Zusammenfassung
Wir betrachten die Gleichung (math), und nehmen an, dass
die Anfangswerthe von x, y, z, p, q seien, welche unter einander durch die Gleichung verbunden sind:
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Referenzen
Cauchy, Exercices d’anal. et de phys. math., Bd. 2, S. 238–272. Der 1, den wir hier analysiren, ist die Reproduction eines im Januar und Februar 1819 im Bulletin de la Société philomatique veröffentlichten Artikels. Die Untersuchung des Falles, in welchem die Cauchy’sche Methode nicht Stich hält, geschah durch Serret in den Comptes Rendus, Bd. 53, S. 598–606, 734–745 oder in den Annales de l’école normale supérieure, Bd. 3, S. 143–161. Auf die Existenz dieses singulären Falles hatte Bertrand hingewiesen, Comptes Rendus, Bd. 45, S. 617–619, jedoch behauptete er, wie wir nachgewiesen haben, mit Unrecht, dass derselbe mit dem allgemeinen Falle übereinstimme. Ossian Bonnet (C. R. Bd. 65, S. 581–585) hat einen Beweis für die Methode der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen gegeben, vermittelst dessen man die von Bertrand angedeutete Schwierigkeit umgehen kann. Die Cauchy’sche Methode ist ferner dargelegt bei Imschenetsky, S. 191–200. Er verweist hinsichtlich der Arbeiten von Serret auf die 6. Auflage des Traitéélémentaire de calcul diff rentiel et intégral von Lacroix nebst Anmerkungen von Hermite und Serret, Bd. 2, S. 237–282, welches
Werk wir nicht haben einsehen können. Vgl. auch Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, Bd. 2, S. 624–649.
Cauchyhat im Jahre 1841 seiner ersten Abhandlung vomn Jahre 1819 Anmerkungen nach unserer Ansicht von der höchsten Wichtigkeit hinzugefügt, in denen er seine Methode der Darstellung verallgemeinert. Jacobi, Vorlesungen, S. 364–376, hat eine Darlegung a posteriori dieser Methode oder vielmehr der von ihm abgeänderten Pfaff’schen Methode gegeben. Mayer hat in der Abhandlung : Über die Jacobi—Hamilto n’sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (Math. Ann., Bd. 3, S. 435–452) gezeigt, wie man in jedem Falle ein vollständiges Integral finden kann. Die von Cauchy im Jahre 1841 gegebene allgemeine Darlegung seiner Methode enthält implicit jene Untersuchungen von Mayer. Padova hat in einer neueren Abhandlung Sulla integrazione delle equazioni a derivate parziali del primo ordine (Collectanea Mathematica, 1881, S. 105–116) gezeigt, wie die Cauchy’sche Methode abgeleitet werden kann aus der von A mpère (Cahier 17 und 18 des Journ. de l’école polyt.).
Die am Eingange dieses Paragraphen erwähnten Autoren, nämlich Serret und Imschenetsky, haben sich mit diesem zweiten Falle nicht beschäftigt, obwohl derselbe von fundamentaler Wichtigkeit ist und von Cauchy in seinen im Jahre 1841 zu seiner ursprünglichen Abhandlung vom Jahre 1819 hinzugefügten Anmerkungen angegeben wurde. Es rührt dies daher, dass diese Autoren u = y0 setzen, während man u .ganz unbestimmt lassen muss, um nach Bedürfniss u = y0 oder u = q0 setzen zu können. Mansion, Part. Differentialgleichungen. 15
Serret, der u = y 0 , z = φ(y 0 ), q 0 = φ’(y 0 ) setzt, sucht diesen Satz folgendermassen zu beweisen: Die Gleichung (4) giebt unter dieser Voraussetzung: δf2 + δ2 δf δf δf δf2 φ (y0) + φ“(y0) φ(y0) φ“ (y0) O. δy0 δz0 δq0 4(δy0δz0 δq0 „Da nun“, sagt er, „diese Gleichung identisch stattfinden muss, so müssen die mit dq0 multiplicirten Glieder sich wegheben. Man hat also identisch: dy 0 δf2 _ f4 δf1 = 0.“ δq0 4 δq0 Diese Schlussfolgerung erscheint uns nicht bindend, da φ “(y0) keinen von z0 und q 0 unabhängigen Werth besitzt.
Cauchy, Exercices etc., Bd. II, S. 249.
Wir wenden diese abgekürzte Art, n — 1 Gleichungen darzustellen, mehrmals an, um den § 29 ganz nach dem Vorbilde von § 28 gestalten zu können. So repräsentiren z. B. die Gleichungen (5), (7), (8), (9), (1 (10’), (11) je n — 1 Gleichungen, welche man erhält, indem man u durch u1, u2,,,,, un—1, ebenso x durch x 1 , x 2 , . . .,xn _ 1 oder p durch p1, p2, . . ., pn_1 ersetzt.
Die im Folgenden angegebenen drei Arten sind nicht die einzigen, wie man diesen Gleichungen genügen kann (Nr. 116, III).
Cauchy a. a. O. behandelt auf diese Weise diese Gleichung für den Fall n = 3. Graindorge, Nr. 49, S. 50, Nr. 69, S. 65 behandelt dieselbe Gleichung für n = 3 nach der Methode von Jacobi in ihren beiden Formen. Vgl. auch Nr. 73, I.
Mayer beweist diese Bemerkungen direkt mittels der von Jacobi modificirten Pfaff’schen Methode. Er giebt verschiedene interessante Sätze über den Zusammenhang der Integrale unter einander (vgl. Nr. 120, Anmerkung). Wie man sieht, enthält die Cauchy’sche Methode, wenn man sie so, wie wir es oben gethan haben, in ihrer ganzen Allgemeinheit darlegt, implicit die von Mayer angegebene Modification.
Darboux (Comptes rendus, 1874, Bd. 79, S. 1488 —1489; 1875, Bd. 80, S. 160–164) hat zuerst auf dieses Integral aufmerksam gemacht, aber nur in dem Falle der halblinearen Gleichungen (vgl. Nr. 119). Er setzt ebenfalls diese Untersuchungen mittels der von Jacobi modificirten Pfaff’schen Methode auseinander.
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Mansion, M.P. (1892). Allgemeine Auseinandersetzung. Arbeiten von Cauchy. In: Theorie der Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-52623-7_12
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