Ausdehnung der Lagrange’schen Methode auf partielle Differentialgleichungen mit beliebig vielen Variablen

Zusammenfassung

Die gegebene Gleichung sei:

$$f\left( {z,{x_1},{x_2},...,{x_n},{p_{1,}}{p_2},...,{p_n}} \right) = 0$$

((1))

.

Diese Ausdehnung der Lagrange’schen Methode, welche von Charpit vergebens versucht wurde (vgl. Lacroix, t. II, Nr. 748, p. 567–572) wurde von Jacobi in der kleinen Abhandlung : „Über die Integration etc.“ (Crelle’s Journ., Bd. 2, S. 317–329) ausgeführt. Die Rechnungen sind dieselben, wie bei der Methode von Pfaff, nur sind dieselben in der umgekehrten Reihenfolge ausgeführt. Bei der Methode von Lagrange und Jacobi führt man die Integration der partiellen nicht linearen Gleichungen auf diejenige der linearen partiellen Differentialgleichungen oder auf diejenige der entsprechenden simultanen Differentialgleichungen zurück. Dies ist die Grundidee, die übrigens, wie wir in Nr. 37 gesehen haben, zu einer Änderung der Veränderlichen führt. Bei der Methode von Pfaffist dagegen die Änderung der Variablen der Grundgedanke; dieselbe führt schliesslich zu den erwähnten simultanen Differentialgleichungen. Wie man sieht, ist die Arbeit von Jacobi, die wir in diesem Kapitel analysiren, in hervorragendem Masse geeignet, den Zusammenhang zu zeigen, welcher zwischen der Methode von Lagrange und derjenigen von Pfaffbesteht. Aus diesem Grunde setzen wir sie an diese Stelle, obwohl dieselbe absolut keinen Einfluss auf die Entwickelung der Wissenschaft gehabt hat. A. Meyer hat in der Schrift: Mémoire sur l’intégration de l’équation générale aux di fférences partielles du premier ordre d’un nombre quelconque de variables (Mém de l’Acad. de Belgique, t. XXVII, 3. pagination, p. 1–24) die Arbeit von Jacobi, die wir hier analysiren, ohne einen wesentlichen Zusatz zu machen, reproducirt. Wir führen noch in Bezug auf den in diesem Kapitel und zum Theil im folgenden behandelten Gegenstand an: Boltzmann, Zur Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (Wiener Berichte, 1875, LXXII, 2. Abth., 471–483) ; Bertrand, Sur la première méthode de Jacobi pour l’intégration des quations aux dérivées partielles du premier ordre (C. R. 1876, LXXXII, p. 641–647). Bei Gelegenheit der in diesem Kapitel auseinandergesetzten Methoden, sowie der Methoden von Pfaff und Cauchy ist eine wenig bekannte Arbeit zu erwähnen, deren Mittheilung wir dem Herrn Professor Padova verdanken : Sulla integrazione delle equazioni a derivate parziali del 1° 0. Memoria del Prof. Giov. Maria Lavagna. Dieselbe ist publicirt in den Atti dell Accademia Geoenia, in Catane; ein Auszug aus dieser Abhandlung erschien im Jahre 1846 in den Atti della settima riunione degli scienziati italiani tenuta in Napoli, nel 1845. (Lavagna wurde geboren zu Livorno im Jahre 1812 ; er starb zu Pisa, wo er Professor der Mechanik des Himmels war, im Jahre 1870). Wir hoffen in Kurzem diese Originaluntersuchung an anderer Stelle zu analysiren.