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Zusammenfassung

Pfaff hat die Aufgabe der Integration einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung von dem folgenden allgemeinen Problem abhängig gemacht, welches seinen Namen trägt : Wenn ein Differentialausdruck
$${X_1}d{x_1} + {X_2}d{x_2} + ... + {X_m}d{x_m}$$
(1)
, in welchem X1, X2, . . ., Xm Functionen von x1, x 2, . . ., xm sind, gegeben ist, denselben in einen andern zu transformiren von der Form
$$\lambda \left( {{U_1}d{u_1} + {U_2}d{u_2}} \right) + ... + {X_{m - 1}}d{u_{m - 1}}$$
(2)
, in welchem U1, U2, . . ., U m — 1 Functionen sind von m1 neuen Variablen u1, u2, . . ., um 1, die ebenso wie λ mit den alten Variablen durch zu bestimmende Gleichungen verbunden sind.

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Referenzen

  1. 1).
    Alles, was sich auf die wirkliche Auflösung der Gleichungen (12) bezieht, gehört eigentlich nicht zu der hier dargelegten Theorie. In Bezug auf die schiefen Determinanten und Pfaff’schen Functionen verweisen wir auf Baltzer, Determinanten, § 3, Nr. 8, S. 21; § 8, Nr. 1–4, S. 52–60; § 9, Nr. 4–5, S. 67–68. Pfaff und Gauss bemerken, dass es unmöglich sei, das System (12) aufzulösen, auch wenn mungerade ist, geben aber dafür keinen Beweis. Jacobi giebt die wesentlichsten Begriffe hinsichtlich dieses Gegenstandes in der oben erwähnten Abhandlung. Indessen rührt die Theorie der Pfaff’schen Determinanten besonders von Cayleyher, dessen Arbeiten von Baltzer in dem genannten Werke ihrem wesentlichen Inhalte nach reproducirt und vervollständigt sind. Den eleganten Kunstgriff, dessen wir uns weiter unten bedienen, um das System (12) aufzulösen, entlehnen wir einer kleinen Abhandlung von Cayley, wo er beiläufig angewendet wird: Démonstration d’un théorème de Jacobi par rapport au problème de Pfa ff (Crelle’s Journal. Bd. 57, S. 273–277), S. 275. Durch Nachahmung des Cayley’schen Verfahrens konnten wir die Gleichung (15) finden, ohne die Eigenschaften der adjungirten Determinanten zu benutzen, wie es Baltzerthut.Google Scholar
  2. 1).
    Gauss Werke, Bd. III, S. 233–234. Gauss hat gezeigt, dass die Transformationen, um welche es sich hier handelt, nur implicit in der Abhandlung von Pfaffenthalten sind. Jacobi (Journal de Liouville, t. III, p. 201) setzt beinahe dieselben Transformationen in umgekehrter Reihenfolge auseinander. Lagrange und Monge haben oft Rechnungskunstgriffe angewandt, die dem in dieser Nummer dargelegten von Gauss ähnlich sind.Google Scholar
  3. 1).
    Man findet auf diese Weise sämmtliche Lösungen, wie leicht zu sehen ist, wenn man sich Nr. 12 vergegenwärtigt.Google Scholar
  4. 1).
    Über das Pfaff’sche Problem vergleiche man die bemerkenswerthen Abhandlungen von Natani (Crelle’s Journ. Bd. 57, S. 301–328), von Clebsch (Crelle’s Journ., Bd. 59, S. 190–192,–192, Bd. 60 S. 193–251, Bd. 61, S. 146–179) und von Dubois-Reymond (ibid. Bd. 70, S. 299–313) ; ferner verschiedene Schriften von Lie in den Abhandlungen der Akademie zu Christiania. Wir hätten ferner noch in der ersten Auflage Grassmann, Ausdehnungslehre, 1862, Nr. 500 bis 527, S.347–385 erwähnen müssen. Seit 1875 haben Lie, Frobenius, Darboux, Morerau. A. Arbeiten über das Pf a f f’sche Problem von höchster Wichtigkeit veröffen icht. Behufufs vergleichender Analyse dieser Abhandlu en verweisen wir auf A. R. Forsyth, Theory of Differential Equations, Part I, Exact Equations and Pfaff’s Problem. Cambridge, University Press, 1890 (XIII u. 340 S. in 8°). 2) Jacobi, Journal de Liouville, Bd. III, S. 171–182, § IX der Ahhandlung. Jacobi wundert sich, dass P f a ff die in den Nr. 53 und 54 auseinandergesetzte Erweiterung nicht gefunden hat. Indessen war die Sache nicht so ein fach, da Jacobi selbst nicht daran dachte, als er sich mit der Lagrangeschen Methode beschäftigte. Er hätte dazu in die Gleichungen die Anfangswerthe der Variablen einführen müssen. Dies that Cauchy seit dem Jahre 1819. Jacobi erkannte die Tragweite dieser Wahlder newen Veränderlichen erst im Jahre 1835 nach den Arbeiten von Hamilten über die Dynamik. Aus diesem Grunde dürfte man in Deutschland die soeben dargelegte Integrationsmethode mit Unrecht als die Hamilton-Jacobi’sche bezeichnen, da Cauchy lange vor diesen Geometern durch eine direktere Methode als diejenige von Pfaff die später von Jacobi auf ziemlich mühsame Weise wiedergefundenen Resultate entdeckt hatte. Herr Lie bemerkt ebenfalls in einer seiner späteren Abhandlungen, dass die von Jacobi vervollkommnete Pfaff’sche Methode eigentlich die Cauchy’sche Methode heissen müsste.Google Scholar
  5. 1).
    Jacobi, Journal de Liouville, Bd. III, S. 194–201, § 12 der Abhandlung. Der in dieser Nummer und in der folgenden behandelte Gegenstand gehört eigentlich nicht zum Gegenstande dieses Buches.Google Scholar
  6. 1).
    Jacobi, Journal de Liouville, Bd. III, S. 185–194, § 14 der Abhandlung, giebt den Satz dieser Nummer, ohne die Variationsrechnung anzuwenden. Im § 10, S.182–185 beweist er den entsprechenden Satz für die Hülfsgleichungen (a’). Wir haben es vorgezogen, um nicht auf die Pfaff’sche Methode zurückzukommen, an diese Stelle das allgemeine Theorem zu setzen, wobei wir uns der Kürze wegen der Bezeichnungen der Variationsrechnung bedienen, um das auf die Gleichungen (a’) bezügliche Theorem als speciellen Fall zu geben. Unser Beweis ist eine Nachahmung desjenigen von Jacobi, Vorlesungen, S. 372–375. Alles, was sich auf Gleichungen von der in der Bemerkung II angegebenen Form bezieht, haben wir fortgelassen, um nicht in die Theorien der höheren Dynamik einzugehen, wodurch unsere Arbeit zu ausgedehnt geworden wäre.Google Scholar
  7. 1).
    Binet (C. R. Bd. XIV, S. 654–660, Bd. XV, S. 74–80), Cauchy, § 2 der im Buch III analysirten Abhandlung (Exercices d’anal. et de phys. math. Bd. II, S. 261–272), Jacobi, Vorlesungen, S. 364–369, haben die Variationsrechnung angewendet, um die von Jacobi modificirte Pfaff’sche Methode oder ähnliche Untersuchungen über die partiellen Differentialgleichungen darzulegen. Wir können uns, glauben wir, hier bei Gelegenheit des dem Pfaff’schen Problem inversen Problems darauf beschränken, eine Vorstellung von der Art der Auseinandersetzung zu geben. Die Schreibereien werden durch jenes Mittel erheblich abgekürzt, aber die Darstellung wird weniger klar.Google Scholar
  8. 1).
    Jacobi, Vorlesungen, S. 471–475.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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