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Die absolut-additiven Mengenfunktionen

  • Hans Hahn

Zusammenfassung

Wir haben uns bisher mit Funktionen beschäftigt, die jedem Punkte einer Punktmenge A eines (metrischen) Raumes R eine Zahl zuordnen. Wir können sie als Punktfunktionen bezeichen, im Gegensatze zu den nun zu behandelnden Mengenfunktionen.

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Referenzen

  1. 1).
    Der Begriff der Mengenfunktion stammt von H. Lebesgue, Ann Éc. Norm. (3) 27 (1910), 380.Google Scholar
  2. 2).
    Nach F. Hausdorff, Grundz. D. Mengenlerhe 15Google Scholar
  3. 1).
    F. Hausdorff, a. a. O. 23.Google Scholar
  4. 1).
    Diese Bezeichnung stammt von J. Radon (Wien. Ber. 122 (1913), 1299), der Begriff von H. Lebesgue, a. a. O. — Man erhält eine gute Veranschaulichung der absolut-additiven Mengenfunktionen, indem man eine solche Funktion als Massenbelegung (mit positiver und negativer Masse) deutet; χ ist dabei die von der A Menge getragene Masse.Google Scholar
  5. 2).
    Der Satz gilt auch ohne diese Einschränkung: § 2, Satz XVII.Google Scholar
  6. 1).
    Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel von Fußn. 1), S. 397.Google Scholar
  7. 1).
    Man erhält dieselbe obere Schranke, wenn man nur die Zerlegungen Z von It in endlich viele Summanden in Betracht zieht.Google Scholar
  8. 2).
    Vgl. hierzu H. Lebesgue, Ann. Ec. Norm. (3) 27 (1910), 380 ff. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1299 ff. Bei Lebesgue und Radon wird sie als Variation bezeichnet. Wir vermeiden diesen Ausdruck, weil wir sonst in Kollision mit dem eingebürgerten Ausdrucke „Variation einer Funktion einer Veränderlichen” kämen. Vgl. Kap. VII, § 5, S. 496.Google Scholar
  9. 1).
    Sie kann auch unmittelbar aus der Definition von α, <, v als obere Schranken aller A (Z), P (Z), N (Z) abgelesen werden; vgl. den Beweis von Kap. VII, § 4, Satz II.Google Scholar
  10. 2).
    2) Satz XIV folgt auch unmittelbar aus der Definition von α, <, v zusammen mit Satz V; vgl. den Beweis von Kap. VII, § 5, Satz VIII.Google Scholar
  11. 1).
    Vgl. hierzu J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1320.Google Scholar
  12. 1).
    Nach § 2, Satz XIII.Google Scholar
  13. 2).
    Und mithin auch totalstetig nach ß (Fußn. 1).Google Scholar
  14. 1).
    Die folgende Einführung des Begriffes der Maßfunktionen und der Meßbarkeit rührt her von C. Carathéodory, Gött. Nachr. 1914, 404. Vorl. über reelle Funktionen, Kap. V.Google Scholar
  15. 2).
    C. Carath éodory unterwirft alle Maßfunktionen den Forderungen L, 2., 3., 4. Wir sind von dieser Terminologie abgewichen, um auch die (von Forderung 4. unabhängigen) Sätze des vorigen Paragraphen einfach aussprechen zu können. — Ein Beispiel einer Maßfunktion, die nicht g e w ö h n l i c h e Maßfunktion ist, erhält man, indem man setzt: χ (A) = 1 für jede nicht leere Menge A. Der σ — Körper der χ- meßbaren Mengen besteht in dem Falle aus der leeren Menge und dem ganzen Raume R. — Ein anderes Beispiel bei C. Carathéodory, Vorl. über reelle Funktionen, 362.Google Scholar
  16. 1).
    Nach C. Carathéodory, Vorl. über reelle Funktionen, 258. Ein Beispiel einer geöhnlichen. Aber nich regulären Maßfunktion obenda, 363.Google Scholar
  17. 2).
    2) Näheres über innere maße C. Carathéodory, a. a. O., 364. A. Rosenthal, Gött. Nachr. 1916, 305.Google Scholar
  18. 1).
    Für monoton abnehmend e Mengenfolgen gilt ein solcher Satz nicht: F. Haizsdorff, Grundz. d. Mengenlehre. 419.Google Scholar
  19. 1).
    Für monoton wachsende Mengenfolgen gilt ein solcher Satz nicht: F. Hausdorff, a. a. O. 418.Google Scholar
  20. 1).
    Vgl. Hiezu. F. Hausdorff, math. Ann. 79 (1918), 159Google Scholar
  21. 1).
    Für k = 1 sagen wir statt eindimensional auch: „linear“.Google Scholar
  22. 2).
    Der Begriff des k-dimensionalen Inhaltes (äußeren, inneren Inhaltes) einer Punktmenge des 91k stammt von H. Lebesgue, Ann. di mat. (3) 7, (1902), 235; Leg. sur l’intégration (1904) 109. Unabhängig hiervon ist auch W. H. Young zu einem äquivalenten Inhaltsbegriff gekommen: Lond. Proc. (2) 2, (1904), 16. Weniger weittragende Theorien des Inhalts von Punktmengen hatten vorher entwickelt H. Hank el, Math. Ann. 20, (1882), 87 = Ostw. Klass. Nr. 153, 71; 0. Stolz, Math. Ann. 23, (1884), 152; G. Cantor, Math. Ann. 23, (1884), 473; A. Harnack, Math. Ann. 25, (1885), 241; G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (1887), 154 ; C. Jordan, Cours d’analyse, 2. éd., 1, (1893), 28; É. Bore 1, Leg. sur la théorie des fonctions (1898), 46.Google Scholar
  23. 1).
    Das erste Beispiel einer nirgends dichten, abgeschlossenén Punktmenge des R1 mit positivem Inhalte rührt wohl her von H. J. St. Smith, Lend. Proc. 6 (1875), 148.Google Scholar
  24. 1).
    Es sei noch eigens bemerkt, daß es eine nicht-negative, im σ — Körper für die x aller Punktmengen des Rk, absolut-additive Mengenfunktion χ, für die(×) gilt, nicht geben kann: F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre 401; vgl. auch ebenda 469.Google Scholar
  25. 1).
    C. Carathéodory, Gött. Nachr. 1914, 420. F. Hausdorff, Math. Ann. 79 (1918), 163.Google Scholar
  26. 1).
    Vgl. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1322.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

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