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Referenzen

  1. 1).
    Die neue Methode von Jacobi wurde von Clebsch veröffentlicht im 60. Bde von Crelle’s Journal 1862 unter dem Titel: Nova methodus etc., ferner in den „Vorlesungen über Dynamik“, Vorles 21–23 und an einigen andern Stellen, im Jahre 1866. Jacobi war jedoch schon seit 1838 im Besitze dieser Methode, wie aus weiter unten, Anmerkung 1 zu § 17, gegebenen Hinweisen hervorgeht. Daher muss diese Methode mit Jacobi’s Namen bezeichnet werden, obwohl sie vor 1862 von Liouville, Bourund Donkin in ihren wesentlichen Zügen ebenfalls gefunden worden war (vgl. die angeführte Anmerkung). Wir knüpfen an die Methode von Jacobi diejenigen Untersuchungen an, welche die natürliche Folge derselben sind. Seit 1875 ist die Jacobi’sche Methode Gegenstand der Untersuchungen verschiedener Gelehrter gewesen, von denen wir eine der wichtigsten, welche von Gilbert herrührt, im Nachtrag IV am Schlusse des 2. Kap. von Buch II reproduciren. Wir verweisen hier nur noch auf einige andere, die wir in dieser deutschen Ausgabe unseres Werkes nicht analysiren konnten: Collet, Annales de l’école normale supérieure, 1876, 2. série, Bd. V. S. 49–82; Comptes rendus, 1880, Bd. XCI, S. 974–978; Cayley, Quarterly Journal of Mathematics, 1876, Bd. XIV, S. 292–339.Google Scholar
  2. 2).
    Poisson wandte in seinem Mémoire sur la Variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique (Journ. de l’école polyt., 15. cahier, S. 281) zuerst die Bezeichnung (φ, ψ) an. Die Bezeichnung , ψ] ergab sich darnach von selbst. Wir bedienen uns noch dreier weiterer symbolischer Bezeichnungen, um die Beweise des § 18 zu vereinfachen. Wir folgen in diesem § 16 im Allgemeinen der Darlegung von Imschenetsky, § 16, S. 48–52.Google Scholar
  3. 1).
    Die Formeln (4) sind von Imsehenetsky gegeben worden, S. 51–52.Google Scholar
  4. 1).
    Die Formeln (6) entlehnen wir Im sehenet sky S. 50–51. Die andern in ihrer allgemeinen Form sind neu. Entgegen dem Gebrauch belassen wir in den Summen die Glieder, welche sich gegenseitig aufheben, da ihre Unterdrückung in die Formeln eine unnöthige Complication einführt. 2) Résum von Jacobi, Nova Methodus, 23–26. Dieses Résumé findet sich auch bei Im schenetsky, § 25, S. 141–444, der überdies S. 145 den Donkin’schen Beweis für den Fundamentalsatz, ferner auch Nr. 39, S. 53–55, einen von ihm selbst herrührenden Beweis giebt; sowie bei Graindorge V, S. 35–41. Es geht aus einer Stelle der Nova Methodus § 28 auf welche Clebsch aufmerksam gemacht hat, hervor, dass Jacobi sein Fundamentaltheorem schon seit 1838 hatte. Dieses Princip ist eigentlich schon enthalten in dem Poisson’schen Theorem (Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique, Journal de l’éc. polyt., 15. cahier, S. 280), dessen Wichtigkeit weder sein Urheber noch Lagrange ahnten, wie Jacobi, Nova Methodus § 28, bemerkt. Nach dem Tode Poisson’s lenkte Jacobi die Aufmerksamkeit auf das Theorem (C. R. 1840, S. 529), doch wurde unglücklicherweise seine Nova Methodus erst 1862 durch C1ebschveröffentlicht und zwar ohne je de Anderung, abgesehen von einem kleinen Zusatz von einer Seite am Schlusse des § 52, wie wir aus dem Munde dieses Geometers selbst gehört haben. Es ist also ein Irrthum, wenn Im sche netsky behauptet, dass Clebsch „die Jacobi’sche Arbeit nach den in seinen Papieren vorgefundenen Materialien redigirt habe“ (S. 6). Es ist jedoch wichtig, mit dem russischen Gelehrten zu bemerken, dass Donkin das Fundamentaltheorem ebenfalls gefunden hat (Philosoph. Transact. 1854, Theil I, S.71 und 93), dass ferner Liouville in seinen Vorlesungen vom Jahre 1853 dasselbe ebenfalls bewiesen hat, wie Bourin seiner Abhandlung : Sur l’intégration des équations differentielles partielles du premier et du second ordre (Journ. de l’éc. polyt., 39 cahier, S. 148–191), S. 168 behauptet, wo er es das Theorem von Liouville nennt. Trotzdem muss man diesem Satze die Bezeichnung als Jacobi’s Theorem belassen, da dieser Geometer mehr als ein anderer die Fruchtbarkeit desselben klargestellt hat.Google Scholar
  5. 1).
    Wir entlehnen dieses Donkin’sche Citat im Texte Im sehe netsky S. 145. Der Beweis desselben beruht auf der Anwendung der Formel (6’’’) des vorigen Paragraphen zur Darstellung von (M, (N, R)), (N, (R, M)), der Formel (41) zur Darstellung von (R, (M, N)). Man addirt die gefundenen Resultate und permutirt zweimal cyklisch in der neuen Gleichung die Buchstaben M1, N, R. Man findet den Satz von Jacobi, indem man die drei zuletzt erhaltenen Relationen addirt.Google Scholar
  6. 1).
    Résumé von Jacobi, Nova Methodus, § 2–17 und 30–32.. Dieses Résumé findet sich auch bei Im schenetsky, § 10–11, S. 32–36, § 13, S.41–42; § 15, S. 45–48, § 17, S. 55–62, § 20–22 zerstreut ; Graindorge, III, S. 15–30, IV, S. 30–35, VII zerstreut. Wir halten es für besser, alle Sätze derselben Art, wie wir es gethan haben, zusammenzustellen, anstatt einige derselben mit der Integrationsmethode selbst zu vermengen. Wir haben den Text des § 18 der ersten Auflage mit Berücksichtigung der wichtigen Abhandlung des Herrn Gilbert, die wir im Nachtrage hinter Kapitel II im Wesentlichen reproduciren, korrigirt. In den auf die ‘Jacob i’schen Beweise bezüglichen Anmerkungen haben wir indessen nicht versucht, die Relationen anzugeben, welche identisch sind.Google Scholar
  7. 2).
    Jacobi, Nova Methodus, § 2. Wir fügen die Form (I’) hinzu.Google Scholar
  8. 1).
    Imschenetsky, Nr. 40, S. 2) Jacobi, Nova Methodus, § 3, 4, 5, direktes Theorem; § 6 allgemeiner Satz; § 7 und 8 umgekehrtes Theorem, im Auszug wiedergegeben von Graindorge, Nr. 24–26, S. 20–25. Im schenetsky giebt das dritte Theorem unter einer von der Jacobi’schen etwas verschiedenen Form, Nr. 41, S. 57–60. Er umgeht den langen Beweis des umgekehrten Theorems, wie man bei Gelegenheit der Sätze (VI), (VII) und (VIII) in der Anmerkung sehen wird. Jacobi, Nova Methodus § 9, 10, 11, beschäftigt sich mit dem allgemeinen Gange der Integration.Google Scholar
  9. 1).
    Jacobi, Nova methodus, § 13, giebt den direkten Satz so, wie wir ihn im Texte gegeben haben, nur ist die Form der Formeln verschieden. Grain dorge hat diesen Beweis resümirt Nr. 27, S. 25–29, ebenso Im schenetsky Nr. 42, S. 60–62. Weder der eine noch der andere beschäftigt sich mit dem umgekehrten Satze. Jacobi, Nova methodus, § 12, giebt ausserdem den folgenden bemerkenswerthen Beweis des Satzes und seiner Umkehrung; derselbe ist abgeleitet aus dem in der folgenden Nummer gegebenen Satze (V), wenn man darin m + 1 = k macht. Jacobi bemerkt sehr richtig, dass pi und pk irgend zwei p darstellen können, weil in den Formeln (V) m + 1 durch einen beliebigen Index ersetzt werden kann. Der von uns hier in der Anmerkung bewiesene Satz ist somit allgemeiner als die Sätze (III), (IV), (V). Jacobi beweist die Umkehrung von (IV) nicht, aber (IV’’’) hat (V) zur Folgë und dieses zieht wieder (III) und somit (II) und (I) nach sich.Google Scholar
  10. 1).
    Mit Hülfe der Methode von Gi1bert, welche in dem auf Kap. II folgenden Nachtrage auseinandergesetzt werden wird, beweist man, dass diese Relationen identisch sind, was mit der im Texte angegebenen Methode schwer ausführbar erscheint.Google Scholar
  11. 2).
    Jacobi, Nova Methodus, § 9–11; I m schenetsky Nr. 71, S. 93–94; Graindorge Nr. 27, S. 25–29.Google Scholar
  12. 1).
    Jacobi, Nova methodus, § 30— 32. Jacobi fügt folgende Bemerkung hinzu : Ersetzt man in (fi, fk) ap durch fp sowohl in der einen wie in der andern Function, wo p kleiner ist als die grössere der Zahlen i und k, so hat man, wenn man f ’i und f’k die neuen Functionen nennt, der Formel (6) des § 16 zufolge: δf’i (fp, f’k) (f i, fp) + (fp , fp)• δ ap δap δap δap Man schliesst daraus, dass der Satz (VIII) richtig bleibt, wenn man eine Constante ap durch seinen Werth fp ersetzt; mithin kommt man, wenn man auf diese Weise alle Constanten eliminirt, auf (Hi, Hk) = 0 zurück. Im schenetsky giebt die direkten Sätze, Nr. 73, S. 95–96, Nr. 84, S. 111–112; den reciproken, indem er Hp für ap substituirt, Nr. 85, S. 112–113; er deutet den Beweis von Jacobi an Nr. 86, S. 113. Graindorge giebt das Theorem (VI) oder (VII), Nr. 52, S. 53–55, und beschäftigt sich nicht mit dem umgekehrten Satze.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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