ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes, daß die aus zwei totalstetigen Funktionen f und g zusammengesetzte Funktion g (f) immer dann totalstetig ist, wenn sie von endlicher Variation ist. Doch wollen wir auf den Beweis dieses allgemeineren Satzes in diesem Zusammenhange nicht eingehen.
Vgl. S. 512, Fußn. 2).
Nach A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 156. Vgl. wegen dieser Funktionen: G. Cantor, Acta math. 4 (1884), 386. A. Harnack, Math. Ann. 24 (1884), 225. L. Scheeffer, Acta math. 5 (1884) , 74, 289. V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 338. D. Gravé, C. R. 127 (1898) , 1005. Vgl. auch G. Poano, Riv. di mat. 2 (1892), 41.
§ 11, S. 529.
I) H. Lebesgue, Ann. Éc. Norm. (3) 27 (1910) , 408. M. Fréchet, Nouv. Ann. (4) 10 (1910), 241. Eine etwas andere Definition : M. Fréchet, Am. Trans. 16 (1915). 225.
Der Zusatz (I) bedeutet : „nach Definition T“
G. H. Hardy, Quart. Journ. 37 (1906), 56.
M. Fréchet, Nouv. Ann. (4) 10 (1910), 245.
Vgl. S. 474, Fußn. 1)
Vgl. W. Küstermann, Math. Ann. 77 (1916), 474. Wir erhalten damit zugleich ein Beispiel einer stetigen, aber nicht totalstetigen Funktion von (x, y), die nach jeder ihrer beiden Veränderlichen totalstetig ist.
J. Pierpont, The theory of functions of real variables 1, 518.
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Hahn, H. (1921). Die Funktionen endlicher Variation. In: Theorie der reellen Funktionen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52624-4_9
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