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Funktionenfolgen

  • Hans Hahn

Zusammenfassung

Sei auf der Punktmenge A eine unendliche Folge von Funktionen:
$$ \mathop f\nolimits_1 ,\mathop f\nolimits_2 ,.......,\mathop f\nolimits_v ,... $$
gegeben; wie bisher bezeichnen wir sie kurz mit {f v }. Die Folge:
$$ \mathop f\nolimits_k ,\mathop f\nolimits_k + 1,...,\mathop f\nolimits_k + v,... $$
bezeichnen wir als die k- te Restfolge {f v }k von f v ; die endliche Folge:
$$ \mathop f\nolimits_k ,\mathop f\nolimits_k + 1,...,\mathop f\nolimits_k + l,... $$
Werde bezeichnet mit \( \left\{ {{f_v}} \right\}_k^{k + l} \).

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Referenzen

  1. 1).
    Vgl. zu dieser Begriffsbilding C. A. Dell’Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10). 331Google Scholar
  2. 2).
    Sie dürfte (für Folgen von Funktion einer reellen Veränderlichen) zuerst von P. Du Bois-Reymond angewendet worden sein: J. f. Math. 100 (1887), 331.Google Scholar
  3. 1).
    Vgl. hierüber W. H. Young a. a. O.Google Scholar
  4. 1).
    Dieser Begriff wurde wohl zuerst eingeführt von Weierstra B 1880 (Werke 2, 203). Sodann findet er sich bei P. Du Bois-Reymond, J. f. Math. 100 (1887), 335 (wo er als „stetige Konvergenz im Punkte Abstract“ bezeichnet wird, so daß unsere Terminologie nicht mit der von Du Bois- Reymond übereinstimmt). Vgl. hierzu A. Pringsheim, Miinch. Ber. 1919, 419.Google Scholar
  5. 1).
    Vgl. C. A. Dell’Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 159. Dieser Satz ist, gleich allen folgenden Sätzen dieses Paragraphen mit Ausnahme von Satz IX und XVII, ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  6. 1).
    Diese Definition dürfte sich zuerst finden bei A. L. Cauchy, C. R. 36 853), 454 = Œuvres (1) 12, 30.Google Scholar
  7. 1).
    Dieser Satz ist ähnlich dem Satze von der gleichmäßigen Stetigkeit (Kap. II, § 4, Satz IX), ist aber zum Unterschied von diesem ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  8. 1).
    Historisch sei zu diesem Satze bemerkt, daß noch A. L. Cauchy anfänglich (Anal. alg. (1821), 131 = Œuvres (2) 3, 120) der Ansicht war, aus der Stetigkeit aller f v einer konvergenten Folge ergebe sich die Stetigkeit der Grenzfunktion. Dies wurde von N. H. Abel durch ein Beispiel widerlegt (1826, Œuvres 1, 224) . Die ersten, die die Bedeutung der gleichmäßigen Konvergenz für die Stetigkeit der Grenzfunktion erkannten, waren G. G. Stokes (Cambr, Trans. 8 (1847), 533 = Papers 1, 236) und Ph. Seidel (Mönch. Abh. II, 5 (1848), 338). Die heute übliche Formulierung geht zurück auf Cauchy, C. R. 36 (1853), 454 = Œuvres (1) 12, 30.Google Scholar
  9. 1).
    Die Entwicklungen dieses Paragraphen stammen im wesentlichen von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 6 (1908), 309; Camb. Phil. Trans. 21 (1909), 241; Quart. Journ. 1913, 141; Lond. Proc. (2) 12 (1913), 340.Google Scholar
  10. 2).
    Bei W. H. Young: „Uniform oscillation of the second kind.“.Google Scholar
  11. 3).
    Alle Sätze dieses Paragraphen sind allgemeine Grenzsätze.Google Scholar
  12. 1).
    Bei W. H. Young: Uniform oscillation of the first kind.Google Scholar
  13. 1).
    Diese Voraussetzung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Man setze alle f v gleich derselben in a nicht oberhalb stetigen Funktion.Google Scholar
  14. 2).
    Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das zweite Beispiel von FuBn. 1), S. 244.Google Scholar
  15. 1).
    C. Carath éodory, Vorl. über reelle Funktionen, 177.Google Scholar
  16. 1).
    W. F. Osgood, Am. Journ. 19 (1897), 166. Vgl. auch E. W. Hobson, Lond. Proc. 34 (1902), 253, und (2) 1 (1904), 376.Google Scholar
  17. 1).
    Vgl. hierzu W. H. Young, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 356.Google Scholar
  18. 1).
    Dieser Satz wurde (auf anderem Wege) zuerst bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 30; Leçons sur les fonctions discontinues (1905), 108. Vgl. auch W. H. Young, Mess. of math. (2) 37 (1907), 49; C. A. Dell’Agnola, Rend. Lomb. 41 (1908), 303, 683.Google Scholar
  19. 2).
    Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei dieGoogle Scholar
  20. 1).
    Die Frage, ob die gleichmäßige Konvergenz auch notwendig ist für die Stetigkeit der Grenzfunktion, war lange Zeit offen. (S. z. B. H. E. Heine J. f. Math. 71 (1870), 353.) Noch O. Stolz hielt sie für notwendig: Ber. naturw. Ges. Innsbruck 5 (1875), 31. Die ersten, die durch tseispiele aas Gegenteil zeigten, waren: G. Darboux, Ann. Re. Norm. (2) 4 (1875), 79. P. du Bois - Reymond, Minch. Abh. 12 (1875), 119. G. Cantor, Math. Ann. 6 u1880 BRR Google Scholar
  21. 1).
    Ein anderes Beispiel: W. F. Osgood, Am. Bull. (2) 3 (1896), 69. Allgemein wurde diese Frage bereits in § 6, Satz VI behandelt.Google Scholar
  22. 1).
    Vgl. hierzu E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable (1907), 489. — C. A. Dell’Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 1098. — F. Hausdorf f, Grundzüge d. Mengenlehre (1914), 386. — Satz II ist, ebenso wie die folgenden Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  23. 1).
    Dies folgt übrigens auch aus § 2, Satz XI und § 3, Satz II einerseits, § 3, Satz X andrerseits.Google Scholar
  24. 2).
    U. Dini, Grundlagen f. eine Theorie d. Funktionen (1892) 148. — P. Montel, Ann. Pc. Norm. 24 (1907), 263. — C. A. Dell’Agnola, Atti Ven. 70 (1910/11), 383.Google Scholar
  25. 3).
    U. Dini, a. a. O.Google Scholar
  26. 1).
    Dies zeigen auch die zu Beginn dieses Paragraphen angegebenen Beispiele.Google Scholar
  27. 2).
    C. Arzelà, Mem. Bol. (5) 8 (1899), 174; E. W. Hobson, Load. Proc. (2) 1 (1904), 374. 3) Dieser Begriff stammt von C. Arze1 à, der diese Art der Konvergenz als „convergenza uniforme per tratti“ bezeichnet. Der Name „quasigleichmäßige Konvergenz“ stammt von É. B o re 1. Vgl. die Literatur zu Satz IX.Google Scholar
  28. 1).
    Dieser Satz stammt von C. Arzelà, Rend. Bol. (1) 19 (1883/84), 83; Mem. Bol. (5) 8 (1899/1900), 131 (Deutsche Bearbeitung von J. P o h 1, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 54), Rend. Bol. 7 (1902/03), 22. Die Bemerkung, daß es sich um einen allgemeinen Grenzsatz handelt, stammt von M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 9. Weitere Literatur: E. W. Hobson, Lond. Proc. (2) 1 (1904), 380; É. Borel, Leçons sur les fonctions de variables réelles (1905), 41. C. A. Dell’Agnola, Rend. Lomb. (2) 40 (1907), 369; (2) 41 (1908), 287; G. Vivanti, Rend. Pal. 30 (1910) , 85. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 353. T. H. Hillebrandt, Am. Bull. (2) 18 (1912), 447; Ann. of math. (2) 14 (1912), 81. L. Orlando, Ann. Ac. Porto 6 (1911), 188; 7 (1912), 97; Rend. Linc. 22/2, (1913), 415.Google Scholar
  29. 1).
    Näheres über solche Doppelfolgen findet man bei A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band (1916), 247 ff.Google Scholar
  30. 1).
    Dieser und die folgenden Sätze wurden (für den 9) bewiesen von E. W. Hobson, Lond. Proc. (2) 5 (1907), 225. Eine Umformung von Satz VI findet man bei P. Marti n o t t i, Rend. Pal. 37 (1914), 23.Google Scholar
  31. 1).
    Dieser Begriff wurde eingeführt von G. Ascoli, Mem. Line. 18 (1883), 545. Vgl. auch C. A. Dell’Agnola, Atti Ven. 69 (1909/10), 1103.Google Scholar
  32. 1).
    C. Arzelà, Mem. Bol. (5), 5 (1895), 55; (5), 8 (1899), 176 (Deutsche Bearbeitung von J. P o h l und Br. Rauchegger, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 250). Vgl. auch C. A. Dell’Agnola, Rend. Line. 19/2 (1910), 106. Satz II ist, wie die folgenden Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz M. Fréchet, Rend. Yal. 22 (1906), 10. 5) Wegen § 3, Satz II, III kann es statt dessen auch heißen: gleichmäßig konvergent.Google Scholar
  33. 2).
    Vgl. W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 356.Google Scholar
  34. 1).
    C. Arzelh, Mem. Bol. (5) 5 (1895), 61. Satz I ist, wie die anderen Sätze dieses Paragraphen, ein allgemeiner Grenzsatz. Vermöge der Schränkungstransformation kann wieder durchweg als beschränkt angenommen werden.Google Scholar
  35. 2).
    P. Montel, Ann. Be. Norm. (3) 24 (1907), 261.Google Scholar
  36. 1).
    P. Montel, a. a. O. 262.Google Scholar
  37. 2).
    Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel S. 304 Fan. 1).Google Scholar
  38. 1).
    W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 355.Google Scholar
  39. 1).
    H. Hanké1, Gratulationsprogr. d. Tübinger Univ. 1870 = Math. Ann. 20 (1882), 77 = Ostw. Klass. Nr. 153, 61.Google Scholar
  40. 2).
    U. Dini, Grundl. f. e. Theorie d. Funkt. 157 ff.Google Scholar
  41. 3).
    G. Cantor, Literar. Centralbl. 1871, 150; Math. Ann. 19 (1882), 588.Google Scholar
  42. 4).
    Ein Beispiel hiefür: Ph. Gilbert, Bull. Ac. Beig. (2) 23 (1873), 42tS. Vgl. auch G. Darboux, Ann. Éc. Norm. (2) 4 (1875), 58.Google Scholar
  43. 5).
    Die Übertragung auf mehrdimensionale Räume (Funktionen von mehreren Veränderlichen) ist unmittelbar.Google Scholar
  44. 1).
    U. Dini, a. a. O. 188 ff.. Man findet dort viele Beispiele.Google Scholar
  45. 2).
    B. Riemann, Habilitationsschr. 1854. = Ges. Werke, 2. Aufl., 242.Google Scholar
  46. 4).
    T. Brodé n, Math. Ann. 51 (1899), 299.Google Scholar
  47. 1).
    Vgl. U. Dini, Grundl. f. e. Theorie d. Funkt., 161, 190.Google Scholar
  48. 1).
    Dies folgt übrigens auch unmittelbar aus Satz V von § 7. Vgl. W. H. Young, Mess. of math. 1907, 54.Google Scholar
  49. 1).
    Näheres über den Inhalt von Punktmengen in Kap. VI, § 8.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

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