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Einleitung. Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre

  • Hans Hahn

Zusammenfassung

Wir beginnen mit einem kurzen Überblick über die einfachsten Tatsachen der Mengenlehre, von denen wir werden Gebrauch zu machen haben.

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Referenzen

  1. 1).
    Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind, bezeichnen wir hin und wieder mit großen griechischen Buchstaben A, B usf.Google Scholar
  2. 2).
    Er wurde eingeführt von G. Kowalewski, Einführung in die Infinitesimalrechnung (1908), 14; Grundzüge der Differential- und Integralrechnung (1909), 14.Google Scholar
  3. 2).
    Die Bezeichnungsweise + für die Vereinigung rührt her von C. Carat héo dory, Vorl. über reelle Funktionen (1918), 23.Google Scholar
  4. 1).
    Auf die Wichtigkeit dieser beiden Mengen hat wohl zuerst E. Borel hingewiesen; er nennt die äußere Gemeinschaftsgrenze : „ensemble limite complet“, die innere: „ensemble limite restreint“ (Leçons sur les fonctions de variables réelles (1905), 18). Wir haben den Namen „Gemeinschaftsgrenze“ gewählt zum Unterschiede von den bei Folgen von Punktmengen auftretenden ,Näherungsgrenzen“ (Kap. I, § 3, S. 74).Google Scholar
  5. 1).
    Diese Bezeichnung stammt von F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), 43.Google Scholar
  6. 2).
    Dieser Begriff, sowie der ganze Inhalt dieses Paragraphen stammen von G. Cantor.Google Scholar
  7. 3).
    Daß die Relationen a > b und a < b sich ausschließen, und daß stets eine der drei Relationen a = b, a > b, a < b eintritt, werden wir erst später zeigen können : § 4, Satz XXI.Google Scholar
  8. 4).
    Für endliche Mengen reduzieren sie sich auf die bekannte Definition von Summe, Produkt und Potenz natürlicher Zahlen.Google Scholar
  9. 1).
    Es ist also e eine natürliche Kardinalzahl.Google Scholar
  10. 1).
    Wäre A —A B endlich oder leer, verläuft der Beweis ganz analog.Google Scholar
  11. 1).
    Statt „a vor a’“ sagen wir auch : „a’ folgt auf a“.Google Scholar
  12. 2).
    Auch dieser Begriff, sowie der ganze Inhalt dieses Paragraphen stammt von G. Cantor.Google Scholar
  13. 1).
    So wie die Mächtigkeit eine Verallgemeinerung des Begriffes der endlichen Kardinalzahl, so ist der Ordnungstypus eine Verallgemeinerung des Begriffes der endlichen Ordinallzahl. Doch werden üblicherweise nur sehr spezielle Ordnungstypen, von denen noch unten die Rede sein wird (§ 4, S. 18), als Ordinalzahlen bezeichnet.Google Scholar
  14. 1).
    Die Definition des Produktes und der Potenz von Ordnungstypen werden wir nicht benötigen.Google Scholar
  15. 1).
    G. Hessen b erg, Abh. d. Friesschen Schule. Neue Folge , 4. Heft (1906), 539.Google Scholar
  16. 2).
    Ist a das erste Element von A, so ist Aa leer.Google Scholar
  17. 1).
    Auch die 0 rechnen wir (als den Ordnungstypus der stets wohlgeordneten leeren Menge) zu den Ordinalzahlen.Google Scholar
  18. 1).
    In der Tat, angenommen sie hätte einen Teil A’ ohne erstes Element. Ist dann β’ ein Element aus 8’, so gäbe es auch in der Menge der Ordinalzahlen < β’ einen Teil ohne erstes Element, entgegen der Tatsache (Satz VIII), daß diese Menge wohlgeordnet ist.Google Scholar
  19. 1).
    § 2, Satz IV.Google Scholar
  20. 1).
    Daß ma ≤ mß ist, erkennt man unmittelbar; doch können wir daraus noch nicht auf die Unmöglichkeit von ma > m ß schließen. Vgl. S. 6 Fußn. 3).Google Scholar
  21. 1).
    Er wurde schon von G. Cantor ausgesprochen, zuerst bewiesen aber von E. Zermelo , Math. Ann. 59, (1904), 514. Die zahlreichen kritischen Betrachtungen, die über die logischen Grundlagen dieses Beweises angestellt wurden, können hier unerörtert bleiben.Google Scholar
  22. 2).
    Dabei bedeute .A„ den leeren Teil von A .Google Scholar
  23. 3).
    Die Zahl 0 ist eine Ordinalzahl der Eigenschaft E, und zwar ist , da AA0 leer, ao das ausgezeichnete Element von A.Google Scholar
  24. 1).
    Es gibt Ordinalzahlen, die nicht die Eigenschaft E haben; denn es ist jeder Ordinalzahl a der Eigenschaft E ein Element aa von A zugeordnet; dadurch sind die Ordinalzahlen der Eigenschaft E eineindeutig auf einen Teil von abgebildet ; sie bilden also eine Meng e von Ordinalzahlen, und nach Satz X gibt es Ordinalzahlen, die größer sind als sie alle.Google Scholar
  25. 2).
    Damit soll natürlich nicht gesagt sein, daß eine solche Wohlordnung in jedem einzelnen Falle auch wirklich a ngegeb en werden kann.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1921

Authors and Affiliations

  • Hans Hahn
    • 1
  1. 1.Universität BonnDeutschland

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