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Zusammenfassung

Eine partielle Differentialgleichung
$$f\left( {z,{x_1}, \ldots ,{x_n},{p_1}} \right), \ldots ,{p_n} = 0$$
(1)
umfasst ∞2n Elemente. Sucht man eine Figur, welche∞n Elemente derselben enthält, so müssen sich die Coordinaten eines jeden dieser Elemente darstellen als Functionen von n Variabeln, z. B. von u 1 , . . .,u n-1 , x n . Wenn ferner diese Elemente ein Integral bilden, so genügen sie der Bedingung (Nr. 5):
$$dz = {p_1}d{x_1} + {p_2}d{x_2} + \cdots + {p_n}d{x_n}$$
(2)
d. h. es muss sein:
$$\frac{{dz}}{{d{x_n}}} = {p_1}\frac{{d{x_1}}}{{d{x_n}}} + \cdots + {p_{n - 1}}\frac{{d{x_{n - 1}}}}{{d{x_n}}} + {p_n}$$
(3)
,
$$\frac{{dz}}{{du}} = {p_1}\frac{{d{x_1}}}{{du}} + \cdots + {p_{n - 1}}\frac{{d{x_{n - 1}}}}{{du}}$$
(4)

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Referenzen

  1. 1).
    Diese Darlegung schliesst sich an die Schriften von L i e an, deren Titel sind : A. Kurzes Resumé mehrerer neuer Theorien (vorgelegt der Akademie zu Christiania, 3. Mai 1872.) 4 S. B. Neue Integrationsmethode partieller Gleichungen erster Ordnung zwischen n Variabeln (ibid., 10. Mai 1872.) 7 S. C. Ueber eine neue Integrationsmethode partieller Differentialgleichungen erster Ordnung (Gött. Nachr., 1872, S. 321–326). D. Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, insbesondere über eine Classification derselben (ibid., 1872, S. 473–489). Die neueren Schriften von Lie haben wir nicht benutzt, weil wir dann eine vollständige Darstellung der Theorie der Berührungstransformationen hätten geben müssen. Nachstehend geben wir ein Verzeichniss der andern Schriften L i e’s in der Reihenfolge, wie sie gelesen werden müssen : 1. Zur analytischen Theorie der Berührungstransformationen (Akad. zu Christiania, 1873, S. 237–262) . 2. Ueber eine Verbesserung der Jacobi — Mayer’schen Integrationsmethode (ibid., August 1873, S. 282–288). 3. Ueber partielle Differentialgleichungen erster Ordnung (ibid., März 1873, S. 16–51). 4. Partielle Differentialgleichungen 1. 0., in denen die unbekannte Function explicite vorkommt (ibid., März 1873, S. 52–85). 5. Neue Integrationsmethode eines 2n-gliedrigen P f a f f’schen Problems (ibid., October 1873, S. 320–343). Zusammen mit den vorhergehenden würden dieseGoogle Scholar
  2. Schriften einen Band von 175 Octavseiten bilden, der fast völlig Neues über die Frage der Integration der partiellen Differentialgleichungen enthält. Nach Abfassung dieser Anmerkung bis zur Drucklegung der ersten Auflage dieses Werkes sind noch die folgenden Schriften erschienen : Lie, Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen (Math. Annal., Bd. VIII, S. 215–303). Mayer, Direkte Begründung der Theorie der Berührungstransformationen (ibid., S. 304–312). Ueber eine Erweiterung der Lie’schen Integrationsmethode (ibid., S. 313–318) . Diese beiden Schriften Mayer’s waren bereits weniger ausführlich in den Göttinger Nachrichten, 1874, S. 317 und ff.. 1873, Nr. 11 an dem in Anm. zu Nr. 126 angegebenen Orte veröffentlicht worden. Von 1875–1890 hat L ie in verschiedenen Journalen unzählige Noten und Abhandlungen über seine tiefen Untersuchungsmethoden der totalen und partiellen Differentialgleichungen veröffentlicht. Es ist unmöglich, auch nur die Titel derselben anzugeben. Wir verweisen auf das Werk : Theorie der Transformationsgruppen, unter Mitwirkung von Dr. Friedrich Engel bearbeitet von Sophus Lie, Professor der Geometrie an der Universität Leipzig. Leipzig, B. G. Teubner, 1888 (X + 632 S. in 80), 1890 (VIII + 555 S.). Ein dritter und letzter Band ist unter der Presse.Google Scholar
  3. 1).
    Abhandlung B, Theorem I; Abhandlung C, Theorem a, S. 325.Google Scholar
  4. 2).
    Diese Bemerkung ist neu, aber im Folgenden nicht weiter benutzt.Google Scholar
  5. 1).
    Abhandlung B, Bemerkung zum Theorem I; Abhandlung C, Bemerkung zum Theorem a, S. 325.Google Scholar
  6. 2).
    In den Schriften Lie’s sind wir dieser Bemerkung nicht begegnet. Das bezügliche Theorem von Mayer (Nr. 129, am Ende) kann einen Beweis in den Fällen liefern, wo der der Cauchy’schen Methode äquivalente Satz nicht besteht.Google Scholar
  7. 1).
    Abhandlung B, erster Theil des Theorems II; Abhandlung C, erster Theil der Theoreme b und c.Google Scholar
  8. 1).
    Abhandlung B, zweiter Theil des Theorems II; Abhandlung C, zweiter Theil der Theoreme b und c.Google Scholar
  9. 1).
    Wir haben in Nr. 127 die kleine Abhandlung citirt, in welcher Mayer die Rechnungen andeutet, die nöthig sind, um die L i e’sche Methode in ihrer allgemeinsten Form algebraisch zu begründen. Vgl. Abhandlung B von Lie, Theorem III und IIV.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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