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Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen

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Book cover Theorie der reellen Funktionen

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Zusammenfassung

Sei A eine Menge irgendwelcher Elemente. Ist jedem Elemente a von A eine reelle Zahl zugeordnet, die mit f (a) bezeichnet werde, so sagen wir, es sei durch diese Zuordnung eine (einwertige) r e e 11 e Funktion f (a) auf A definiert1). Eine reelle Funktion auf A ist also (Einleitung § 1, S. 1) nichts anderes als eine Abbildung der Menge A in die Menge aller reellen Zahlen (eine Belegung von A mit reellen Zahlen). Ist insbesondere A eine Punktmenge des euklidischen R k :

$$ a = \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_k}} \right) $$

so schreibt man:

$$ f\left( a \right) = f\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_k}} \right) $$

, und nennt f (a) eine auf A definienrta Funktion der reellen Veränderlichen x 1, x 2,..., x k .

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Referenzen

  1. Versteht man unter A ein Intervall des R1, so ist dies,der Funktionsbegriff, wie er von G. Lejeune- Dirich1et formuliert wurde: Repert. d. Phys. 1 (1837), 152; Werke 1, 135; Ostwalds Klassiker Nr. 116, 3.

    Google Scholar 

  2. Dieser Satz dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) auf Weierstra ß zurückgehen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz (Kap. I, § 1, S. 58); M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 8.

    Google Scholar 

  3. Sie dürfte in der Literatur zuerst bei E. Heine zu finden sein (Journ: f. Math. 74 (1872), 182), der sich dabei auf G. Cantor beruft.

    Google Scholar 

  4. Satz II und III sind allgemeine Grenzsätze.

    Google Scholar 

  5. B. Bolzano, Rein analytischer Beweis usw. Prag 1818, 11 = Ostwalds Klassiker Nr. 153, 7. A. Cauchy, Cours d’analyse 1 (1821), 34 = Euvres (2) 3, 43.

    Google Scholar 

  6. Wie der Beweis zeigt, ist Satz VIII ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  7. Vgl. hierzu H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247.

    Article  MATH  Google Scholar 

  8. Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz. Er dürfte (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst von Weerstra amp;#x0042; in seinen Vorlesungen bewiesen worden sein. Man überzeugt sich leicht, daß die Bedingungen, sei kompakt und abgeschlossen, nicht entbehrt werden können. Näheres hierüber M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 31

    Google Scholar 

  9. H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 255.

    Google Scholar 

  10. Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  11. Statt dessen kann es auch heißen: für eine (im b1) überall dichte Menge von Zahlen c.

    Google Scholar 

  12. Auch dieser Satz ist ein allgemeiner Grenzsatz; er wurde (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) zuerst bewiesen von B. Bolzano, Rein analytischer Beweis usw. (1818), 12, 51 = Ostwalds Klassiker Nr. 153, 8, 31.

    Google Scholar 

  13. Dies wurde betont von G. Darboux, Ann. Éc. Norm. (2) 4 (1875), 109.

    MathSciNet  Google Scholar 

  14. H. Lebesgue, Leçons sur l’intégration (1904) 105.

    MATH  Google Scholar 

  15. Vgl. auch E. Cero, Bull. sci. math. (2) 21 (1897), 258.

    Google Scholar 

  16. W. H. Young, Rend. Pal. 24 (1907), 187;

    Article  MATH  Google Scholar 

  17. W. H. Young, Mess. of math. (2) 39 (1909), 69.

    Google Scholar 

  18. W. H. Young, F. Apt, Arch. d. Math. (3) 20 (1912), 189.

    Google Scholar 

  19. Eine andre, auf nicht- metrischer Grundlage ruhende Definition der gleichmäßigen Stetigkeit wird vorgeschlagen von W. Sierpiński, Wektor 2 (1912), 353.

    Google Scholar 

  20. Dieser Satz wird gewöhnlich E. Heine zugeschrieben. Doch findet er sich schon in einer von Dirichiet 1854 gehaltenen Vorlesung (G. Leje Dirichlets Vorlesungen über die Lehre von den einfachen und mehrfachen bestimmten Integralen, herausgegeben von G. Arendt (1904), 4). In der im Text gegebenen Allgemeinheit wurde der Satz bewiesen von M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 29.

    Google Scholar 

  21. Satz I findet sich wohl zum erstenmal (für Funktionen einer reellen Veränderlichen) bei E. Heine, J. f. Math. 74 (1872), 183. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  22. Zur folgenden Gleichung vgl. Einleitung § 7, Satz V; § 2, Satz I; § 7, Satz VIII.

    Google Scholar 

  23. R. Baire, Acta math. 30 (1906), 17.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  24. S. Pincherle, Mem. Bol. (5) 3 (1893), 293.

    Google Scholar 

  25. T. Brodén, J. f. Math. 118 (1897), 3;

    Google Scholar 

  26. T. Brodén, Acta Univ. Lund. 8 (1897), 10.

    Google Scholar 

  27. E. Steinitz, Math. Anis. 52 (1899), 59.

    Google Scholar 

  28. Vgl. auch L. Scheeffer, Acta math. 5 (1881), 294.

    Google Scholar 

  29. Ist 9.1 kompakt und abgeschlossen, so ist nach § 4, Satz IX die Bedingung auch notwendig.

    Google Scholar 

  30. Einen sehr einfachen Beweis für diesen Satz werden wir in § 10, S. 166 angeben.

    Google Scholar 

  31. Sie können auch identisch sein.

    Google Scholar 

  32. Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  33. Dieser Teil von Satz III ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  34. Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  35. Letzteres nur, wenn f3 + 0 auf.

    Google Scholar 

  36. Dieser Satz ist ein Spezialfall des Satzes von der Invarianz der Dimensionszahl gegenüber eineindeutigen stetigen Abbildungen. Vgl. L. E. J. Brouwer, Math. Ann. 70 (1911), 161.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  37. Notwendige und hinrechende Bedingungen dafür, daß eine gegebene Punktmenge stetges Bild einer Strecke sei, findet man bei H. Hahn, Wien. Ber. 123 (1914), 2433.

    Google Scholar 

  38. Sie rührt her von G. Peano, Math. Ann. 36 (1890), 157.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  39. Vgl. auch E. Cesàro, Bull. sci. math. (2) 21 (1897), 257;

    Google Scholar 

  40. D. Hilbert, Math. Ann. 38 (1891), 459; A. Schoenflies, Gött. Nachr. 1896, 255;

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  41. E. H. Moore, Am Trans. 1 (1900), 72.

    Article  MATH  Google Scholar 

  42. Der Fall g = 3 ist der zuerst von Peano durchgeführte; der Fall g= 2 wurde von Hilbert besprochen.

    Google Scholar 

  43. Z. B. in Fig. 3 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 7, 10, 55, 58; in Fig. 4 der gemeinsame Eckpunkt der Quadrate 12, 25, 30, 43.

    Google Scholar 

  44. H. Hahn, Ann. dimat. (3) 21 (1913), 50. Ein andres Verfahren bei G. Peiya, Bull. Crac. 1913, 312.

    Google Scholar 

  45. Dann sind p, q Punkte erster Art von P.

    Google Scholar 

  46. Wir unterscheiden also hier zwischen den zwei dieselbe Zahl darstellenden, aber formal verschiedenen g-Brüchen (†) und († †).

    Google Scholar 

  47. Es kann auch die Pe an o sehe Abbildung ohne alle Schwierigkeiten auf den ik übertragen werden (G. Pe an o, a. a. O. 159).

    Google Scholar 

  48. H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 210.

    Google Scholar 

  49. Dieser Begriff wurde eingeführt von R. B aire, auf den auch die folgenden Sätze im wesentlichen zurückgehen: Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6. Leçons sur les fonctions discontinues (1905) 71, 84. Vgl. auch W. H. Young, Rom 4. Math. Kongr. (1908) Bd. 2, 49.

    Google Scholar 

  50. Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  51. Der Satz gilt auch für unterhalb stetige Funktionen. Er ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  52. Satz II ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  53. Satz IV ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  54. Statt dessen kann es auch heißen: für eine (im b1) überall dichte Menge von Zahlen c.

    Google Scholar 

  55. Vgl. hierzu W. H. und G. Ch. Young, Lond. Proc. (2) 8 (1910). 330.

    MATH  Google Scholar 

  56. R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125. Vgl. auch W. H. Young, Mess. of math. 1908, 148.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  57. Satz I ist ein allgemeiner Grenzsatz.

    Google Scholar 

  58. Für unterhalb stetige Funktionen gilt der Satz, wenn f, monoton wachst.

    Google Scholar 

  59. R. Baire, Bull. soc. math. 32 (1904), 125.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  60. Vgl. auch W. H. Young, Proc. Cambr. Phil. Soc. 14 (1908), 523.

    Google Scholar 

  61. Für beliebige metrische Räume wurde der Satz zuerst bewiesen von H. Tietze, Journ. f. Math. 145 (1914), 9.

    MATH  Google Scholar 

  62. Andre Beweise: H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 91;

    Google Scholar 

  63. C. Carathéodory, Vorl. über reelle Funktionen 401. Der einfachste (erst während der Drucklegung ers chienene) Beweis bei F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 293.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  64. Vgl. den Beweis von Satz VIII, § 5.

    Google Scholar 

  65. H. Hahn, Wien. Ber. 126 (1917), 103.

    Google Scholar 

  66. Der folgende Beweis stammt von F. Hausdorff, Math. Zeitschr. 5 (1919), 295.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  67. F. Hausdorff, a. a. O. 296.

    Google Scholar 

  68. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 6.

    Google Scholar 

  69. Vgl. W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1908), 82;

    Google Scholar 

  70. Vgl. W. H. Young, Loud. Proc. (2) 8 (1910), 119.

    Google Scholar 

  71. Da die leere Menge Teil jeder Menge, so kommt auch die leere Menge in E vor.

    Google Scholar 

  72. R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 72, 81;

    Google Scholar 

  73. R. Baire, Acta math. 30 (1906); 21.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  74. Vgl. hierzu auch H. Lebesgue, Journ. de math. (6) 1 (1905), 185, 189.

    Google Scholar 

  75. W. H. Young, Quart. Journ. 39 (1908), 82.

    Google Scholar 

  76. Vgl. hierzu W. H. Young, a. a. O. 73.

    Google Scholar 

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  1. Universität Bonn, Deutschland

    Dr. Hans Hahn (Professor der Mathematik)

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  1. Dr. Hans Hahn
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

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Hahn, H. (1921). Der Begriff der Stetigkeit und seine Verallgemeinerungen. In: Theorie der reellen Funktionen. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52624-4_4

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