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Integration der simultanen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung

  • M. Paul Mansion

Zusammenfassung

Nehmen wir an, dass man eine gemeinschaftliche Lösung der m Gleichungen
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{p_1} = {\psi _1}\left( {{x_1},...,{x_n},{p_{m + 1}},...,{p_n}} \right) \ldots .({1_1})}\\ {{p_2} = {\psi _2}\left( {{x_1},...,{x_n},{p_{m + 1}},...,{p_n}} \right) \ldots .({1_2})}\\ { \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots }\\ {{p_m} = {\psi _m}\left( {{x_1},....,{x_n},{p_{m + 1}},.....,{p_n}} \right) \ldots .({1_m})} \end{array} $$
zu suchen habe, so kommt die AUfgabe darauf zurück, n-m neue Relation zwischen den p und den x von solcher Art zu suchen, dass die Werthe von p 1,...p 2 als Functionen der x, welche man aus diesen neuen und den gegebenen Gleichungen ableiten kann, den Ausdruck
$${d_z} = {p_1}d{x_1} + {p_2}d{x_2} + \cdots + {p_n}d{x_n}$$
(2)
integrabel machen.

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Referenzen

  1. 1).
    Sur l’intégration des équations differentielles partielles du Premier et du second ordre. (Journal de l’école polyt. 39. Heft, S. 149–191), insbesondere § III, S. 163–174. Die Methode von Bourist auseinandergesetzt in Graindorge VIII, S. 73–89; Imschenetsky, § 23, S. 121–136; Collet (Ann. de l’école normale supérieure, Bd VII, S. 7–47). Die Methode von Bour enthielt einen leichten Irrthum, der von diesen verschiedenen Autoren ebenfalls begangen und von Mayer in einer ausgezeichneten kleinen Abhandlung (Math. Annal., Bd. IV, S. 88–94), deren wesentlichen Inhalt wir hier wiedergeben, berichtigt wurde. Dieselbe ist betitelt: „Über die Integration simultaner partieller Differentialgleichungen der ersten Ordnung mit derselben unbekannten Function.“ I mschenetsky, § 26, S. 145–156, wendet die allgemeine Theorie auf die unmittelbare Bestimmung der Integrabilitätsbedingungen eines Differentialausdrucks an. Mansion, Part. Differentialgleichungen. 12Google Scholar
  2. 1).
    Man würde jedoch untersuchen können, ob man sich nicht in dem Falle der halblinearen Gleichungen von Lie befindet, von denen wir oben (Nr. 14) nur die Definition haben geben können.Google Scholar
  3. 1).
    Die Bemerkung dieser Nummer rührt ebenfalls von Mayer her (Math. A nnal. Bd. IV, S. 93–94).Google Scholar
  4. 1).
    Imschenetsky, Nr. 105, S. 133–136; Collet S. 44–47; Graindorge Nr. 79–83, S. 77–85. Wir geben dieselbe Lösung wie Imschenetsky; Collet giebt eine complicirtere Lösung, indem er von der folgenden gemeinschaftlichen dem zweiten Werthsystem der p entsprechenden Lösung der Gleichungen ausgeht: x 2 f= x2x 4 — x 1 x 3 . p4 2 Dieser Werth ist mit Hülfe der Lösung x4x1x2x3p4 2 der ersten der drei zu integrirenden linearen partiellen Differentialgleichungen gefunden. Graindorge reproducirt diese beiden Lösungen unter einer andern Form und giebt ausserdem eine dritte Lösung nach der Methode von Lagrange, nachdem einmal die Werthe von p1, p2, p3 erhalten sind. Ein anderes Beispiel findet sich weiter unten (Nr. 93).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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