Advertisement

Die unstetigen Funktionen

  • Hans Hahn

Zusammenfassung

In Verallgemeinerung der Definition des Grenzwertes einer Funktion auf einer Punktmenge (Kap. II, § 11, vgl. insbesondere Satz VIII) definieren wir: Ist a Häufungspunkt von A (d. h. Punkt von A1), so heißt die Zahl l ein H ä Häu fungswert1) von f in a auf A, wenn es in A eine Punktfolge {a n } gibt, so daß
$$\mathop {\lim }\limits_{n = \infty } {a_n} = a;\quad {a_n} = a;\quad \mathop {\lim }\limits_{n = \infty } f\left( {{a_n}} \right) = l $$

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1).
    R. Bettazzi der sich zuerst systematisch mit diesem Begriffe befaßt hat (Rend. Pal. 6 (1892), 177) sagt „un confine di f“. Google Scholar
  2. 1).
    Vgl. M. Pasch, Math. Ann. 30 (1887), 134. Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.Google Scholar
  3. 1).
    R. Bettazzi, a. a. O.Google Scholar
  4. 1).
    R. Bettazzi, a. a. O. Vgl. hierzu auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 315.Google Scholar
  5. 1).
    Ein Spezialfall dieses Satzes wurde bewiesen von W. H. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910), 117.zbMATHGoogle Scholar
  6. 3).
    Wie schon erwähnt, ist dann a nicht Punkt, sondern nur Begrenzungspunkt von E.Google Scholar
  7. 1).
    Ganz analog ist die Definition der linksseitigen Häufungswerte, und dann auch weiter der linksseitigen Häufungsfunktion h_ (a; f, A).Google Scholar
  8. 2).
    W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1907), 67;zbMATHGoogle Scholar
  9. 2a).
    W. H. Young, Rend. Line. 17/1 (1908), 582. (Ein Spezialfall auch bei L. Ton elli, Rend. Lomb. (2) 41 (1908), 773).zbMATHGoogle Scholar
  10. 1).
    Auch Unstetigkeitsgrad genannt.Google Scholar
  11. 1).
    Von M. Pasch als Schwingung bezeichnet, Math. Ann. 30 (1887), 139.Google Scholar
  12. 1).
    Vgl. zu diesem und:den folgenden Sätzen: M. Pasch, Math. Ann. 38 (1887), 140.Google Scholar
  13. 1).
    Denn gäbe es unendlich viele, so hätten sie, weil t kompakt, einen Häufungspunkt; es gäbe also einen Punkt von.1, der nicht innerer Punkt von 1 wäre.Google Scholar
  14. 1).
    Vgl. M. Pasch, a. a. O. 141; A. S choenfli, Gött. Nachr. 1899, 188.Google Scholar
  15. 1).
    Vgl. W. H. Young, Wien. Ber. 112 (1903), 1307;zbMATHGoogle Scholar
  16. 1a).
    H. Lebesgue, Bull. soc. math. 32 (1904), 235.MathSciNetGoogle Scholar
  17. 2).
    W. H. Young, a. a. O. 1312; W. Sierpifski, Prace mat. fiz. 22 (1911), 19.Google Scholar
  18. 1).
    Hiervon abweichend bezeichnen manche Autoren als total-unstetig jede Funktion, die nicht punktweise unstetig (§ 4) ist.Google Scholar
  19. 1).
    Für Funktionen einer reellen Veränderlichen zuerst bewiesen von W. H. Young, a. a. O. 1312.Google Scholar
  20. 1).
    Oder punktiert unstetig. Dieser Begriff rührt her von H. Hank el, Gratulationsprogr. der Tübinger Univ. 1870 = Math. Ann. 20, (1887), 89 Ostw. Klass. Nr. 153, 74.Google Scholar
  21. 1).
    Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Vgl. das Beispiel zu Satz IV.Google Scholar
  22. 1).
    Man hat dabei wieder f als beschränkt anzunehmen, was vermöge der Schränkungstransformation zulässig ist.Google Scholar
  23. 2).
    U. Dini, Grundlagen f. e. Theorie d. Funktionen einer veränderlichen reellen Größe (1892) § 151.Google Scholar
  24. 3).
    D. h. (Kap. I, § 8, Satz II, V) A ist abgeschlossen oder ein o-Durchschnitt in einer abgeschlossenen Menge.Google Scholar
  25. 5).
    V. Volterra, Giorn. di mat. 19 (1881), 84.Google Scholar
  26. 1).
    Dabei ist wieder (vermöge der Schränkungstransformation) fals beschränkt anzunehmen.Google Scholar
  27. 1).
    T. Brodén, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 16.Google Scholar
  28. 1).
    Dieser Begriff wurde eingeführt von A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 135. Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 16 (1905), 312.zbMATHCrossRefGoogle Scholar
  29. 3).
    Nach E. Study, Math. Ann. 47 (1896), 301.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  30. 2).
    R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 13. (Vgl. auch Bull. soc. math. 28 (1900), 179).Google Scholar
  31. 2a).
    H. Lebesgu, Bull. soc. math. 32 (1904), 233.Google Scholar
  32. 1).
    Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden, wie das Beispiel zu Satz II zeigt.Google Scholar
  33. 1).
    Satz IV folgt auch unmittelbar aus § 1, Satz XVI und Kap. II, § 13, Satz XII.Google Scholar
  34. 2).
    H. Lebesgue, Ann. de Toul. (3) 1 (1909), 60.Google Scholar
  35. 1).
    Ausgehend von Satz II, § 5 wurden solche Funktionen konstruiert von T. Brodén, Acta Univ. Lund. 33 (Neue Folge 8) (1897), 17.Google Scholar
  36. 1a).
    Zahlreiche Beispiele punktweise unstetiger Funktionen wurden hergestellt durch Zifferngesetze, die an die Darstellung der reellen Zahlen durch Systembrüche anknüpfen: G. Peano, Riv. di mat. 2 (1892), 42. A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1899, 187, (vgl. auch Gött. Nachr. 1896, 255);Google Scholar
  37. 1b).
    ferner T. Brodén, Math. Ann. 54 (1901), 518.MathSciNetzbMATHCrossRefGoogle Scholar
  38. 2).
    Vgl. über diese und ähnliche Funktionen W. D. A. Westfall, Am. Bull. 15 (1908), 225.CrossRefGoogle Scholar
  39. 3).
    Eine Funktion f einer reellen Veränderlichen, die stetig im b1 wäre für rationales, unstetig für irrationales a, kann es nicht geben (§ 4, Satz III, VI).Google Scholar
  40. 1).
    Vgl. A. S choenflies, Gött. Nachr. 1899, 192.Google Scholar
  41. 1).
    Mit diesen Funktionen hat sich eingehend befaßt A. Denjoy, Bull. soc. math. 33 (1905), 98.MathSciNetGoogle Scholar
  42. 1).
    W. Sierpi ń ski, Bull. Crac. 1910, 633. Verallgemeinerungen bei H. Blumberg, Proc. Nat. Acad. Am. 2 (1916), 646.CrossRefGoogle Scholar
  43. 1).
    W. Sierpiński, a. a. O.Google Scholar
  44. 2).
    Es genügt nicht, daß f selbst endlich sei auf A, wie aus Fußn. 2), S. 223 hervorgeht.Google Scholar
  45. 1).
    In der Tat, ist A — AA1 + dicht in A (wie dies bei jeder nirgends dichten perfekten Punktmenge des b1 zutrifft), so ist j ede Funktion auf A rechtsseitig punktweise unstetig.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

Personalised recommendations