Zusammenfassung

Wir nennen eine Menge R irgendwelcher Elemente einen metrischen Raum1), wenn jedem Paare von Elementen a, b der Menge R eine endliche Zahl r(a, b) zugeordnet ist von folgenden Eigenschaften:
  1. 1.
    $$r\left( {a,b} \right) = r\left( {b,a} \right) $$
     
  2. 2.

    r(a,b) ≧0, und zwar = 0 dann und nur dann, wenn a=b

     
  3. 3.
    Für je Elemente a,b,c von R gilt die Ungleichung2):
    $$ r\left( {a,c} \right) \leqq r\left( {a,b} \right) + r\left( {b,c} \right) $$
    .
     

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Referenzen

  1. 1).
    Der Begriff stammt von M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 17, 30, der Name von F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre 211.Google Scholar
  2. 2).
    Wo nicht anders bemerkt, bedeutet das Wurzelzeichen stets die nicht negative Wurzel..Google Scholar
  3. 1).
    Hierauf hat zuerst M Fr#x00E9;chethingewiesen, Rend. Pal. 22 (1906), 5.Google Scholar
  4. 1a).
    Vgl. auch H. Hahn, Monatsh. f. Math. 19 (1908), 247.MATHCrossRefGoogle Scholar
  5. 2).
    Nach M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 6.Google Scholar
  6. 3).
    Dies gilt auch, wenn A1 nicht kompakt ist.Google Scholar
  7. 2).
    Eine solche Punktmenge des bk wird vielfach auch als beschränkt bezeichnet.Google Scholar
  8. 1).
    Dieser B egriff rührt her von G. Cantor. Beispi el: Jede endli che (auch die leere) Me nge ist abge schlo ssen. Jedes abgeschlossene Interval l des A1k ist abgeschlossen. D er b1k selbst ist abgeschlossen. — Der Begriff „ abgeschlossen drückt, eb enso wie der B egriff „ komp akt, eine Beziehung einer Punktmenge 1 zu dem sie enthaltenden Raume b aus. Ist hingegen A1 komp akt und abgeschlossen, so ist dies, wie H. Tietze bemerkte (Math. Zeitsc hr. 5 (1 9 1 9), 288) eine in nere Eigenschaft von A1, d. h. eine Eigenschaft, die der Menge A1 zukommt ohne Rücksicht auf den Raum b1, in dem sich A1 b efindet.Google Scholar
  9. 2).
    F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 240. Beispiel e im b11: D as Intervall (0, 1/2] ist nicht abgeschlossen, wohl ab er abgeschlossen in (O. 1).Google Scholar
  10. 3).
    Nach C. Carathéodory, Vorl. üb er reel le Funktionen, 40. (Auch H. Le-besgue bezeichnete schon gelegentli ch eine solc he Menge als „ ensemble ouvert: Ann. d i mat. (3) 7 (1 90 2), 242). Vorher war für diese Punktmengen die Bezeichnung „ Gebiet in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden. Beispi ele offener Punktmengen: Jedes offene Intervall des k, der bk selbst.Google Scholar
  11. 4).
    B eispi el im b1: D as I nt ervall [0, 1/2) ist nicht offen, wohl aber offen in [0, 1].Google Scholar
  12. 2).
    Vgl. Einleitung § 5, Satz XI.Google Scholar
  13. 1).
    Diese Mengen wurden zuerst eingehender betrachtet von W. H. Young, der sie als ordinary outer und inner limiting sets bezeichnet. Vgl. W. H. und G. Ch. Young, The theory of sets of points (1906), 63, 70, 235. Man verwechsle nicht den oben definierten Begriff „a-Vereinigung in B“, mit dem Begriff: „a -Vereinigung, die Teil von B ist“.MATHGoogle Scholar
  14. 1).
    Es ist, wie der Beweis zeigen wird, auch hinreichend, daß in jeder reduzierten Umgebung U (a) mindestens ein Punkt von A1 (ein Glied von a„) liegt.Google Scholar
  15. 2).
    Er stammt im wesentlichen von G. Cantor. Der Name rührt her von E. Lindelöf, Acta math. 29 (1905), 184.Google Scholar
  16. 1).
    Nach C. Carathéodory, Vorl. über reelle Funktionen, 57.Google Scholar
  17. 1).
    Beispiel im b12: Sei B eine Gerade im b12 und A.1 ein offenes Intervall dieser Geraden; dann ist K leer, obwohl A1 in B offen ist. Vgl. hierzu F. H aus — dorff, Grundz. d. Mengenlehre, 242.Google Scholar
  18. 1).
    Die Ableitungen einer Punktmenge wurden eingeführt von G. Cantor.Google Scholar
  19. 1).
    Diese Begriffe scheinen zuerst von P. Painlevé betrachtet worden zu sein. Vgl. Encyclopédie des sciences mathématiques, tome II, vol. 1, 145.Google Scholar
  20. 1).
    Alle diese Begriffe stammen von G. Cantor.Google Scholar
  21. 3).
    Beispiel im bk: Jedes Intervall, oder die Menge aller rationalen Punkte des b1kk.Google Scholar
  22. 1).
    Mit anderen Worten: eine in einer insichdichten Menge offene Menge ist insichdicht.Google Scholar
  23. 1).
    Beispiel im b1k: Jedes abgeschlossene Intervall.Google Scholar
  24. 1).
    Beispiel im b1k: Die Menge aller rationalen Punkte des b1k ist überall dicht; sie ist daher auch dicht in jedem Intervalle des k.Google Scholar
  25. 1).
    Die folgende Definition findet sich bei F. Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre, 244), dessen Darstellung wir uns anschließen. Vgl. auch N. J. Lennes, Am. Journ. 33 (1911), 303.Google Scholar
  26. 1).
    Nach C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 208, 222.Google Scholar
  27. 1).
    D. h. ist A sowohl Summe der Komponenten AA’ als auch Summe der Komponenten B ‘,so ist jedes A1‘ ein B‘, jedes B’ ein A’.Google Scholar
  28. 2).
    Da sie nach § 3, Satz XX auch abgeschlossen ist, ist sie also ein Kontinuum, oder besteht aus einem einzigen Punkte.Google Scholar
  29. 1).
    Es wurde, freilich in viel speziellerer Form, zuerst ausgesprochen von É. Borel, Ann. éc. norm. (3) 12 (1895), 51, und wurde seither, mehr oder minder allgemein, wiederholt bewiesen.MathSciNetGoogle Scholar
  30. 1a).
    In der Allgemeinheit von Satz I wurde es bewiesen von W. Groß, Wien. Ber. 123 (1914), 810.Google Scholar
  31. 1).
    Dieser Begriff rührt her von M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 23.Google Scholar
  32. 1).
    Er wurde (für Punktmengen des b1) wohl zuerst von E. Lindel öf C. R. 137 (1903), 697) und W. H. Young (Lond. Proc. 35 (1903), 384; Rend. Pal. 21 (1906), 125) bewiesen.- In der Allgemeinheit von Satz III zuerst von W. Groß, Wien. Ber. 123 (1914), 809.Google Scholar
  33. 2).
    W. Groß, a. a. O., 805.Google Scholar
  34. 3).
    Insbesondere ist also jede kompakte Menge separabel.Google Scholar
  35. 1).
    Auch jede Menge reeller. Zahlen ist demnach separabel.Google Scholar
  36. 1).
    Denn der b1k ist Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen, z. B. abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle.Google Scholar
  37. 2).
    Ein Spezialfall hiervon ist Satz II von Einleitung, § 5.Google Scholar
  38. 1).
    Die aber im allgemeinen nicht zu je zweien fremd angenommen werden können.Google Scholar
  39. 2).
    F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 275.Google Scholar
  40. 1).
    Darin bedeutet c1 die Anfangszahl vorn Z3 (Einleitung § 4, S. 22).Google Scholar
  41. 1).
    Dieser Begriff wurde eingeführt von M. Fréchet, Rend. Pal. 22 (1906), 23; der Name stammt von F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 315.Google Scholar
  42. 1).
    Nur haben jetzt in (0) und ebenso in (000) die in die Werte 0 und 2.Google Scholar
  43. 1).
    Dieser Satz rührt her von W. H. Young, Leipz. Ber. 55 (1903), 287.Google Scholar
  44. 1).
    Dieser und die folgenden Sätze stammen im wesentlichen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3 (1899), 65.Google Scholar
  45. 1).
    F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 327.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

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