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Zusammenfassung

Eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung
$$f\left( {z,{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n},{p_{1,}}{p_2}, \ldots ,{p_n}} \right) = 0 \ldots .$$
(1)
ist eine Beziehung zwischen einer abhängigen Veränderlichen z, n unabhängigen Veränderlichen x1, x 2 , x n und den ersten Ableitungen
$${p_{1}} = \frac{{dz}}{{d{x_{1}}}},{\kern 1pt} {p_{2}} = \frac{{dz}}{{d{x_{2}}}},...,{p_{n}} = \frac{{dz}}{{d{x_{n}}}} $$
von z nach x1, x2, . . ,xn. Sie heisst linear, wenn p 1 , p2, . . ., pn darin nur im ersten Grade vorkommen.

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Referenzen

  1. 1).
    In Bezug auf diesen Gegenstand erwähnen wir jedoch zweier wichtiger Abhandlungen von Hamburger (Crelle’s Journal 1882, Bd. 93, S. 188–215, Bd. 100, S. 390–404) und einer Note von König (Mathem. Annalen, 1884, Bd. 23, S. 520–528). Jordan (Cours d’analyse Bd. 3, S. 297–300, Nr. 232–234) giebt an, wie man allgemein irgend ein System partieller Differentialgleichungen auf ein solches erster Ordnung, welches nur eine abhängige Veränderliche enthält, zurückführen kann.Google Scholar
  2. 2).
    Die erste Methode findet sich in der Abhandlung von Jacob i : Dilucidationes etc. (Crelle’s J., Bd. 23, S. 18–20), die andere in seiner Nova Methodus, § 1, und in seinen „Vorlesungen über Dynamik“, Vorlesung 31, S. 237. Diese zweite Methode ist weit weniger elegant wie die erste, doch ist sie nicht illusorisch, wie Boole, On the differential equations of dynamics (Philosophical Transactions 1863, S. 485–501) S. 489, Bertrand in seinen Vorlesungen am Collège de France in den Jahren 1852, 1855, 1868 (G r a i n d o r g e, Mémoire etc. S. 16 Anm.) und nach ihm Im schenet sky S. 43, Graindorge S. 16 und Mayer (Mathematische Annalen, Bd. 3, S. 437) behauptet haben. Diese Geometer haben Jacob i einen Irrthum zugeschrieben, den er nicht begangen hat, nämlich den, dass er hätte zwei Grössen y und t zwischen zwei Gleichungen eliminiren wollen. „Jacobi war doch nicht so kurzsichtig“, sagte Clebschzuuns in Bezug auf diesen angeblichen Irrthum des grossen Geometers. Mayer (Mathem. Annal. 1875, Bd. 9, S. 366–369) hat später die Richtigkeit der zweiten Jacobi’schen Methode anerkannt und dieselbe dargelegt, indem er im Grunde ebenso wie wir aus einem Gedanken Nutzen zog, der ihm von Lie mitgetheilt worden war. Mayer (a. a. 0. S. 368–369) verdankt man die wichtige Bemerkung, dass diese zweite Methode nicht wie die erste gewisse singuläre Lösungen der ursprünglichen Gleichung ausfallen lässt (vgl. die Bemerkung am Schlusse von Nr. 2).Google Scholar
  3. 1).
    Wie man sieht, braucht man nicht vorauszusetzen, dass die Gleichung (5) nach F aufgelöst sei, wie es Imschenetsky, S. 44, und Graindorge, S. 17, gethan haben, um den Satz dieser Nummer zu beweisen.Google Scholar
  4. 1).
    Lie, Göttinger Nachrichten, 1872, Nr. 16, S. 321–326, Nr. 25, S. 473–489 und S. 151 u. ff. der grossen Abhandlung: „Ueber Complexe, insbesondere Linienund Kugelcomplexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen“ (Mathematische Annalen Bd. 5, S. 145–256). Es war Ca u c hy, der sich zuerst mit Räumen von beliebig vielen Dimensionen beschäftigte (Comptes rendus t. XXIV p. 885–887).Google Scholar
  5. 1).
    Die Unterscheidung der drei Arten von Integralen der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung rührt von L a g r an g e her (Abhandlungen der Berliner Akademie, 1772, Oeuvres. t. III, Nr. 2, p. 572 ; 1774, Oeuvres, t. IV, Nr. 41, p. 65, Nr. 47, p. 74; Leçons etc.,p. 367 u. ff.). Man vgl. auch P f a ff (Abhandl. der Berl. Akad., 1814–1815) an verschiedenen Stellen, und Jacobi, Ueber die Pfaff’sche Methode etc. (Crelle’s J., Bd. 2, S. 348–349) und vor Allen „Vorlesungen etc.“, S. 471–509. Wir folgen hier hauptsächlich der Darstellung von Imschenetsky, Kap. I, S. 9–19; Graindorge I, S. 1–9 ist weniger vollständig. Wir machen den Leser auf eine einfachere Darlegung dieser Theorie aufmerksam, die weiter unten gelegentlich der simultanen Gleichungen gegeben wird und die nicht bemerkt worden zu sein scheint.Google Scholar
  6. 1).
    Man würde in dieser Weise verfahren müssen, wenn a oder b in F linear vorkäme und aus den Gleichungen (11) verschwände. In diesem Falle aber kann man offenbar in jeder Lösung, und somit auch in (9), z durch z—a oder durch z—b ersetzen; ferner enthält die gegebene Gleichung z nicht explicit (vgl. Nr. 15).Google Scholar
  7. 1).
    Die Darlegungen dieser Nummer würden überflüssig gewesen sein, wenn nicht Imschenetsky § 6, S. 18–19 und Graindorge Nr. 10, S. 7–9 den Nenner σ weggelassen hätten. Aus der Theorie der singulären Lösungen der gewöhnσz liehen Differentialgleichungen ist bekannt, dass man es’sorgfältig vermeiden muss, die Nenner dieser Art wegzulassen, da sehr häufig nur sie allein zu der gesuchten Lösung führen, welche Form man auch der Function F geben mag, sobald die Unendlichkeitsstellen von im Endlichen liegen. σz Google Scholar
  8. 1).
    Lagrange (Abh. d. Berl. Akad. 1774, Oeuvres t. IV., p. 80). Die vollständige Theorie der Relationen, welche zwischen den vollständigen Integralen bestehen, ist von J a c ob i „Vorlesungen etc.“ S. 471–509 und an verschiedenen Stellen seiner Abhandlungen und von Mayer, Math. Annal. Bd. 3, S. 449–452 und Göttinger Nachrichten 1872, Nr. 21, S. 405–420 kurz dargelegt worden; aber dieser schwierige . Gegenstand kann nur mit Hülfe der allgemeinen Theorie der Transformationen von Lie dargelegt werden (vgl. Gött. Nachrichten 1872, S. 484). Aus diesem Grunde begnügen wir uns, den absolut nothwendigen Theil der Untersuchungen dieser Geometer auseinanderzusetzen. 2) Lagrange, (Abh. d. Berl. Akad. 1774, Oeuvrest. IV., Nr. 39, p. 63–64; Nr. 49, p. 75 u. ff.)Google Scholar
  9. 1).
    Wir beschränken das auf die Gleichungen mit n unabhängigen Veränderlichen Bezügliche auf das absolut Nothwendige, da die Prinzipien im vorigen Paragraph hinreichend dargelegt sind.Google Scholar
  10. 1).
    Der Leser wird bemerken, dass diese Nr. 12 in ausserordentlich kondensirter Form alle vorherigen auf die Entstehung der partiellen Differentialgleichungen bezüglichen Resultate enthält.Google Scholar
  11. 1).
    Sophus Lie: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, insbesondere über eine Klassifikation derselben (Göttinger Nachrichten 1872, S. 473–489, Nr. 25) S. 480–482.Google Scholar
  12. 1).
    Lie, Zur Theorie etc. (Nachrichten S. 485).Google Scholar
  13. 2).
    Lie Zur Theorie etc. (Nachrichten, S. 486–487).Google Scholar
  14. 3).
    Jacobi, Vorlesungen S. 475–481, ist beinahe der einzige, der sich mit dieser Frage beschäftigt. Er behandelt dieselbe analytisch. Wir haben es für vortheilhafter und deutlicher gehalten, unter Benutzung der Fundamentalideen von Liekurz auf die Sache einzugehen.Google Scholar
  15. 2).
    Jacobi, Vorlesungen, S. 491–509, beschäftigt sich mit diesem noch nicht völlig aufgeklärten Gegenstande. Man vergleiche weiter unten (§ 32) gelegent lich der Methode von Lie einige der Untersuchungen von Mayer, auf denen die Auseinandersetzung, welche er von der Methode des norwegischen Geometers gegeben hat, beruht.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1892

Authors and Affiliations

  • M. Paul Mansion
    • 1
  1. 1.Mitglied der königl. belgischen AkademieUniversität GentBelgien

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