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Lineare partielle Differentialgleichungen

  • M. Paul Mansion

Zusammenfassung

Es seien u und v zwei gegebene Funktionen der Veränderlichen x, y, z und
$$F\left( {u,v} \right) = 0$$
(1)
irgend eine Beziehung zwischen diesen Funktionen. Dann besteht zwischen x, y, z und den partiellen Ableitungen von z nach x und y
$$p = \frac{{dz}}{{dx}},\;q = \frac{{dz}}{{dy}}$$
eine Relation, welche von der Form der Gleichung (1) unabhängig und linear in Bezug auf p und q ist.

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Referenzen

  1. 1).
    Wir geben in diesem ersten Buche nicht nur die Arbeiten von Lagrange und Pfaff, sondern auch die ersten Abhandlungen von Jacobi, welche die Untersuchungen jener beiden Geometer mit einander in Zusammenhang bringen, kurz wieder.Google Scholar
  2. 2).
    Die Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen rührt im Wesentlichen von Lagrangeher, der sie unter verschiedenen Formen in den „Abhandlungen der Berliner Akademie“ vom Jahre 1779 und 1785, in den Leçons sur la théorie des fonctions, Le9on 20, und in der Théorie des fonctions analytiques, Kap. XVI des ersten Theiles, auseinandergesetzt hat. Über die wahre Tragweite des hier dargelegten Integrationsverfahrens vgl. man den § I der Abhandlung von Jacob i : Dilucidationes etc. (Crelle’s Journal, Bd. 23). Im Grunde genommen wird nur der Zusammenhang festgestellt, welcher zwischen der Theorie der linearen simultanen Differentialgleichungen und derjenigen der partiellen Differentialgleichungen besteht. Bei unserer Darstellung haben wir uns gehalten an diejenige von Serret, Calcul intégral, p. 599–608, Boole, A treatise etc., p. 324–335, Suppl. p. 56–69, und Gilbert (Vgl. die letzte Note zu Nr. 20). In dem Nachtrag II am Schlusse dieses Kapitels legen wir eine andere im Wesentlichen von Cauchy entlehnte Methode dar. Wir haben im Jahre 1881 in den Annales de la société scientifique de Bruxelles, t. V, p. 17–33 unter dem Titel: Notes sur les équations aux dérivées partielles eine kleine Abhandlung veröffentlicht, von der man insbesondere S. 17–22 vergleichen möge.Google Scholar
  3. 1).
    Bei Gelegenheit der Gleichungen mit n unabhängigen Veränderlichen legen wir dieselbe Sache mit noch grösserer Benutzung der Determinanten dar. Der Leser mag urtheilen, welche von diesen beiden Darstellungen den Vorzug verdient.Google Scholar
  4. 1).
    Baltzer, Determinanten, § XIII, Nr. 3, S. 114.Google Scholar
  5. 2).
    Lagrange hat diese Bemerkung nur in seiner Abhandlung vom Jahre 1785 bewiesen. In seinen andern Schriften über diesen Gegenstand vor und nach dem Jahre 1785 nimmt er sie stillschweigend, ohne sie zu beweisen, an. Die Form, die wir dem Beweise gegeben haben, ist Ph. Gilbert entlehnt (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1885, t. IX, p. 41–48: Sur lintégration des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre),der auf die Existenz der durch den Faktor M gegebenen Lösungen aufmerksam gemacht und damit eine räthselhafte Stelle in den Dilucidationes von Jacobi (Am Schlusse des § 3, Ges. Werke, IV, S. 169) klargelegt hat. Das Verfahren von Lagrange (Mémoire von 1785, Nr. 3 und 4) hätte zur Entdeckung des Faktors M führen können, denn dieser Faktor ist beim Übergange von der ersten zur zweiten Gleichung der Nr. 4 ohne Grund weggelassen. Ph. Gilb e r t hatte schon früher auf die Unzulänglichkeit der üblichen Art der Auseinandersetzung hingewiesen in einer kleinen Abhandlung: Sur les intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles. du premier ordre (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1880, t. 1880, XXXIII, 19–20 IV, 2. partie, p. 273–276). J. Cockle (Educational Times,, p. 19–20) war ebenfalls auf die Lösung x + y + z = 0 der partiellen Differentialgleichung (x + y) (1 + p+ q) zp = 0 gestossen, welche nicht in dem allgemeinen Integrale enthalten ist und die gegebene Gleichung nicht identisch befriedigt (vgl. Nr. 20, Beispiel VI). Um den Einwürfen von Gilbertzu begegnen, haben wir die im Nachtrag II dargelegte und oben (Nr. 16, Anm. 2) erwähnte Methode veröffentlicht.Google Scholar
  6. 1).
    Wir geben diese elementaren Beispiele der Vollständigkeit halber. Im Nachtrag III integriren wir die Gleichungen der Regelflächen in fast allen Fällen durch Reduction auf lineare Gleichungen erster Ordnung.Google Scholar
  7. 1).
    Wenn wir nicht irren, hat Monge zuerst die partiellen Differentialgleichungen der verschiedenen Arten von Flächen gegeben. Siehe seine Feuilles d’Analyse appliquée à la géométrie, à l’usage de l’École polytechnique, publiées la première année de cette école (an III de la République) Nr. 4, 5 und 6, sowie alle Lehrbücher über Infinitesimalrechnung.Google Scholar
  8. 2).
    Lagrange, Abh. d. Berliner Akad., 1785, S. 188, Nr. 15 ; Oeuvres,V, p. 560.Google Scholar
  9. 1).
    Lagrange, Abh. d. Berl. Akad. 1774, Oeuvres, t. IV, Nr.53, p. 83; Lacroix, t. II, p. 558, t. III, p. 708. Chasles, Rapport sur les progrès de la géométrie,p. 90–91, Paris 1870, erwähnt verschiedene Arbeiten über die Gleichungen dieser Art, deren Entdeckung er Monge zuschreibt. Siehe überdies eine Bemerkung von Orloff, Bulletins de Bruxelles, 2. série, t. XXXIII, p. 113–122, ferner Lie, Mathem. Annalen, Bd. 5, S. 159, der eine Deutung derselben auf Grund der neueren Geometrie giebt. Man nennt die hier ausgeführte Transformation zuweilen die Legen dre’sche Transformation, obwohl die erste Idee davon Leibniz zukommt. Plücker beschäftigt sich mit der geometrischen Interpretation der Legen dre’schen Transformation in seinen analytisch-geometrischen Ent wickelungen (Essen, 1831) S. 265 und in Crelle’s Journal, Bd. 9, S. 124–134,Google Scholar
  10. 1).
    Boole, Supplement p. 63, leitet die Gleichung (4’) aus dieser Bemerkung her, anstatt das Umgekehrte zu thun, doch scheint uns dieses nicht erlaubt.Google Scholar
  11. 1).
    Die Autoren haben sich bisher auf die Ermittelung der Funktion F in dem Falle beschränkt, wo die Bedingung (10) gegeben ist, und dies ist natürlich, da der Begriff einer Geometrie von n + 1 Dimensionen durchaus neu ist. Indessen hat sich Cauchy gegen Ende der Abhandlung, die wir weiter unten (3 Buch, 1. Kap.) analysiren, etwas allgemeinere Bedingungen als (10) vorgelegt. Die Untersuchungen von Li e, welche die natürliche Fortsetzung derjenigen von Cauchy sind, beruhen wesentlich auf der Geometrie von n + 1 Dimensionen. Vgl. die Anmerkung der Nr. 4, S. 5. M ansion, Part. Differentialgleichungen. 4Google Scholar
  12. 1).
    Abh. d. Berl. Akad., 1779, S. 155–156.Google Scholar
  13. 1).
    Lacroix, t. II, Nr. 736, p. 543.Google Scholar
  14. 2).
    (Crelle’s Journal, Bd. 25, S. 171–177). Hesse erwähnt eine frühere von Jacobi herrührende Arbeit über die der Zahl n 3 entsprechende Differentialgleichung, welcher er seine Integrationsmethode entliehen habe. Vgl. auch Serret; Calcul intégral,p. 425–433, und Fouret, Comptes rendus t. 78, p 831, 1693, 1837; t. 83, p. 794–797. Wir suchen nicht die singulären Lösungen. 4*Google Scholar
  15. 1).
    Cauchy, Exercices de mathematiques, t. II, p. 159 u. f. Sur l’analogie des puissances et des differences. Vgl. auch unsere kleine Abhandlung: „Note sur la première méthode de Brisson pour l’intégration des équations aux différences finies ou infiniment petites.“ Mém. couronnes et autres mémoires in 8° de l’Académie royale de Belgique, t. XXII.Google Scholar
  16. 1).
    Lagrange, Abh. d. Berl. Akad., 1779, Bd. 4, Nr. 8 und 9, S. 632. Die gegebene und die transformirte Gleichung sind reciprok genannt worden. Vgl. die Anmerk. zu Nr. 21.Google Scholar
  17. 1).
    Jacobi (Crelle’s Journ. Bd. 2, S. 321–323 und Dilucidationes, § 20–22, S. 227–236). Man begreift nicht, warum die meisten Lehrbücher über die Integralrechnung, welche seit jener Zeit (1827), in der er diese Ausdehnung der Untersuchungen von Lagrange gegeben hat, erschienen sind, diese für jede Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen unumgängliche Ergänzung gar nicht erwähnten. Wir kürzen die Darstellung Jacobi’s durch Anwendung der Functionaldeterminanten etwas ab.Google Scholar
  18. 1).
    Das Theorem der Nr. 31, welches demjenigen der Nr. 29–30 reciprok ist, ist in der ersten oben erwähnten Abhandlung von Jacob i nicht enthalten; es findet sich aber wahrscheinlich implicit enthalten in einem der zahlreichen Sätze der Abhandlung De determinantibus functionalibus (Ges. Werke Bd. 3, S. 392–438) oder Dilucidationes (Ibid. Bd. 4, § 20–22. S. 227–236).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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