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Integration einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

  • M. Paul Mansion

Zusammenfassung

Die Integration einer partiellen Differentialgleichung
$${H_1}\left( {{x_1}, \ldots ,{x_n},{p_1},{p_2}, \ldots ,{p_n}} \right) = {a_1}$$
kommt, wie oben bemerkt wurde, darauf zurück, n - 1 ähnliche Relationen
$${H_2} = {a_2},{H_3} = {a_3}, \ldots ,{H_n} = {a_n}$$
(1)
zu finden, aus denen man solche Werthe Von p 1, p 2,…p n ableiten kann, dass dz=p 1 dx 1+…p n dx n unmittelbar integrabel wird. Dazu braucht man nur die Integrale der Gleichungen (II) des § zu finden, welche Gleichungen wir folgendermassen schreiben können:
$$ \begin{array}{*{20}{c}} {({H_2},{H_1}) = 0\quad (1)}\\ {\left( {{H_3},{H_1}} \right) = 0,\left( {{H_3},{H_2}} \right) = 0\quad (2)}\\ {\left( {{H_4},{H_1}} \right) = 0,\left( {{H_4},{H_2}} \right) = 0,({H_4},{H_3}) = 0\quad (3)}\\ {.................................................................}\\ {\left( {{H_{n - 1}},{H_1}} \right) = 0,\left( {{H_{n - 1}},{H_2}} \right) = 0,.......,\left( {{H_{n - 1}},{H_{n - 2}}} \right) = 0\quad (n - 2),}\\ {\left( {{H_n},{H_1}} \right) = 0,\left( {{H_n},{H_2}} \right) = 0,...........\left( {{H_n},{H_{n - 1}}} \right) = 0\;(n - 1)} \end{array} $$
.

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Referenzen

  1. 1).
    Es würde vielleicht genügen, bei der Darlegung der Jacobi’schen Methode sich auf das zu beschränken, was im folgenden Paragraphen gegeben ist, wie Jacobi selbst gethan hat. Vom didaktischen Standpunkte aus ist es aber besser, zunächst die Methode des grossen Geometers in einer symmetrischeren Form zu geben, die übrigens auch in der Praxis nützlich sein kann, wenn man die Gleichungen (II) nicht lösen kann. Man vergleiche mit diesem Paragraphen Im schenetsky, § 18, S. 63–72, dem er fast ganz entlehnt ist, und Graindorge VI, S. 42–50.Google Scholar
  2. 1).
    Lie, Göttinger Nachrichten, 1872, Nr. 25, S. 488–489.Google Scholar
  3. 1).
    Wir resumiren so kurz wie möglich Imschenetsky, § 19, S. 73–79.Google Scholar
  4. 1).
    Diese Gleichung ist weiter unten (Nr. 110) nach der Methode von C auch y untersucht. Graindorge Nr. 49 und 69 integrirt diese Gleichung nach der allgemeinen Methode von Jacob i in ihren beiden Formen.Google Scholar
  5. 1).
    Dieses Beispiel, das sehr gut gewählt ist, um alle Vereinfachungen und alle Modificationen der Jacobi’schen Methode zu zeigen, entlehnen wir Imschenetsky, Nr. 61–65, S. 79–86.Google Scholar
  6. 1).
    Résumé aus Jacob i, Nova Methodus, § 9–11, § 18–22. Dasselbe Résumé findet sich bei Im schenetsky § 20–22, S. 86–121, Graindorge, VII, S. 53–73, nebst Beispielen und einigen Sätzen, die wir in den vorigen Paragraphen gegeben haben. Man wird bemerken, dass man die Gleichungen (1), (2), (3) etc. integrirt, indem man die x und p als von einander unabhängig betrachtet, mit andern Worten, man sucht Lösungen, welche sie identisch erfüllen, obwohl dies nach den im vorigen Kapitel aufgestellten Integrabilitätsbedingungen nicht nöthig wäre, wenigstens nicht während der Integration. Dasselbe it Ims chenetsky, Nr. 89, S. 116–121, entlehnt. Graindorge Nr. 1, 8. 70–73 giebt ein anideres aus Ampre entnommenes, welches sich mittels der Jacob i’schen Methode sehr einfach integriren lässt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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