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Lie’s Methode, betrachtet als eine Erweiterung der Cauchy’schen

  • M. Paul Mansion

Zusammenfassung

Es sei
$$z = {z_0} + F({x_1}, \cdots ,{x_n},{c_1}, \cdots ,{c_{n - 1}})$$
(1)
ein vollständiges Integral einer partiellen Differentialgleichung, in welcher
$$Z = {z'_0} + F - {F_0} + {F'_0},{F_0} = F\left( {{x_{1,0}}, \ldots ,{x_{n,0}},{c_1}, \ldots ,{c_{n - 1}}} \right),\;{F'_0} = F'\left( {{x_{1,0}}, \ldots ,{x_{n - 1,0}}} \right)$$
(2)
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Referenzen

  1. 1).
    Wir entlehnen das Folgende zwei Mittheilungen M ay e r’ s aus den „Gött. Nachrichten“ von 1872 Nr. 21, S. 405–420 und Nr. 24, S. 467–472. Die erste ist vollständig der Theorie der Transformationen der partiellen Differentialgleichungen gewidmet. Mayer zeigt, dass die verschiedenen Untersuchungen Jacob i’ s über diesen Gegenstand sowohl in der Nova methodus, wie in den „Vorlesungen über Dynamik“ einer strengen Revision unterzogen werden müssen. L i e behauptet seinerseits (Göttinger Nachrichten 1872, S. 484) anlässlich der Untersuchungen von Mayer, dass seine eigene Methode eine leichte Behandlung der allgemeinen Theorie der Transformationen gestattet. Wir haben nach diesen Erklärungen geglaubt, alle Untersuchungen über diesen Gegenstand bei Seite lassen zu dürfen, da sie zur Zeit noch keinen definitiven Charakter hatten. Wir entlehnen Mayer nur das unumgänglich Nothwendige. Mayer hat (Math. Annal., Bd. VI, S. 162–191) seine Darstellung der Lie’schen Methode sehr ausführlich veröffentlicht unter dem Titel : „Die Lie’sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen.“ In den §§ 1 und 2, Seite 162–166 giebt er den directen Beweis der Integrabilitätsbedingungen eines Systems partieller Differentialgleichungen, das einzige, was er bei seiner Darlegung der Jacob i’schen Methode entlehnt hat.Google Scholar
  2. 2).
    Mayer, Göttinger Nachrichten 1872, Nr. 21, Satz 1, S. 407–409. Das Beweisverfahren ist der schon erwähnten Abhandlung desselben Verfassers entliehen (Math. Annal., Bd. III, S. 449–450). Der ganze Schluss dieser Abhandlung S. 449–452 ist der Theorie der Transformationen gewidmet. Dasselbe Theorem, aber specialisirt, findet sich in der vollständigen Darlegung von Mayer (Math. Annal., Bd. VI, § 3, S. 166–169). Der Autor giebt ausführlich die algebraischen Bedingungen bezüglich der Lösbarkeit der benutzten Gleichungen an. Alle derartigen Bedingungen sind bei unserer Auseinandersetzung weggelassen.Google Scholar
  3. 1).
    Mayer, Göttinger Nachrichten, Nr. 21, S. 414–417, Theorem IV ohne Beweis; Math. Annal., Bd. VI, S. 169–173, § 3, Theorem II.Google Scholar
  4. 1).
    Mayer, Göttinger Nachrichten 1872, S. 467, sagt nur, dass man y aus (19) verschwinden lassen kann, wenn man eine vollständige Lösung von (18) kennt. Er citirt die Arbeit von Korkine, die wir oben analysirt haben. Es ist wichtig zu bemerken, dass die fundamentale Idee May er’s, nämlich y = yo zu setzen, sich weder bei Korkine noch bei Bourfindet. Unser Beweis ist genau der von Mayer, a. a. 0. § 4 (Math. Ann., Bd. VI, S. 173–176); nur giebt dieser i einen analytischen Beweis der Nichtexistenz von y in der Gleichung (22), während unser Beweis synthetisch ist.Google Scholar
  5. 1).
    Mayer bezeichnet die Bemerkung dieser Nummer als Theorem IV und giebt den Beweis desselben im § 4 der angeführten Abhandlung (Math. Annal., Bd. VI, S. 176–177).Google Scholar
  6. 1).
    Mayer spricht den Satz dieser Nummer in dem Falle m = 1 aus, ohne ihn zu beweisen, in den Göttinger Nachrichten 1872, S. 469 und 472. Beweis in der angeführten Abhandlung (Math. Annal., Bd. VI, S. 185–189) § 7, Theoreme VIII und IX. Mayer wendet die Methode auf die linearen homogenen Gleichungen an, § 8, S. 189–192. Die §§ 4 und 5, S. 179–183 sind dem Falle zweier Gleichungen gewidmet, mit dem man sich nicht speciell zu beschäftigen braucht. Lie, ebenda S. 488–489. Es ist erstaunlich, dass eine so einfache Bemerkung allen Geometern vor Lie entgangen ist.Google Scholar
  7. 3).
    Mayer, Direkte Ableitung des Lie’schen Fundamentaltheorems durch die Methode von Cauchy (Math. Ann., Bd. VI, S. 192–196) und § 1 der allgemeineren Notiz: Zur Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (Göttinger Nachrichten 1873, S. 299–310). Mayer bedient sich des in Nr. 111 angegebenen Werthes von z0, um die Ausnahmefälle zu vermeiden.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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